Afin dönüşümler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
bir eğrelti benzerifraktal resmi afin kendine-benzer gösterimdir. Ve her eğreltinin otunun yapraklarıbir afin dönüşüm tarafından bir diğeri ile ilişkilidir. Örneğin,yansıma, dönme, genişleme, ve çevirme kırmızı yaprak kombinasyonu tarafından mavi yaprak haline dönüştürülebilir.

geometride, bir afine dönüşüm veya afin harita[1] veya bir affinity (Latinceden, affinis, "birlikte bağlılık") afin uzay noktalar, düz çizgiler ve düzlem arasında bir fonksiyon korunur. Ayrıca, paralellik kümesi ile çizgiler bir afin dönüşüm sonrası paralel kalır.Bir düz bir çizgi üzerinde duran nokta arasındaki mesafe oranlarını korumasına rağmen,bir afin dönüşüm mutlaka, çizgiler veya noktalar arasındaki mesafeler arasındaki açılar korumaz.

Afin dönüşümlere örnek olarak sırayla öteleme,ölçek,benzeşim,benzerlik dönüşümü,yansıma,dönme,kayma eşlemesi,kompozisyonlar,ve bunların herhangi bir kombinasyonudur.Her doğrusal dönüşüm afindir,ama her afin dönüşüm doğrusal değildir.

Eğer X ve Y afin uzayları ise,daha sonra her afin dönüşüm

x \mapsto Mx + b formu,
f : X \to Y dir.

Burada Mbir lineer dönüşümün Xgirişidir. ve b bir vektörYdür. Tamamen lineer dönüşümün farklı, bir afin haritada doğrusal bir alanda sıfır noktası korunması gerekmez.

Öklid uzayı çok amaç için bir afin uzay olarak düşünülüyor olabilir,Afin uzayı kavramı daha genel olmasına rağmen(yani, tüm Öklid uzaylar afin, ama Öklidyen olmayan olan afin uzaylar vardır).afin koordinatlarda,kartezyen koordinatlar Öklid uzaylarda yer alır, Bir afin haritanın her çıkış koordinatı çıkışı doğrusal fonksiyondur; o zaman,(durum vektörleri) Herhangi bir afin dönüşüm bir doğrusal dönüşüme eşdeğerdir bir öteleme aşağıdadır.

Matematiksel Tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

İki afin uzay arasında (bu, uzay noktaları arasındaki vektörleri olup) vektörleri üzerinde doğrusal hareket noktalarının bir göndermesidir[1] f:\mathcal{A} \to \mathcal{B} Semboller içinde, bu noktaların herhangi bir çift için bir f lineer dönüşüm olan φ 'yi belirler;

P, Q \in \mathcal{A}:
\overrightarrow{f(P)~f(Q)} = \varphi(\overrightarrow{PQ})

veya

f(Q)-f(P) = \varphi(Q-P).

Biz aşağıdaki gibi birkaç başka yollarla bu tanımı yorumlayabiliriz..

O \in \mathcal{A} seçersek, ve B imajını gösterir f(O) \in \mathcal{B}, bu demektir ki bir vektör \vec{x}:

f: (O+\vec{x}) \mapsto (B+\varphi(\vec{x}))

Eğer orijin O' \in \mathcal{B} seçilirse buu bir afin dönüşüm olarak ayrıştırılabilir ve B görüntüsüf(O) \in \mathcal{B} ise,herhangi bir \vec{x} vektörü için bunun anlamı

g: (O+\vec{x}) \mapsto (O'+\varphi(\vec{x})) ,
g : \mathcal{A} \to \mathcal{B} buraya gönderir O \mapsto O' yani
\vec{b} = \overrightarrow{O'B} tarafından aşağıda çevrilen sonuç olarak bu,sezgisel bir f bir çevirisi ile doğrusal harita oluşur.

Alternatif tanımlar[değiştir | kaynağı değiştir]

İki Afin uzay veriliyor \mathcal{A} ve \mathcal{B}, aynı alan üzerinde, bir fonksiyon f: \mathcal{A} \to \mathcal{B} bir afin göndermedir.ancak ve ancak her aile için ağırlık noktalarının \{(a_i, \lambda_i)\}_{i\in I} \mathcal{A} böylece

\sum_{i\in I}\lambda_i = 1 ,

[2]

f\left(\sum_{i\in I}\lambda_i a_i\right)=\sum_{i\in I}\lambda_i f(a_i)\, .

Bir diğer ifadeyle, f barycenterler korunur.

Gösterimler[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıda gösterilen, bir afin gönnderme iki fonksiyonun kompozisyonudur: bir öteleme ve bir doğrusal gönderme. Olağan vektör cebri doğrusal göndermeler gönderimi için matris çarpımı ve ötelemeler gösterimi için vektör toplamı kullanılıyor. Resmi olarak,sonlu-boyutlu durum içinde, eğer doğrusal gönderme bir matris A ile bir çarpım olarak ve bir vektör \vec{b}nin toplamı öteleme olarak gösteriliyorsa, bir vektör \vec{x} üzerinde hareketi bir afin gönderme f olarak gösterilebilir


\vec{y} = f(\vec{x}) = A \vec{x} + \vec{b}.

Genişletilmiş matris[değiştir | kaynağı değiştir]

2D düzlem üzerinde afin dönüşümler üç boyutlu olarak gerçekleştirilebilir. öteleme z ekseni üzerinde boyunca kesme yapılır, ve dönme z ekseni etrafında yapılır.

Bir genişletilmiş matris ve bir genişletilmiş vektör kullanılıyor, bunu hem öteleme ve hem doğrusal gönderme bir tek matris çarpımı ile temsil etmek mümkündür.Bu teknikle tüm vektörleri genişletmek gerekir sonda bir "1" ile genişler,ve tüm matrisler altta sıfırın bir fazladan satırı kadar genişletiliyor,bir fazladan sütun sağa-öteleme vektörü-ve sağ alt köşe içinde bir "1". Eğer A bir matris ise,


\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}

aşağıdakine eşdeğerdir.


\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.

Düzlemin afin dönüşümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Merkezi bir genleşme.Üçgenler A1B1Z, A1C1Z, ve B1C1Z eşleştirilir olsun sırasıyla A2B2Z, A2C2Z, ve B2C2Z.

Iki gerçek boyutlu Afin dönüşümler dahil:

  • tam öteleme,
  • Başka bir yönde bir çizgi ile ilgili olarak belirli bir yönde ölçekleme(dik olması gerekmez), öteleme ile birlikte ölçekleme yönünde saf değildir; genel bir anlamda "ölçeklendirme" alarak bu durumlarda içeren ölçek faktörü (izdüşüm) sıfırdır veya negatiftir; sonraki yansıma içerir, ve öteleme ile birlikte öteleme yansıması içerir,
  • dönmeye kombine benzerlik ile bir öteleme,
  • kesme gönderme bir benzeşim ve bir öteleme ile birlikte,veya
  • sıkı gönderme bir benzeşim ve bir öteleme ile birlikte.

Öklid planında genel afin gösteriminin görselleştirilmesi için paralelkenarlar ABCD ve A′B′C′D′etiketlenir. Seçilen herhangi iki nokta,A dan A′ya T planında burada afin dönüşüm olarak alınıyor, ve her tepe eşdeğerdir. Varsayalımki dejenere durumları dışlıyoruz burada ABCDsıfır bölge idi,ayrıca burada tek benzersiz afin dönüşüm Tdir. ABCD tabanlı paralelkenarın bir bütün gridi dışarı sürülerek,herhangi bir T(A)belirtilerek P noktası tarafından belirlenen bu imaj T(P)dir. T(A) = A′,T AB çizgi parçasına uygulanan A′B′dir, T' çizgi parçasına uygulanan AC A′C′dir, ve A tabanlı vektörlerin T sırasıyla skaler topluluğudur.[Eğer A, E, F eşdoğrusal ise kesir(AF)uzunluğu/(AE)uzunluğu eşittir.(AF′)uzunluğu/(AE′)uzunluğu.] geometrik T ye göre ABCD yi A′B′C′D′ tabanına grid dönüştürür .

Afin dönüşümlerin uzunlukları veya açılarını sırası yok etmek için alanı onlar sabit bir katsayısı ile çarpılır

A′B′C′D′ bölgesi / ABCD bölgesi.

verilen bir T ya doğrudan (sıralı yönlendirme ), veya dolaylı (ters yönlendirme) olabilir , ve bu belki işaret olarak etkisi tarafından belirlenen bölgedir (örnek için vektörlerin çapraz çarpım'ı tanımlanır).

Afin dönüşümlerin örnekleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Reel sayılar üzerinde Afin dönüşümler[değiştir | kaynağı değiştir]

f : RR fonksiyonları, f(x) = mx + c ile m ve c sabiti,olağan afin dönüşümler yapar.

Sonlu bir alan üzerinde afin dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir afin dönüşüm içeren GF(28) denklemi aşağıdaki ifade edilmiştir:


\{\,a'\,\} = M\{\,a\,\} \oplus \{\,v\,\},
burada [M] matristir ve {v} vektördür.
M\{\,a\,\}=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&1&1&1&1 \\
1&1&0&0&0&1&1&1 \\
1&1&1&0&0&0&1&1 \\
1&1&1&1&0&0&0&1 \\
1&1&1&1&1&0&0&0 \\
0&1&1&1&1&1&0&0 \\
0&0&1&1&1&1&1&0 \\
0&0&0&1&1&1&1&1
\end{bmatrix}
 :\{\,v\,\}= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}.

Örneğin,büyük-sonlu ikili gösterimi içinde aşağıdaki hesaplanan elemanın afin dönüşümü büyük-sonlu hekzadesimal gösterim içinde {CA} ={a} = y7 + y6 + y3 + y = {11001010} :

a_0' = a_0 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 1
a_1' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0
a_2' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
a_3' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_7 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1
a_4' = a_0 \oplus a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus 0 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 = 0
a_5' = a_1 \oplus a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus 1 = 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 = 1
a_6' = a_2 \oplus a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus 1 = 0 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 1
a_7' = a_3 \oplus a_4 \oplus a_5 \oplus a_6 \oplus a_7 \oplus 0 = 1 \oplus 0 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 = 1.

Böylece, {a′} = y7 + y6 + y5 + y3 + y2 + 1 = {11101101} = {ED} afin dönüşümü elde edilir.

Düzlem geometride Afin dönüşüm[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçek düzlemde basit bir afin dönüşüm

2 içinde,dönüşüm tarafından verilen gönderme ile sağ tarafta gerçekleştirilen gösterim:

\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 0&1\\ 2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -100 \\ -100\end{bmatrix}

Orijinal üçgen (kırmızı) üç köşe noktaları dönüşüm ile yeni üçgen(mavi) oluşturan üç yeni nokta verir. Bu dönüşüm orijinal üçgeni eğriltir ve öteler. Aslında, her üçgen bir afin dönüşümler başka bir üçgen ile ilgilidir.Bu, aynı zamanda tüm paralelkenarlar için değil,tüm dörtgenler için de geçerlidir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b Berger, Marcel (1987), p. 38.
  2. ^ Schneider, Philip K. & Eberly, David H. (2003). Geometric Tools for Computer Graphics. Morgan Kaufmann. ss. 98. ISBN 978-1-55860-594-7. http://books.google.com/books?id=3Q7HGBx1uLIC&pg=PA98. 

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]