Pauli matrisleri

Pauli matrisleri 2 × 2' lik, karmaşık sayılar içeren Hermisyen ve üniter matrislerden oluşan bir settir. Genellikle Yunan alfabesindeki 'sigma' (σ), harfiyle sembolize edilirler. Bu matrisler:

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

İsim onları bulan Wolfgang Pauli' den gelmektedir.

Özellikler

I birim matris olmak üzere.

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

• Pauli matrislerinin determinant ve izleri:

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0 & \quad \ i = 1, 2, 3 \end{matrix}$

Dolayısıyla bu matrislerin özdeğerlerinin σ_i ±1 olduğu açıkça görülebilir.

• Birim matris I (bazen σ₀ olarak da gösterilir) ile birlikte Pauli matrisleri gerçel Hilbert uzayında, 2 × 2 karmaşık Hermisyen matrisler olarak veya kompleks Hilbert uzayında 2 × 2 matrisler olarak orthogonal (birbirine dik ve normalize) bir baz oluştururlar.

Komutasyon bağıntıları

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i \quad i\ne j\,\!$

• Yukarıdaki ifadeler kullanılarak $\varepsilon_{ijk}$ Levi-Civita sembolü, $\delta_{ij}$ Kronecker delta ve I is the birim matris olmak üzere şu komutasyon ve anti komutasyon ilişkileri elde edilir:

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix}$

Yukarıdaki bağıntılar şöyle özetlenebilir:

$\sigma_i \sigma_j = \delta_{ij} \cdot I + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \,$.

Pauli vektörü şu şekilde tanımlıdır:

$\vec{\sigma} = \sigma_1 \hat{x} + \sigma_2 \hat{y} + \sigma_3 \hat{z} \,$

Bu komutasyon bağıntıları ve pauli vektör tanımı kullanılarak aşağıdaki ifadeler elde edilebilir:

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} ) \quad \quad \quad \quad (1) \,$

(a ve b vektörleri pauli matrisleriyle değişme özelliğine sahip olması durumunda)

en genel tanımıyla $\vec{a} = a \hat{n}$ olarak verilen bir a vektörü için

$e^{i (\vec{a} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \sigma) \sin{a} \quad \quad \quad \quad \quad \quad (2) \,$

(1)' in ispatı

$(\vec{a} \cdot \vec{\sigma})(\vec{b} \cdot \vec{\sigma}) \,$	$= a_i \sigma_i b_j \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \sigma_i \sigma_j \,$
	$= a_i b_j \left( \delta_{ij} + i \varepsilon_{ijk} \sigma_k \right) \,$
	$= a_i b_j \delta_{ij} + i \sigma_k \varepsilon_{ijk} a_i b_j \,$
	$= \vec{a} \cdot \vec{b} + i \vec{\sigma} \cdot ( \vec{a} \times \vec{b} )\,$

(2)' nin ispatı

Çift kuvvetler için

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n} = I \,$

tek kuvvetler için

$(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})^{2n+1} = \hat{n} \cdot \vec{\sigma} \,$

Üstel açılımının çift ve tek kuvvetlerinin sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının Taylor açılımlarını verdiği anımsanırsa:

$e^{ix} \,$	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{i^n x^n}{n!}} \,$
	$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

$x = a (\hat{n} \cdot \sigma) \,$ yerine koyularak

$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n}}{2n!}} + i\sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n (a\hat{n}\cdot \sigma)^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

$= \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n}}{2n!}} + i (\hat{n}\cdot \sigma) \sum_{n=0}^\infty{\frac{(-1)^n a^{2n+1}}{(2n+1)!}} \,$

sonuçta,

$e^{i a(\hat{n} \cdot \vec{\sigma})} = \cos{a} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin{a} \,$

ifadesine ulaşılır.

Fizik

Kuantum mekaniğinde Pauli matrisleri spin ½ sistemlerin spinlerini konum uzayında betimler. Sistemin durumu iki bileşenli bir spinörle ifade edilir. Spin operatörleri bu matrislerle verilirler.

$S_i = \frac{ \hbar }{2}\sigma_i \quad i=1,2,3$

Pauli matrislerinin özdeğerlerinin ±1 olması spin operatörlerinin özdeğerlerinin $\pm \hbar /2$ olması, dolayısıyla bir eksen yönünde yapılan spin ½ sistemin spininin iki değerden birini alması anlamına gelir. Bu konuyla daha kapsamlı bilgi için Stern-Gerlach deneyi incelenebilir.