Periyodik fonksiyon

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Periyodik fonksiyon, matematikte belli zaman aralığıyla kendini tekrar eden olguları ifade eden fonksiyonlara verilen isimdir. Trigonometrik fonksiyonlar (sin, cos vb.) en tipik periyodik fonksiyonlardır. Bununla birlikte, diğer periyodik fonksiyonlar da trigonometrik fonksiyonların toplamı olarak ifade edilebilirler.

Trigonometrik fonksiyon[değiştir | kaynağı değiştir]

(Ana madde Trigonometri)

Trigonometrik fonksiyon olarak sin, cos, tan, csc, sec ve cot fonksiyonları tarif edilmiştir.Ancak, bütün bu fonksiyonlar bir birlerine bağlı olduğundan, genellikle bu fonksiyonlardan herhangi birini (sin veya cos ) incelemek yeterli olur.En genel haliyle,

\begin{align}Y(t)= A\cdot sin(\omega t +\theta)\end{align}

Şayet aynı fonksiyon kosinüs ile gösterilirse,

\begin{align}Y(t)= A\cdot cos (\omega t+\theta-\frac{\pi}{2})\end{align}

Bu ifadelerde, \begin{align}(\omega t +\theta)\end{align} ve \begin{align}(\omega t +\theta-\frac{\pi}{2})\end{align} açıdır.

Uygulamada açı birimi olarak derece kullanılırsa da, matematikte radyan birimi tercih edilir.

\mathbf{\pi}= 3.14159...
\begin{align}1 \mbox{ rad} = \frac{180}{\pi}\approx57.295780 \mbox{ derece}\end{align}

Açı ifadesinin içinde t zaman değişkeni, θ de faz farkı ve ω de açısal frekanstır.

Açısal frekans ile frekans (f) arasında şu ilişki vardır:

\mathbf{\omega}=2\cdot\pi\cdot f

Periyodik fonksiyonun her dalgası kendini belli zaman aralığı ile tekrar eder. Frekans tekrarlama sıklığıdır. Tekrarlama süresine de periyot (τ) denilir

\mathbf{\tau}= \frac{1}{f}

Frekans birim Hertz (Hz.), açısal frekans birimi radyan/saniye (rad/s.) ve periyot birimi de saniyedir (s.)

Bazı örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Periyodik hareket 10.jpg

Sağdaki şekilde alt alta beş periyodik fonksiyonun çizimi gösterilmiştir. Bütün çizimlerde sinüs genliği olarak 1 birim alınmıştır. Periyot sayısı 4 tür. (1440 derece)


  • Birinci örnek:
\begin{align}Y(t)= sin(\omega t )\end{align}

Bu örnekte, faz açısı 0 dır. Bu sebepten 0 anında sinüs fonksiyonun değeri de 0 dır. Değer +/- 1 arasında salınmaktadır.


  • İkinci örnek:
\begin{align}Y(t)= 1+sin(\omega t )\end{align}

Bu örnekte de, sinüs fonksiyonunun faz açısı 0 dır. Ancak sinüs fonksiyonu sabit bir genlikli bir fonksiyon ile toplanmıştır (1). Bu sebepten, 0 anında fonksiyon toplam değeri 1 birimdir. Fonksiyon değeri 0 ile 2 arasında salınmaktadır.


  • Üçüncü örnek
\begin{align}Y(t)= sin(\omega t+\frac{\pi}{4})\end{align}

Bu örnekte, açıda bir de faz farkı terimi gösterilmiştir. Faz açısı л/4 radyan, ya da derece cinsinden 45 derecedir.Bu sebepten, 0 anında fonksiyon değeri (sin 45 =) 0.707 dir. Salınım +/- 1 değerleri arasındadır.

  • Dördüncü örnek :
\begin{align}Y(t)= cos(\omega t )\end{align}

Aslında kosinüs fonksiyonu da sinüs fonksiyonuna dönüştürülebilir.

\begin{align}Y(t)= cos(\omega t )=sin(\omega t+\frac{\pi}{2})\end{align}

olduğundan, bu fonksiyon л/2 radyan ya da derece cinsinden 90 derecedir. Bu sebepten, 0 anında fonksiyon değeri 1 dir. Salınım +/- 1 değerleri arasındadır.


  • Beşinci örnek:
\begin{align}Y(t)= sin(\omega t )+sin(2\omega t)\end{align}

Bu örnekte fonksiyon çiziminin alışılmış sinüs sinyaline benzemediği görülmektedir.Ama bu fonksiyon da gerçekte iki sinüs fonksiyonunun toplamından başka şey değildir.Gerçi 0 anında fonksiyon değeri 0 dır. Ama salınım, +/- 1.76 aralığındadır.


Fourier dönüşümleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: Fourier serileri

Fransız fizikçi Joseph Fourier (1768-1830) adıyla onurlandırılan Fourier dönüşümleri tanımlı herhangi bir periodik fonksiyonun sonsuz sinüs (ya da kosinüs) serileri ile ifade edilebileceğini gösterir. (yukardaki beşinci örnek gibi) Hatta kare veya testeredişi şeklindeki fonksiyonlar bile sinüs serileri toplamı olarak gösterilebilir.

Kare dalga için,

 Y(t) = \frac{4}{\pi}\cdot \sum_{k=1}^\infty {\sin{\left ( (2k-1)\omega t \right )}\over(2k-1)}.
Periyodik hareket 20.jpg

Desteredişi dalga için ise,


\begin{align}
Y(t) &=2\cdot \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{k} \sin(k\omega t) 
\end{align}

(Denklemlerin elde edilmesi ve tanımlı bölge için Fourier serileri maddesine bakılmalıdır.)

Desteredişi ve kare fonksiyonların çizimi şekildedir. Bu şekillerde, sonsuz serinin ilk 10 terimi kullanılmıştır.Süre yukardaki örneklerde olduğu gibi, 4 periyottur.

Deteredişi için;

\begin{align}Y(t)= 2\cdot(sin(\omega t)-\frac{1}{2}sin(2\omega t)+....-\frac{1}{10}sin(10\omega t))\end{align}

Kare için,

\begin{align}Y(t)= \frac{4}{\pi}\cdot (sin(\omega t)+\frac{1}{3}sin(3\omega t)+....+\frac{1}{19}sin(19\omega t))\end{align}

Periyodik fonksiyonların üstsel fonksiyon olarak gösterilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Üstel fonksiyon (ya da kuvvetsel fonksiyon) ile trigonometrik fonksiyonlar arasında şu ilişki vardır.

\begin{align}exp(j\omega t)= e^{j\omega t}= cos (\omega t)+j\cdot sin(\omega t)\end{align}

Burada exp üstel fonsiyon dur. j ise sanal operatördür.(Mühendislikte j, matematikte ise i harfi kullanılır.)

Buna göre ,

\begin{align}cos(\omega t)= \frac{exp(j\omega t)+exp(-j\omega t)}{2}\end{align}
\begin{align}sin(\omega t)= \frac{exp(j\omega t)-exp(-j\omega t)}{2j}\end{align}

Bir başka değişle argümenti sanal sayı olan üstsel fonksiyon da periyodik fonksiyondur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]