Casimir değişmezi

matematik'te, bir Casimir ögesi (ayrıca Casimir değişmezi veya Casimir operatörü olarak bilinir) merkez bir Lie cebri'nin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkezinin bir seçkin ögesidir. Bir prototipik örnek kare açısal momentum operatörü'dür, Bu üç-boyutlu döndürme grubu'nun bir Casimir ögesidir .

Casimir ögesi Hendrik Casimir anısınadır ,1931 yılında katı cisim dinamiklerinin tanımı içinde belirtimiştir .

Tanım

Varsayalımki bu g bir n−boyutlu yarıbasit Lie cebiri ile taban {X₁, ..., X_n}dır. Dahası diyelimki {X¹, ..., Xⁿ} olsun gnin çift tabanı ile sırasıyla bir sabit değişmezlik çiftdoğrusal formu (örneğin Killing form) olarak g. Casimir ögesi Ω evrensel kapsayıcı cebir'in bir ögesidir. U(g) tarafından verilen formül

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

Casimir elemanın tanımı Lie cebir temelinde belirli bir seçimi işaret etmesine rağmen, o kolayca göstermektedir ki elde edilen öğe Ω'dur.Bu seçim bağımsızdır. Dahası, çiftdoğrusal formun değişmezlik tanımı içinde kullanılan ifade bu Casimir ögesi ile Lie cebri gnin bütün ögeleri ile sırabağımsız, ve dolayısıyla evrensel kuşatıcı cebirU(g) merkezinde yatıyor

Given any representation ρ of g on a vector space V, possibly infinite-dimensional, the corresponding Casimir invariant is ρ(Ω), the linear operator on V given by the formula

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

Diferansiyel geometri ve global analiz içinde önemli bir oynayan yapının özel bir durumudur.Varsayalımki bir bağlantılı Lie grubu G ile Lie cebri g' bir diferensiyellenebilir manifold M olarak hareket ediyor,gnin ögeleri ise ilk dereceden diferansiyel operatörler olarak M tarafından gösteriliyor. Bu gösterim ρ düzgün fonksiyonlar olarak Min uzayıdır. Bu durum içinde Casimir değişmezi G–değişmez ikinci dereceden diferansiyel operatör yukarda formülde M olarak tanımlanmıştır.

More general Casimir invariants may also be defined, commonly occurring in the study of pseudo-differential operators in Fredholm theory.

Özellikler

Casimir operator is bir seçkin öge of the merkez of the universal enveloping algebra of the Lie cebri. Diğer bir değişle, it is bir üye of cebir of all differential operators that commutes with all the generators in the Lie algebra.

The number of bağımsız ögeler of the merkez of the universal enveloping algebra is also the rank in the case of a yarıyalın Lie cebri. The Casimir operator gives the concept of the Laplacian on a general semisimple Lie group; but this way of counting shows that there may be no unique analogue of the Laplacian, for rank > 1.

cebrin içindeki evrensel kapsayıcı cebir topluluğu ile bütün diğer ögelerin merkezininin herhangi üyesi tarafından tanımlanıyor. By Schur's Lemma, Lie cebrinin herhangi indirgenemeyen gösterimi içinde, Casimir operator böylece eş orantılıdır. Bu orantılığın sabiti Lie cebrinin sınıflandırılmış gösteriminde kullanılabilir(ve bundan dolayı,o Lie grubu gibidir).Fizik kütle ve spin bu sabitlerin örneğidir, kuantum mekaniği içinde birçok diğer kuantum sayıları olarak bulunur. yüzeysel olarak, topolojik kuantum sayılarıs form an exception to bu desenler; although deeper theories hint that these are two facets of the same phenomenon.

Örnekler: so(3)

so(3) Lie cebri SO(3)'ün Lie cebridir,döndürme gurubu için üç-boyutlu Öklid uzayı.o rank 1'in yalınıdır, ve böylece o bir tekil bağımsız Casimir'dir.Killing form için döndürme gurubu sadece Kronecker delta'dır, ve so the Casimir değişmezi L_x, L_y, L_z cebrinin üreteçlerin karelerinin basit toplamıdır.That is, the Casimir invariant is given by

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

bir indirgenemeyen gösterim içinde, Casimir operatör ifadesinin değişmezi cebrin tanıtım ögesi e nin bir çokluğu ,şöyleki

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.$

kuantum mekanik'te, skaler değer ℓ toplam açısal momentum'u ifade eder. Sonlu-boyutlu matris değerli için döndürme gruplarının gösterimleri , ℓ herzaman tamsayı değeri olarak alınır (bozonik gösterimler için) veya (fermiyonik gösterimler için yarı-tamsayı değeridir ).

ℓ'nin bir verilen bir değeri için, the matris gösterimi (2ℓ + 1)–boyutludur. Böylece, örneğin, üç-boyutlu gösterim için so(3) karşılığı ℓ = 1, ve üreteçler tarafından verilen

$L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},\quad L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},\quad L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

The kuadratik Casimir değişmezi is ise

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ℓ(ℓ + 1) = 2 olur ise ℓ = 1. Benzer şekilde,iki boyutlu gösterim Pauli matrisleri tarafından verilen bir taban,spin 1/2'nin karşılığıdır.

Özdeğerler

Verilen Ω kapsayıcı cebir içinde merkezdir, o hareket olarak bir skaler tarafından basit modüller,Diyelimki $\langle ,\rangle$ olsun herhangi çiftdoğrusal simetrik non-dejenere olmayan form, biz Ω tanımlıyoruz. Diyelimki L(λ) olsun modül ağırlık λ'nın sonlu boyutlu yüksek ağırlıkta ,ise Casimir öge Ω hareketleri olarak L(λ) sabit tarafından $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle ,$ burada ρ ağırlık pozitif kökler yarı toplamı tarafından tanımlanır.

Ayrıca bakınız

• Harish-Chandra isomorphism
• Pauli–Lubanski pseudovector

Daha fazla okuma

• Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (Second printing, revised bas.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
• Jacobson, Nathan (1979). Lie algebras. Dover Publications. ss. 243–249. ISBN 0-486-63832-4.