Casimir değişmezi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

matematik'te, bir Casimir ögesi (ayrıca Casimir değişmezi veya Casimir operatörü olarak bilinir) merkez bir Lie cebri'nin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkezinin bir seçkin ögesidir. Bir prototipik örnek kare açısal momentum operatörü'dür, Bu üç-boyutlu döndürme grubu'nun bir Casimir ögesidir .

Casimir ögesi Hendrik Casimir anısınadır ,1931 yılında katı cisim dinamiklerinin tanımı içinde belirtimiştir .[1]

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Varsayalımki bu g bir n−boyutlu yarıbasit Lie cebiri ile taban {X1, ..., Xn}dır. Dahası diyelimki {X1, ..., Xn} olsun gnin çift tabanı ile sırasıyla bir sabit değişmezlik çiftdoğrusal formu (örneğin Killing form) olarak g. Casimir ögesi Ω evrensel kapsayıcı cebir'in bir ögesidir. U(g) tarafından verilen formül

\Omega = \sum_{i=1}^n X_i X^i.

Casimir elemanın tanımı Lie cebir temelinde belirli bir seçimi işaret etmesine rağmen, o kolayca göstermektedir ki elde edilen öğe Ω'dur.Bu seçim bağımsızdır. Dahası, çiftdoğrusal formun değişmezlik tanımı içinde kullanılan ifade bu Casimir ögesi ile Lie cebri gnin bütün ögeleri ile sırabağımsız, ve dolayısıyla evrensel kuşatıcı cebirU(g) merkezinde yatıyor

g bir vektör alanı V herhangi bir temsili ρ önüne alındığında, muhtemelen sonsuz boyutlu,gelen Casimir değişmez ρ (Ω) 'dir,Formül tarafından verilen lineer operatör V

\rho(\Omega) = \sum_{i=1}^n \rho(X_i)\rho(X^i).

Diferansiyel geometri ve global analiz içinde önemli bir oynayan yapının özel bir durumudur.Varsayalımki bir bağlantılı Lie grubu G ile Lie cebri g' bir diferensiyellenebilir manifold M olarak hareket ediyor,gnin ögeleri ise ilk dereceden diferansiyel operatörler olarak M tarafından gösteriliyor. Bu gösterim ρ düzgün fonksiyonlar olarak Min uzayıdır. Bu durum içinde Casimir değişmezi G–değişmez ikinci dereceden diferansiyel operatör yukarda formülde M olarak tanımlanmıştır.

yaygın Fredholm teorisi pseudo-diferansiyel operatörler çalışmada meydana gelen daha genel Casimir değişmezleri da tanımlanabilir,

Özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Casimir operatörü Lie cebrinin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkez'inin seçkin bir ögesidir.Diğer bir değişle,o sırabağımsız Lie cebirinin tüm üreteçler ile bütün diferansiyel operatörlerin cebrinin bir üyesidir

Evrensel kapsayıcı cebirin merkezinin bağımsız ögelerinin sayısı bir yarıyalın Lie cebri'nin durumu içindeki rank gibidir,verilen Casimir operatörü Laplasiyen'in kavramı olarak bir genel yarıyalın Lie grubu;ancak sayımının bu yolu rank > 1için Laplasiyen'in hiçbir eşsiz analogu olamayacağını gösteriyor.

Cebrin içindeki evrensel kapsayıcı cebir topluluğu ile bütün diğer ögelerin merkezininin herhangi üyesi tarafından tanımlanıyor. Schur Lemması ile, Lie cebrinin herhangi indirgenemeyen gösterimi içinde, Casimir operator böylece eş orantılıdır. Bu orantılığın sabiti Lie cebrinin sınıflandırılmış gösteriminde kullanılabilir (ve bundan dolayı,o Lie grubu gibidir).Fizik kütle ve spin bu sabitlerin örneğidir,yüzeysel olarak,topolojik kuantum sayıları formunda bir istisnayı oluşturan bu desenler; derin teoriler bu aynı olayın iki yönü olduğunu işaret ediyor olmasına rağmen kuantum mekaniği içinde birçok diğer kuantum sayıları olarak bulunur.

Örnekler: so(3)[değiştir | kaynağı değiştir]

so(3) Lie cebri SO(3)'ün Lie cebridir,döndürme gurubu için üç-boyutlu Öklid uzayı.o rank 1'in yalınıdır, ve böylece o bir tekil bağımsız Casimir'dir.Killing form için döndürme gurubu sadece Kronecker delta'dır, ve so the Casimir değişmezi Lx, Ly, Lz cebrinin üreteçlerin karelerinin basit toplamıdır. Yani,bu Casimir değişmezi verir;

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2.

bir indirgenemeyen gösterim içinde, Casimir operatör ifadesinin değişmezi cebrin tanıtım ögesi e nin bir çokluğu ,şöyleki

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=\ell(\ell+1)e.

kuantum mekanik'te, skaler değer ℓ toplam açısal momentum'u ifade eder. Sonlu-boyutlu matris değerli için döndürme gruplarının gösterimleri , ℓ herzaman tamsayı değeri olarak alınır (bozonik gösterimler için) veya (fermiyonik gösterimler için yarı-tamsayı değeridir ).

ℓ'nin bir verilen bir değeri için, the matris gösterimi (2ℓ + 1)–boyutludur. Böylece, örneğin, üç-boyutlu gösterim için so(3) karşılığı ℓ = 1, ve üreteçler tarafından verilen

L_x= \begin{pmatrix}
0& 0& 0\\
0& 0& -1\\
0& 1& 0
\end{pmatrix}, \quad
L_y=
\begin{pmatrix}
0& 0& 1\\
0& 0& 0\\
-1& 0& 0
\end{pmatrix}, \quad
L_z=
\begin{pmatrix}
0& -1& 0\\
1& 0& 0\\
0& 0& 0
\end{pmatrix}.

kuadratik Casimir değişmezi ise

L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2= 2
\begin{pmatrix}
1& 0& 0\\
0& 1& 0\\
0& 0& 1
\end{pmatrix}

ℓ(ℓ + 1) = 2 olur ise ℓ = 1. Benzer şekilde,iki boyutlu gösterim Pauli matrisleri tarafından verilen bir taban,spin 1/2'nin karşılığıdır.

Özdeğerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Verilen Ω kapsayıcı cebir içinde merkezdir, o hareket olarak bir skaler tarafından basit modüller,Diyelimki \langle,\rangle olsun herhangi çiftdoğrusal simetrik non-dejenere olmayan form, biz Ω tanımlıyoruz. Diyelimki L(λ) olsun modül ağırlık λ'nın sonlu boyutlu yüksek ağırlıkta ,ise Casimir öge Ω hareketleri olarak L(λ) sabit tarafından \langle \lambda, \lambda + 2 \rho \rangle, burada ρ ağırlık pozitif kökler yarı toplamı tarafından tanımlanır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Oliver, David (2004). The shaggy steed of Fiziğin kaba tüylü atı: mathematical beauty in the physical world. Springer. ss. 81. ISBN 978-0-387-40307-6. 

Daha fazla okuma[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (Second printing, revised bas.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
  • Jacobson, Nathan (1979). Lie algebras. Dover Publications. ss. 243–249. ISBN 0-486-63832-4.