Riemann toplamı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Riemann toplamının dört farklı yöntemi ile eğri altındaki alanın yaklaşık olarak hesaplanması. Sağ ve sol yöntemleri, herbir alt aralık içindeki sol ve sağ sınır noktalarını kullanır. Maksimum ve minimum yöntemleri ise herbir alt aralık içindeki en büyük ve en küçük değerli sınır noktalarını kullanır. Toplamların değerleri, alt aralıklar sol-üstten sağ-alta yarılandıkça yakınsamaya başlar.

Matematikte, Riemann toplamı genellikle fonksiyon eğrisinin altında kalan bölgenin yaklaşık alanıdır. Bu toplama, Alman matematikçi Bernhard Riemann'ın soyadı verilmiştir.

Toplama işlemi, bölgenin farklı şekillere bölünüp (dikdörtgenler ya da yamuklar) birlikte, fonksiyonun ölçülen bölgesine benzer bir alan çıkartılması, ardından da her bir şeklin alanının hesaplanması ve son olarak bütün bu küçük alanların toplanmasından oluşur. Böyle bir yaklaşım belirli integrallerin sayısal hesaplanmasında kullanılabilir. Ayrıca hesabın temel teoremi kapalı tür integral yazımına izin vermediği zaman da kullanılabilir.

Küçük şekillerle doldurulmuş bölgenin alanı tam olarak, ölçülmek istenen alana eşit olmadığı için Riemann toplamı gerçek alandan daha farklı çıkar. Bu hata, bölgeyi daha da küçük şekillere bölmekle giderilebilir. Şekiller küçüldükçe toplam, Riemann integraline yaklaşır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

f : DR fonksiyonunu reel sayılar, R, kümesinin D altkümesinde tanımlayalım. I = [a, b] ise D altkümesinde tanımlı kapalı bir aralık olsun ve

P= \left \{[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots,[x_{n-1},x_{n}] \right \},

olarak I aralığının bir kesiti olsun, ve de

a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b. olsun.

f fonksiyonun I altkümesindeki P kesiti Riemann toplamı şöyle tanımlanır:

S = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)(x_{i}-x_{i-1}), \quad x_{i-1}\le x_i^* \le x_i.

Burada şuna dikkat edilmelidir ki, x_i^* değeri, [x_{i-1},x_i] aralığında isteğe bağlı bir değerdir, yani herhangi bir f fonksiyonu için farklı Riemann toplamları üretilebilir, yeter ki x_{i-1}\le x_i^* \le x_i şartı sağlansın.

Örnek: x_i^*nin değişik seçimleri, farklı Riemann toplamları verir:

  • Eğer, bütün i değerleri için x_i^*=x_{i-1} ise, o zaman S sol Riemann toplamı olur.
  • Eğer, bütün i değerleri için x_i^*=x_i ise, o zaman S sağ Riemann toplamı olur.
  • Eğer, bütün i değerleri için x_i^*=\tfrac{1}{2}(x_i+x_{i-1}) ise, o zaman da S orta değer Riemann toplamı olur.
  • Sol ve sağ Riemann toplamlarının ortalaması ise yamuklu toplama olur.
  • Eğer şöyle bir ifade verilmişse
S = \sum_{i=1}^{n} v_i(x_{i}-x_{i-1}),
burada v_i, [x_{i-1},x_i] aralığında f fonksiyonunun supremum noktasıysa , o zaman S üstten Riemann toplamı olur.
  • Benzer şekilde, eğer v_i, [x_{i-1},x_i] aralığında f fonksiyonunun infimum noktasıysa, o zaman da S alttan Riemann toplamı olur.

Verilen bir kesitteki herhangi bir Riemann toplamı (yani, x_i^* için x_{i-1} ve x_i aralığındaki istenilen değeri) üstten ve alttan Rieman toplamlarının arasında kalır. Riemann integrallenmesi için kesit daraldıkça alttan ve üstten Riemann toplamlarının birbirine hep yaklaşması gerekir. Bu bilgi sayısal integral hesabı için kullanılabilir.

Yöntemler[değiştir | kaynağı değiştir]

x3 fonksiyonunun [0,2] aralığındaki Reimann toplama yöntemleri. Dört kesit kullanılarak yapılmıştır.

Sol
Sağ
Orta
Yamuklu
Simpson yöntemi ile

Riemann toplamının dört ana yöntemi, eşit kesit boyutları kullanılarak daha iyi anlaşılabilir. Yani, [a, b] aralığı n alt aralığa bölünür ve her bir aralığın uzunluğu

\Delta x = \frac{b-a}{n}.

bağıntısıyla bulunur. Kesitlerdeki noktalar da

a, a + \Delta x, a + 2 \Delta x, \ldots, a + (n-2) \Delta x, a + (n-1) \Delta x, b.

ile gösterilir.

Sol Riemann Toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Sol toplam, dikdörtgenlerin sol uç noktalarının kullanılması ve Δx taban uzunluğu ile f(a + iΔx) dikdörtgen uzunluğu kullanılmasıyla hesaplanır. Bunu i = 0, 1, ..., n − 1 için yapıp, çıkan alanları toplamak şu sonucu verir:

\Delta x \left[f(a) + f(a + \Delta x) + f(a + 2 \Delta x)+\cdots+f(b - \Delta x)\right].

Eğer f fonksiyonu bu aralıkta monoton azalan bir şekildeyse sol Riemann toplamı gerçek değerden fazla bir sonuca götürür, fakat monoton artan ise gerçek değerden daha düşük bir sonuç çıkartır.

Sağ Riemann Toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada f fonksiyonun sağ sınır noktaları kullanılır. Bu da tabanı Δx olan ve yüksekliği f(a + iΔx) olan dikdörtgenler verir. Bu işlemi bütün i = 1, ..., n değerleri için yapmak ve çıkan sonuçları toplamak şunu verir

\Delta x \left[ f( a + \Delta x ) + f(a + 2 \Delta x)+\cdots+f(b) \right].

Eğer f fonksiyonu monoton azalansa sağ Riemann toplamı gerçek değerden daha düşük bir sonuç verir, eğer monoton artansa da gerçek değerden daha büyük bir değer verir. Bu formüldeki hata şöyle bulunur

\left \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx - A_\mathrm{sag} \right \vert \le \frac{M_1 (b-a)^2}{2n},

burada M_1, f^{\prime}(x) fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Orta Değer Riemann Toplamı[değiştir | kaynağı değiştir]

f fonksiyonunu, aralığın orta noktalarını kullanarak, boyları, birinci aralık için f(a + Q/2), ikincisi için f(a + 3Q/2) olan ve f(b − Q/2) kadar giden dikdörtgenler verir. Bunların alan toplamları şöyledir

Q\left[f(a + \tfrac{Q}{2}) + f(a + \tfrac{3Q}{2})+\cdots+f(b-\tfrac{Q}{2})\right].

Bu formülün hatası şöyledir

\left \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx - A_\mathrm{orta} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{24n^2},

burada M_2, f^{\prime\prime}(x) fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuklu Toplama Kuralı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu yöntemde ise, f fonksiyonunun aralıktaki değerleri sol ve sağ sınır noktalarının ortalamasına denkleştirilir. Yukarıdakilerle aynı olarak, yamuk için alan formülünü kullanarak

A=\tfrac{1}{2}h(b_1+b_2)

b1, b2 paralel kenarlı ve h yükseklikli yamukların alanını hesaplayıp şu formülle bütün bu alanları toplamak mümkün olur

\tfrac{1}{2}Q\left[f(a) + 2f(a+Q) + 2f(a+2Q) + 2f(a+3Q)+\cdots+f(b)\right].

Bu formüldeki hata şöyle hesaplanır

\left \vert \int_{a}^{b} f(x) \, dx - A_\mathrm{yamuk} \right \vert \le \frac{M_2(b-a)^3}{12n^2},

burada da M_2, f^{\prime\prime}(x) fonksiyonun mutlak değerinin o aralıktaki maksimum değeridir.

Yamuk yöntemiyle hesaplanan olası alan değeri sağ ve sol toplamların ortalamasına eşittir.

Örnek[değiştir | kaynağı değiştir]

y = x2 fonksiyonun 0 ile 2 aralığındaki şematik bir grafiği.
y = x2 foksiyonunun 0 ile 2 aralığındaki Riemann toplam değerleri from 0 to 2. Dikdörtgenlerin saysısı arttıkça sonuç tam olarak 8/3 değerine yaklaşmaktadır.

Örnek olarak, y = x2 fonksiyonunun 0 ile 2 arasındaki eğri altında kalan alanı Riemann toplamı kullanılarak algoritmik bir şekilde hesaplanabilir.

İlk önce, [0, 2] aralığı n parçaya bölünür, ve her birinin genişliği \tfrac{2}{n} kadardır; bunlar Riemann dikdörtgenlerinin (bu noktadan sonra "kutu" denilecek) enleridir. Sağ Riemann toplamı kullanılacağı için, kutuların x koordinatları dizisi x_1, x_2, \ldots, x_n şeklinde olur. Aynı şekilde, kutuların uzunluk dizisi de x_1^2, x_2^2, \ldots, x_n^2 olur. x_i = \tfrac{2i}{n}, x_n = 2 eşitliklerini göz önünde bulundurmak önemlidir.

Her kutunun alanı \tfrac{2}{n} \times x_i^2 olur ve de ninci sağ Riemann toplamı:

\begin{align}
S &= \frac{2}{n} \times \left(\frac{2}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{2}{n} \times \left(\frac{2i}{n}\right)^2 + \cdots + \frac{2}{n} \times \left(\frac{2n}{n}\right)^2 \\
  &= \frac{8}{n^3} \left(1 + \cdots + i^2 + \cdots + n^2\right)\\
  &= \frac{8}{n^3} \left(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right)\\
  &= \frac{8}{n^3} \left(\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\right)\\
  &= \frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3n^2}
\end{align}

olur.

Eğer n → ∞ iken, yukarıdaki toplama formülünün limiti alınırsa, artan kutuların alan toplamı değerinin, grafiğin altında kalan bölgenin gerçek alanına yaklaştığı fark edilir. Dolayısıyla:

\lim_{n \to \infty} S = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{8}{3} + \frac{4}{n} + \frac{4}{3n^2}\right) = \frac{8}{3}

Bu yöntem daha farklı yollarla hesaplanan belirli integral ile de uyuşmaktadır:

\int_0^2 x^2\,  dx = \frac{8}{3}

Animasyonlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha Fazlası[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, ISBN 0-201-53174-7 

Dış Bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]