Genelleştirilmiş ortalama

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Bir genelleştirilmiş ortalama Pisagorik ortalamalarını, yani aritmetik ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalamayı, ayni tanım formülünde birleşetirip kapsayan bir abstre genelleştirmedir. Güç ortalaması veya Holder ortalaması adları da verilmektedir.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Eğer p sıfır olmayan bir pozitif reel sayı ise, p üslü genelleştirilmiş ortalama


M_p(x_1,\dots,x_n) = \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p \right)^{1/p}.

ifadesine uyan x_1,\dots,x_n pozitif reel sayılardır.

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

t = 1 hali aritmetik ortalama, t = - 1 harmonik ortalamasını ve t = 2 ise ortalama kare kökünü ortaya çıkartır. t limitte 0a yaklaşırsa, M(t') için verilen sayılar için limit o sayıların geometrik ortalamasını verir ve bu nedenle M(0) terimini geometrik ortalama olarak tanımlamak uygun olur. Bunun yanında t ∞ değerine limitte yaklaşmakta ise, M(t) verilen sayıların minimum değerine yaklaşım gösterir.

  • Birçok değişik ortalamalar gibi, genelleştirilmiş ortalama, x_1,\dots,x_n argumanlarının bir homojen fonksiyonudur. Yani b pozitif bir reel sayı ise, b\cdot x_1,\dots, b\cdot x_n reel sayılarının p üslü genelleştirilmiş ortalaması b teriminin x_1,\dots, x_n sayılarının genelleştirilmiş ortalamasına eşittir.
  • Yarı-aritmetik ortalamalar için uygulandığı gibi, ortalamanın hesaplanması birbirine eşit büyüklükte alt-blokların hesaplanması ile elde edilebilir.

M_p(x_1,\dots,x_{n\cdot k}) =
  M_p(M_p(x_1,\dots,x_{k}),
      M_p(x_{k+1},\dots,x_{2\cdot k}),
      \dots,
      M_p(x_{(n-1)\cdot k + 1},\dots,x_{n\cdot k}))

Genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Genellikle, eğer p < q olursa, o halde M_p(x_1,\dots,x_n) \le M_q(x_1,\dots,x_n) olur ve iki ortalama ancak ve ancak x_1 = x_2 = \cdots = x_n ise birbirine eşittir. Bundan şu sonuç ortaya çıkartılır:

\forall p\in\mathbb{R}\ \frac{\partial M_p(x_1,\dots,x_n)}{\partial p}\geq 0,

ve bu Jensen'in eşitsizliğini kullanılarak ispat edilebilir.

Özellikle, p\in\{-1, 0, 1\} ise genelleştirilmiş ortalama eşitsizliği hem Pisagorik ortalamaların eşitsizliğini hem de aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitsizliğini içermektedir.

Özel haller[değiştir | kaynağı değiştir]

n=2 için bazı uygulamalı hallerin vizüyel gösterimi'.

Kuvvet ortalamaları eşitsizliğinin ispatı[değiştir | kaynağı değiştir]

Karşıt işaretli ortalamalar arasındaki eşitsizlerin birbirine tıpatıp benzemesi[değiştir | kaynağı değiştir]

p ve q endeksli güç ortalamaları arasında bir ortalama bulunsun:

\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

O halde:

\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^p}}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^n\frac{w_i}{x_i^q}}

(Bu pozitif reel sayılı kesinlikle azalan bir fonksiyon olduğu için) iki tarafın da -1 üssü alınabilir:

\sqrt[-p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-p}}=\sqrt[p]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^p}}}\geq \sqrt[q]{\frac{1}{\sum_{i=1}^nw_i\frac{1}{x_i^q}}}=\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}

Böylece -p ve -q üsleri olan ortalamalar için bir eşitsizlik elde etmiş oluruz. Aynı mantığı tersten de kullana bilip eşitsizliklerin birbirine aynı olduğu ispat edilebilir. (Bu sonuç ileri de kullanılacaktır.)

Geometrik ortalama[değiştir | kaynağı değiştir]

Herhangi bir q değeri için, q üslü bir ortalama ile geometrik ortalama arasındaki eşitsizliğin şu yolla dönüşümü yapılabilir:

\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}
\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i}

(Birinci eşitsizlik bir pozitif q için ispat edilmiş olması gerekir.)

Her iki tarafından q üssü alınırsa

\prod_{i=1}^nx_i^{w_i\cdot q} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i^q

olur. Her iki halde de x_i^q silsilesi için ağırlıklı aritmetik ve geometrik ortalamalar arasındaki eşitsizlik ele geçirilir. Bu Jensen'in eşitsizliği ve logaritmik fonksiyonun konkav olduğu gerçeklerinden faydalanarak ispat edilebilir.

\sum_{i=1}^nw_i\log(x_i) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)
\log(\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}) \leq \log\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i\right)

(Kesinlikle azalan) exp fonksiyonu her iki tarafa tatbik edilirse, şu eşitsizlik ortaya çıkar:

\prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sum_{i=1}^nw_ix_i

Böylece, herhangi bir pozitif q değeri için şu ifade önerilir:

\sqrt[-q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{-q}}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq \sqrt[q]
{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

Bu eşitsizlik herhangi bir q ne kadar küçük olursa olsun hep gerçek olacağı için, q limitte 0a yaklaştıkça, bu eşitsizliğin sol ve sağ tarafları geometrik ortalamaya yaklaşıklık gösterir. q 0a yaklaşım gösterdikçe, güç ortalaması limitte geometrik ortalamaya yaklaşır:

\lim_{q\rightarrow 0}\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^{q}}=\prod_{i=1}^nx_i^{w_i}

Herhangi bir güç ortalamaları çifti arasındaki eşitsizlik[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada herhangi bir p<q için şu eşitsizliğin geçerli olduğu ispat edilecektir:

\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}
  • Eğer p negatif ise ve q pozitif ise, eşitsizlik yukarıda ispatı verilenin aynıdır:
\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq \prod_{i=1}^nx_i^{w_i} \leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}
  • Hem p pozitif hem de q pozitif ise ispat şöyle yapılır:

Önce şu fonksiyon tanımlanır:

f:{\mathbb R_+}\rightarrow{\mathbb R_+}, f(x)=x^{\frac{q}{p}}.

Burada f bir güç fonksiyonudur; bu nedenle ikinci türevi bulunup şöyle ifade edilir:

f''(x) = \left(\frac{q}{p}\right)\left(\frac{q}{p} - 1\right) x^{\frac{q}{p}-2},

Bu f sahası içinde kesinlikle pozitif olur; çünkü q > p olduğu için f konvekstir.

Bu sonucu ve Jensen'in eşitsizliğini kullanarak, şu ifadeler elde edilir:

f\left(\sum_{i=1}^nw_ix_i^p\right)\leq\sum_{i=1}^nw_if(x_i^p)
\sqrt[\frac{p}{q}]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sum_{i=1}^nw_ix_i^q

Bunun her iki tarafının 1/q üssü alınırsa (1/q)'nin pozitif olması nedeniyle bunun bir artan fonskiyon görülür ve elde edilen eşitsizlik şu olur:

\sqrt[p]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^p}\leq\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}

Bu eşitsizlik ise ispat gereken sonucudur.

  • Hem p negatif ve hem q negatif ise, daha önce gösterilenlere aynı olan ifadeler geçerlidir ve bunlara -p ve -q konulursa, ispatı istenilen eşitsizlik yine elde edilir.

Minimum ve maksimum[değiştir | kaynağı değiştir]

Minimum ve maksimum değerlerin üssel endeksleri

-\infty ve +\infty.

olan güç ortalamaları olduğu kabul edilsin. Böylece herhangi bir q değeri için

\min (x_1,x_2,\ldots ,x_n)\leq \sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq \max (x_1,x_2,\ldots ,x_n)


Maksimum için ispat şöyle yapılır: Genelliği kaybetmeden xi dizisinin artan olmadığını ve ağırlığının sıfır olduğu kabul edilsin. Bu halde eşitsizlik şu ifadeyle aynıdır:

\sqrt[q]{\sum_{i=1}^nw_ix_i^q}\leq x_1

Bu ifadenin iki tarafının da q üssü alınırsa, (qnun işaretine bağlı olarak) şu iki ifadeden birisi elde edilir:

\sum_{i=1}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq}  x_1^q

≤ eğer q>0 , ≥ eğer q<0.

Her iki taraftan w_1x_1 çıkartılırsa, elde edilen ifade

\sum_{i=2}^nw_ix_i^q\leq {\color{red} \geq} (1-w_1)x_1^q

olur. Bu (1-w_1) ile bölünürse, ortaya çıkan ifade şudur:

\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}x_i^q\leq {\color{red} \geq} x_1^q

1 - w1 sıfır değildir, böylece

\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}=1

İki taraftan x1q çıkartırsak ortaya çıkan ifade

\sum_{i=2}^n\frac{w_i}{(1-w_1)}(x_i^q-x_1^q)\leq {\color{red} \geq} 0

olur. Bu epeyce acıkça anlaşılır; çünkü x1 herhangi bir xi değerine eşit veya o değerden daha fazladır ve böylece

x_i^q-x_1^q\leq {\color{red} \geq} 0

Minimum için de ispat nerede ise aynı şekilde yapılır; ancak x1, w1 yerine xn, wn kullanılır.

Genelleştirilmiş f-ortalaması[değiştir | kaynağı değiştir]

Genelleştirilmiş ortalama (veya güç ortalaması) daha da genelleştirilip genelleştirilmiş f-ortalaması formülü ortaya çıkarılmıştır. Bu formül şöyledir:

 M_f(x_1,\dots,x_n) = f^{-1}
\left({\frac{1}{n}\cdot\sum_{i=1}^n{f(x_i)}}\right)

Bu formüle göre güç ortalaması  f\left(x\right)=x^p olarak elde edilir.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinyal üretilmesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir güç ortalaması bir doğrusal olmayan hareketli ortalama hizmeti görür. Bu küçük p için düşük sinyal değerlerine doğru kaydırma yapar ve büyük p için yüksek sinyal değerlerine önem sağlar. Hareketli aritmetik ortalamanın etkin uygulaması (yani smooth uygulaması) gerçekse verilen şu Haskell koduna göre

 powerSmooth :: Floating a => ([a] -> [a]) -> a -> [a] -> [a]
 powerSmooth smooth p =
    map (** recip p) . smooth . map (**p)

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]