Çok katlı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Çokkatlı sayfasından yönlendirildi)
Şuraya atla: kullan, ara

Çok katlı (Alm. Mannigfaltigkeit, İng. manifold, Fr. variété), topolojide soyut topolojik bir uzay. Bu uzayın her noktasının çevresi Öklit uzayına benzer. Bununla birlikte, bir çok katlı bir Öklit uzayı olmak zorunda değildir. Genel yapısı, bu basit yerel yapısından çok daha karmaşık olabilir. Çok katlının boyutu, yerel olarak benzediği Öklit uzayının boyutu olarak tanımlanır. Herhangi bir topolojik uzay içinse boyut kavramından söz etmek genelde olası değildir.

n boyutlu Öklit uzayı (Rn), n boyutlu bir çok katlıdır. Birkaç nokta, 0 boyutlu bir çok katlıdır. Düzlemde bir doğru 1 boyutlu bir çok katlıdır; her noktasının çevresi R1'e benzer. R3'te bir düzlem ya da bir küre, 2 boyutlu çok katlı örneğidir; her bir noktasının küme içinde çevresi R2'ye benzer.

Kelimenin kökeni[değiştir | kaynağı değiştir]

Çok katlı kelimesinin Almanca karşılığı Mannigfaltigkeit'tir (çokyönlülük, çeşitlilik vs.). Bu terim, ilk kez Riemann'ın doçentlik tezinde (Habilitation, 1854) kullanmıştır. Yerel olarak n boyutlu uzaya benzeyen, ama her noktasında farklı eğriliklere sahip olabilecek bir uzay tasarlamış ve bu tür bir uzaya Mannigfaltigkeit adını vermiştir. Doçentlik tezinde şu satırlar dikkat çekmektedir: [1]

[...] n katlı uzamın (n-fold extent) bir noktasındaki eğriliğine kavranabilir bir anlam verebilmek için şuradan başlamalıyız: bir noktadan başlayan bir jeodezik, ilk yönü verildiğinde tek bir biçimde tarif edilmiş olur. Buna göre, o noktadan ve verilen yüzey-yönleriyle başlayan tüm jeodezikler gözönüne alındığında, yüzeyin o noktasında bir eğrilik belirlenmiş olur. Bu eğrilik, aynı zamanda içinde bulunulan n katlı sürekliliğin (n-fold continuum) o noktada o yüzey yönünde eğriliğidir.

Uzaya uyarlamadan önce, düz çok katlılar (flat manifoldness) hakkında genel saptamalar yapmak gerekiyor[...] Düz bir n katlı uzamda toplam eğrilik her noktada her yönde sıfırdır[...] Eğriliği tamamen sıfır olan çok katlılar, eğriliği sabit olan çok katlıların özel bir durumu diye düşünülebilir[...]

Görüldüğü gibi Riemann, bu terimi tanımlarken daha sonra Riemann Geometrisi diye anılacak geometriyi kuruyordu. Kullandığı -faltig eki, kat kat hissinden çok eğriliğin değişmesi yüzünden uzamın bükülüp kırışmasına işaret ediyordu. William Kingdon Clifford 1873'te Nature'da yayınlanan tercümesinde bu kelime "manifoldness" olarak karşılamıştır. [2] Türkçeye çeviri bu kelime üzerinden yapılmıştır.

Fransızca variété terimi ise (İngilizce'deki variety terimi gibi) cebirsel geometride analitik çok katlılara işaret eder.

Matematiksel tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

(Kenarı olmayan) n boyutlu çok katlı, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:

Yukarıdaki tanımda ikinci koşulda Rn yerine, üst yarı Öklit uzayını (yani Rn'de sonuncu koordinatı negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere Hn konduğunda, bu tanım, kenarı olan (kenarlı) topolojik bir çok katlı tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma kelimesinin anlamlı olabilmesi için Hn üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak Rn'den tetiklenen topolojidir. M çok katlısının bir noktası x, Hn'de açık V kümesine homeomorfik x 'in açık komşuluğu U olsun. Bu homeomorfizma altında x, V 'nin kenarına gönderiliyorsa, x noktasına çok katlının kenar noktası, tüm kenar noktaların kümesine çok katlının kenarı denir.

Örneğin, düzlemde başnoktaya uzaklıkları 1'den büyük olmayan kümeyi ele alalım. Bu kümeye (kapalı) disk denir ve 2 boyutlu bir çok katlıdır. Kenarı bir çemberdir. Çember 1 boyutlu bir çok katlıdır. Kenarı yoktur.

n boyutlu, kenarlı bir çok katlının kenarı, n-1 boyutlu bir çok katlıdır. Bir çok katlının kenarının kenarı yoktur (boşkümedir).

Bir çok katlının içinde bir topolojik altuzay aynı zamanda bir çok katlıysa, bu altuzaya altçok katlı denir. Yukarıda bir çok katlının içinde verilen tüm çok katlılar altçok katlı örnekleridir.

Kaynaklar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ "Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. (Habilitationsschrift, 1854)". EMIS, The European Mathematical Information Service. 9 Nisan 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi. http://web.archive.org/web/20160409103543/http://www.emis.de/classics/Riemann/Geom.pdf. 
  2. ^ Clifford, W.K. (1968 (1881 ilk baskısının yeniden basımı)). Mathematical Papers. Chelsea Publishing Co., New York. 

Okuma[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Gray, Jeremy (2007). Worlds Out of Nothing: A Course in the History of Geometry in the 19th Century. Springer. 978-1-84628-632-2.