İntegral testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte integral testi veya bir diğer deyişle yakınsaklık için integral testi, terimleri negatif olmayan sonsuz serilerin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu testin erken bir versiyonu 14üncü yüzyılda Hint matematikçi Madhava ve takipçileri tarafından bulunmuştur. Avrupa'da ise Maclaurin ve Cauchy tarafından geliştirilmiş olup aynı zamanda Maclaurin-Cauchy testi olarak da bilinir.

Testin ifadesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir N tamsayısını ve sınırsız [N, ∞) aralığında tanımlı monoton azalan bir f fonksiyonunu ele alalım. O zaman,

\sum_{n=N}^\infty f(n)

serisi ancak ve ancak

\int_N^\infty f(x)\,dx

integrali sonlu ise, yakınsaktır. Özelde, integral ıraksar ise, o zaman seri de ıraksar.

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

İspat basit bir şekilde f(n) terimini f 'nin [n − 1, n] ve [n, n + 1] aralıkları üzerindeki integralleriyle karşılaştırarak, karşılaştırma testini kullanmaktadır

f, monoton azalan bir fonksiyon olduğu için,


f(x)\le f(n)\quad\text{, } x\in[n,\infty)

ve


f(n)\le f(x)\quad\text{, } x\in[N,n],

olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, N 'den büyük n için,


\int_n^{n+1} f(x)\,dx
\le\int_{n}^{n+1} f(n)\,dx
=f(n)
=\int_{n-1}^{n} f(n)\,dx
\le\int_{n-1}^n f(x)\,dx.

Alt tahmin de aynı zamanda f(N) için geçerli olduğu için, N 'den belli bir M (M, N 'den büyüktür) tamsayısına kadar n üzerinden toplamlarla


\int_N^{M+1}f(x)\,dx\le\sum_{n=N}^Mf(n)\le f(N)+\int_N^M f(x)\,dx

elde ederiz. M sonsuza giderse, sonucu elde ederiz.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Harmonik seri


\sum_{n=1}^\infty \frac1n

ıraksar çünkü doğal logaritmayı, türevini ve hesabın temel teoremini kullanarak


\int_1^M\frac1x\,dx=\ln x\Bigr|_1^M=\ln M\to\infty
\text{,} \quad M\to\infty \quad\text{iken}.

elde edilir.

Tersine,


\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^{1+\varepsilon}}

serisi (Riemann zeta fonkisyonu ile karşılaştırınız) her ε > 0 için ıraksar çünkü


\int_1^M\frac1{x^{1+\varepsilon}}\,dx
=-\frac1{\varepsilon x^\varepsilon}\biggr|_1^M=
\frac1\varepsilon\Bigl(1-\frac1{M^\varepsilon}\Bigr)
\le\frac1\varepsilon\text{,}\quad
\forall M\ge1.

Yakınsaklık ve ıraksaklık arasındaki sınır çizgisi[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukarıdaki harmonik serileri de içeren örnekler şu soruyu beraberinde getirir: Terimleri f(n) olan ve 1/n 'den daha hızlı bir şekilde 0'a doğru azalan; ancak, 1/n1+ε 'dan her ε > 0 için


\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n}=0
\quad\text{ve}\quad
\lim_{n\to\infty}\frac{f(n)}{1/n^{1+\varepsilon}}=\infty

bağlamında 0'a doğru daha yavaş azalan monoton bir seri var mı ve bu seri yine de ıraksar mı? Böyle bir seri bulunur bulunmaz, aynı soru 1/n 'nin yerini almış f(n) ile de sorulabilir vs. Bu yolla, ıraksaklık ve yakınsaklık arasındaki sınır çizgisini araştırmak mümkündür.

İntegral testini kullanarak, her k doğal sayısı için


\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots \ln_{k-1}(n)\ln_k(n)}

serisinin hala ıraksadığı gösterilebilir (k = 1 için, asalların terslerinin toplamı ıraksar ile karşılaştırınız.); ancak


\sum_{n=N_k}^\infty\frac1{n\ln(n)\ln_2(n)\cdots\ln_{k-1}(n)(\ln_k(n))^{1+\varepsilon}}

serisi her ε > 0 için yakınsar. Burada, lnk doğal logaritmanın arka arkaya k kere bileşkesinin alınmasını göstermektedir:


\ln_k(x)=
\begin{cases}
\ln(x)&\text{, }k=1,\\
\ln(\ln_{k-1}(x))&\text{, }k\ge2.
\end{cases}

Dahası, Nk bu k bileşkenin iyi tanımlı olduğu ve lnk Nk ≥ 1 eşitsizliğini sağlayan en küçük doğal sayıyı gösterir; yani


N_k\ge \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^{e}}}}}_{k\ \text{tane}\ e}=e \uparrow\uparrow k .

İlk serinin ıraksaklığını integral testi ile görmek için, zincir kuralının arka arkaya kullanımının


\frac{d}{dx}\ln_{k+1}(x)
=\frac{d}{dx}\ln(\ln_k(x))
=\frac1{\ln_k(x)}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac1{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)},

verdiğini görmemiz gerekir. Bu yüzden


\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_k(x)}
=\ln_{k+1}(x)\bigr|_{N_k}^\infty=\infty.

İkinci serinin yakınsaklığını görmek için, kuvvet serisi, zincir kuralı ve yukarıdaki sonucun


-\frac{d}{dx}\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}
=\frac1{(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}\frac{d}{dx}\ln_k(x)
=\cdots
=\frac{1}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}

verdiğini görmeliyiz. Bu yüzden,


\int_{N_k}^\infty\frac{dx}{x\ln(x)\cdots\ln_{k-1}(x)(\ln_k(x))^{1+\varepsilon}}
=-\frac1{\varepsilon(\ln_k(x))^\varepsilon}\biggr|_{N_k}^\infty<\infty

olur.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (&; 3.3) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4üncü baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3