Riemann zeta işlevi

Karmaşık düzlemde Riemann zeta işlevi ζ(s). s noktasındaki renk ζ(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir. s = 1 noktasındaki beyaz benek zeta işlevinin kutbunu simgelemektedir. Negatif gerçel eksen ve Re(s) = 1/2 doğrusu üzerinde yer alan siyah benekler ise sıfır noktalarıdır. Pozitif gerçel değerler kırmızı renkle gösterilmiştir.

Matematikte Riemann zeta işlevi, Alman matematikçi Bernhard Riemann tarafından 1859'da bulunmuş olan ve asal sayıların dağılımıyla olan ilişkisinden ötürü sayı kuramında önemli yeri bulunan seçkin bir işlevdir. İşlev; fizik, olasılık kuramı ve uygulamalı istatistikte de kullanılmaktadır.

Riemann zeta işlevi(Riemann zeta fonksiyonu) farklı şekillerdede ifade edilse de en yaygın gösterimi

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \;\;\;\;\;\;\; \!$

şeklindedir. Buradaki s karmaşık sayısı 1 'den farklı bir sayı olmalıdır.

Riemann zeta işlevinin köklerinin dağılımına ilişkin bir sav olan Riemann önermesi birçok matematikçi tarafından yalın matematiğin şu ana dek çözülememiş en önemli problemi olarak görülmektedir.

Ayrıca bakınız

• Genel Riemann önermesi
• Riemann–Siegel teta işlevi
• Asal zeta işlevi

Kaynakça

• İngilizce Vikipedi'deki 05.09.2009 tarihli Riemann zeta function maddesi
• Riemann, Bernhard (1859), "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/ . Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Yeniden basım: Dover, New York (1953)
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) s. 199–220
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 s. 458–464. (Globally convergent series expression.)
• E. T. Whittaker & G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, 4. basım, Cambridge University Press (Bölüm XIII)
• H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. ISBN 0-486-41740-9. 
• G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford. 
• A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-80634-X. 
• A.A. Karatsuba; S.M. Voronin (1992). The Riemann Zeta-Function. W. de Gruyter, Berlin. 
• Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9.  10. Bölüm
• Donald J. Newman (1998). Analytic number theory. 177. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98308-2.  6. Bölüm
• E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function. Oxford University Press. 
• Jonathan Borwein, David M. Bradley, Richard Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. App. Math. 121: s. 11. http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf. 
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Math. 142: s. 435–439. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYH-451NM96-2&_user=10&_coverDate=05%2F15%2F2002&_alid=509596586&_rdoc=17&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5619&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1. 
• Djurdje Cvijović & Jacek Klinowski (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. 125: s. 2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. http://www.ams.org/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/home.html. 
• Jonathan Sondow, "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
• Jianqiang Zhao (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. 128: s.1275–1283. http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-99-05398-8. 
• Guo Raoh: "The Distribution of the Logarithmic Derivative of the Riemann Zeta Function", Proceedings of the London Mathematical Society 1996; s. 3–72: 1–27

Dış bağlantılar

• Wolfram Mathworld'de Riemann zeta işlevi
• Seçili kökler tablosu
• 1.000.000 kök içeren dosya
• Çekiştirilen Asal Sayılar Zeta işlevinin asal sayılar açısından önemine ilişkin genel bir değerlendirme
• Zeta İşlevinin X-Işını zetanın gerçel ve tümüyle karmaşık olduğu bölgelerin görsel sunumu
• Riemann zeta işlevi formül ve özdeşlikleri
• Riemann zeta işlevi ve ters üslerin diğer toplamları