1 + 2 + 3 + 4 + · · ·

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Tüm doğal sayıların toplamını belirten ve

\sum_{n=1}^{\infin} n,

şeklinde de yazılabilen 1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesi bir ıraksak seridir. Serinin ilk n teriminin toplamı

\frac{n(n+1)}{2}

formülüyle hesaplanır.

Serinin bütününün ilk bakışta anlamsız görünmesi yanıltıcıdır. Serinin farklı biçimlerdeki yazımları karmaşık çözümleme, kuantum teorisi ve sicim kuramı alanları için işe yarar sonuçlar üretir.

Kısmi toplam formülünün kanıtı[değiştir | kaynağı değiştir]

n'ye değin doğal sayıların toplamının \frac{n(n+1)}{2} olduğu birkaç farklı yöntemle gösterilebilir. İlk olarak aşağıdaki eşitlik kurulu olsun.

S_n = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots + (n-2) + (n-1) + n.\,

Terimler sondan başa doğru sıralandığında

S_n = n + (n-1) + (n-2) + \cdots + 4 + 3 + 2 + 1.\,

ifadesi elde edilir. Bu ifade önceki ile toplanırsa

2S_n = \underbrace{(n+1) + ((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots+(3+(n-2))+(2+(n-1)) + (1+n)}_{n}
2S_n = \underbrace{(n+1) + (n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1)+(n+1) + (n+1)}_{n}
2S_n = n\cdot(n + 1)
S_n = \frac{n(n+1)}{2}

sonucuna ulaşılır.

Zeta fonksiyonunun toplamı ve analitik sürekliliği[değiştir | kaynağı değiştir]

1 + 2 + 3 + 4 + · · · ifadesinin Ramanujan toplamı112'dir.[1]

s'nin gerçel kısmı 1'den büyükse s'nin Riemann zeta fonksiyonu \sum_{n=1}^\infty {n^{-s}} toplamına eşit olur. Bu toplam, s'nin 1'e eşit ya da 1'den küçük olması durumunda ıraksar ancak s = −1 ise ζ(s)'nin analitik sürekliliği112'ye eşit olur.

Fizikteki kullanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Bozonik sicim kuramında ana amaç bir sicimin sahip olduğu erke düzeylerinin hesaplanmasıdır. Sicimin her armonisi D bağımsız kuantum harmonik titreşiminden oluşan bir çokluk olarak görülebilir. Burada D, uzayzaman boyutunu belirtir. Temel titreşim sıklığı \omega ise n. armoniye karşılık gelen erke miktarı n\hbar\omega/2'dir. Iraksak seri kullanıldığında tüm armonilerin toplamının -\hbar\omega D/24 olduğu görülür. Böylece, biyonik sicim kuramının 26 dışındaki boyutlarda tutarlı olmadığı kanıtlanmış olur.

Casimir kuvvetinin berilmesinde de benzer bir hesaba gereksinim duyulur.

Tarihi[değiştir | kaynağı değiştir]

Srinivasa Ramanujan'ın G. H. Hardy'ye yazdığı 27 Şubat 1913 tarihli ikinci mektupta şöyle denilmektedir:

"Bayım, 8 Şubat 1913 tarihli mektubunuzu okumuş olmaktan ötürü çok hoşnutum. Sizden daha önce Londralı bir matematik profesöründen almış olduğum ve bana Bromwich'in Sonsuz Serileri'ne çalışmamı salık veren yanıta benzer bir karşılık bekliyordum. … Ona kuramımın 1 + 2 + 3 + 4 + · · · = −112 eşitliğini sağladığını söyledim. Bunu delice bir girişim olarak görebilirsiniz ancak size yazmaktaki tek amacım kuramımı kanıtlamaya yarayan yöntemleri yalnızca bir mektupta anlatmam durumunda kuramın size yeterince açıklayıcı olmayacağı konusunda sizi ikna etmekti. …"[2]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Hardy s.333
  2. ^ Berndt et al s.53.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

İngilizce Vikipedi'deki 14.12.2008 tarihli 1 + 2 + 3 + 4 + · · · maddesi

  • Berndt, Bruce C., Srinivasa Ramanujan Aiyangar ve Robert A. Rankin (1995). Ramanujan: Mektupları ve Yorumları. Amerikan Matematik Topluluğu. ISBN 0-8218-0287-9. 
  • Hardy, G.H. (1949). Iraksak Seriler. Clarendon Press. 

Bibliyografya[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]