Lp uzayı

matematik'te, L^p uzayı are sonlu-boyutlu vektör uzayı bir doğal p-norm'un genelleme işlemi olarak tanımlanan fonksiyon uzayı'dır. BazenLebesque uzayı olarakta adlandırlır,Henri Lebesgue anısı adına Dunford & Schwartz 1958, III.3, göre her ne kadar to the Bourbaki grubu Bourbaki 1987 burada ilk Frigyes Riesz Riesz 1910. tarafından tanıtıldı L^p uzayı fonksiyonal analiz içinde Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzayı'nın önemli bir formudur, . Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik, ve diğer disiplinlerde uygulamaları vardır.

sonlu boyutlu içinde p-norm

p-norm içindeki farklı birim çember 'in gösterimi( orijinden her vektör bir birim çembere bir uzunluk idi pnin uzunluk formülü ile uzunluk hesaplanıyor.)

p = ³⁄₂ norm içinde birim çember (süperelips)

Bir vektörün uzunluğu x = (x₁, x₂, …, x_n) in the n-boyutlu gerçel vektör uzayı Rⁿ genellikle Öklid norm'u tarafından verilen :

$\ \|x\|_{2}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dotsb +x_{n}^{2}\right)^{\frac {1}{2}}$

Öklid uzunluğu iki nokta x ve y iki nokta arasındaki $\scriptstyle \|x\,-\,y\|_{2}$ düz çizginin uzunluğudur,birçok durumlar içinde,öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersiz. Örneğin, taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir ,ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde ,hangi sokaklar birbirine ya ortogonal veya paralel olduğu dikkate alınır. p-normlarının sınıfları genellemesi burada iki örnek ve matematik, fizik, ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamaların bir bolluğu idi.

Tanım

Bir gerçel sayı p ≥ 1 için, p-norm veya L^p-norm

$\ \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$ tarafından xın tanımıdır.

Yukarıdan Öklid norm bu sınıfa düşer ve 2-normdur ve 1-norm karşılık gelen norm Manhattan uzaklığıdır

L^∞-norm veya enbüyük norm (veya tektip norm) $\scriptstyle p\,\to \,\infty$ için L^p-normları limittir.Bu limitin aşağıdaki tanım eşdeğer olduğu ortaya çıktı:

$\ \|x\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}$

Bütün p ≥ 1 için, the p-normlar ve maksimum norm olarak yukarda tanımlanan gerçekten bir "uzunluk fonksiyonu" özelliklerini karşılayacak (veya normdur), şunlar vardır:

• Sadece sıfır vektörü sıfır uzunluğu vardır
• Vektör uzunluğu skaler çarpımına göre pozitif homojen olduğu, ve
• İki vektör toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından daha büyük değildir (üçgen eşitsizliği).).

teorik olarak, bunun anlamı Rⁿ ile beraber p-norm bir Banach uzayı'dır. Bu Banach uzayı L^p-space over Rⁿ'dır.

p-normlar arasındaki ilişkiler

Bu iki nokta arasındaki grid uzaklığı ("Manhattan uzaklığı") aralarında çizgi parçasının uzunluğu asla daha kısa değildir bu sezgisel açıktır (mesafe "kuş uçuşu" Öklid veya),biçimsel olarak, herhangi bir vektör öklid norm olan 1-norm ile sınırlı olduğu anlamına gelir

$\|x\|_{2}\leq \|x\|_{1}$

Bu p-norm içerisinde p-normlar olduğu gerçeğini yaygınlaştırıyor herhangi bir x vektörün $\scriptstyle \|x\|_{p}$ pile büyümez:

$\|x\|_{p+a}\leq \|x\|_{p}$ herhangi bir vektör x için ve gerçek sayılar p ≥ 1 ve a ≥ 0. (Aslında bu 1>p>0 vea ≥ 0 için doğru kalır.)

Ters yönde için, 1-norm ve 2-norm arasında aşağıdaki ilişki bilinmektedir:

$\|x\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\|x\|_{2}$

Bu eşitsizlik boyut temel vektör alanı n bağlıdır ve doğrudan aşağıdaki Cauchy-Schwartz eşitsizliği. This inequality depends on the dimension n of the underlying vector space and follows directly from the Cauchy–Schwarz inequality.

Genel olarak, $\mathbb {C} ^{n}$ where p > r > 0 vektörler için :

$\|x\|_{p}\leq \|x\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_{p}$

0 < p < 1 ise

Astroid, unit circle in p = ²⁄₃ metric

In Rⁿ for n > 1, the formula

$\ \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

defines an absolutely homogeneous function for 0 < p < 1; however, the resulting function does not define an F-norm, because it is not subadditive. In Rⁿ for n > 1, the formula for 0 < p < 1

$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)$

Bir alt toplamsal fonksiyon tanımlar, bu bir F-norm tanımlama yapar. Bu F-norm homojen değildir.

Ancak, fonksiyon

$d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}$

Bir metrik tanımlanır. Metrik uzay(Rⁿ, d_p) aşağıda ifade edilmiştir ℓ_n^p.

Although the p-unit ball B_n^p around the origin in this metric is "concave", the topology defined on Rⁿ by the metric d_{p is the usual vector space topology of Rⁿ, hence ℓn^p is a locally convex topological vector space. Beyond this qualitative statement, a quantitative way to measure the lack of convexity of ℓn^p is to denote by Cp(n) the smallest constant C such that the multiple C Bn^p of the p-unit ball contains the convex hull of Bn^p, equal to Bn¹. The fact that Cp(n) = n^1/p – 1 tends to infinity with n (for fixed p < 1) reflects the fact that the infinite-dimensional sequence space ℓ^p defined below, is no longer locally convex.}

p = 0 ise

Burada bir l₀ normdur ve diğer fonksiyon called the l₀ "norm" udur(with scare quotation marks).

norm l₀ 'ın matematiksel tanımı Doğrusal Operasyon Teorisi Banach tarafından kurulmuştur. Bu uzayı dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi. $\scriptstyle (x_{n})\,\mapsto \,\sum _{n}{2^{-n}|x_{n}|/(1\,+\,|x_{n}|)}$,Metrik Doğrusal Uzaylar içinde Stefan Rolewicz tarafından verilen derslerdir. Bu l₀-normlu uzay fonksiyonel analizde çalışılmıştır, olasılık teorisi, ve harmonik analizde.

Another function was called the l₀ "norm" by David Donoho — whose quotation marks warn that this function is not a proper norm — is the number of non-zero entries of the vector x. Many authors abuse terminology by omitting the quotation marks. Defining 0⁰ = 0, the zero "norm" of x is equal to $\scriptstyle |x_{1}|^{0}\,+\,|x_{2}|^{0}\,+\,\dotsb \,+\,|x_{n}|^{0}$. This is not a norm (B-norm, with "B" for Banach) because it is not homogeneous. Despite these defects as a mathematical norm, the non-zero counting "norm" has uses in scientific computing, information theory, and statistics – notably in compressed sensing in signal processing and computational harmonic analysis.

The p-norm in countably infinite dimensions

Daha fazla bilgi: Sequence space

The p-norm can be extended to vectors that have an infinite number of components, which yields the space $\scriptstyle \ell ^{p}$. This contains as special cases:

• $\scriptstyle \ell ^{1}$, the space of sequences whose series is absolutely convergent,
• $\scriptstyle \ell ^{2}$, the space of square-summable sequences, which is a Hilbert space, and
• $\scriptstyle \ell ^{\infty }$, the space of bounded sequences.

The space of sequences has a natural vector space structure by applying addition and scalar multiplication coordinate by coordinate. Explicitly, for $\scriptstyle \ x\;=\;(x_{1},\,x_{2},\,\dotsc ,\,x_{n},\,x_{n+1},\,\dotsc )$ an infinite sequence of real (or complex) numbers, define the vector sum to be

${\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc )+(y_{1},y_{2},\dotsc ,y_{n},y_{n+1},\dotsc )=\\&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\dotsc ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\dotsc )\end{aligned}}$

while the scalar action is given by

$\lambda (x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n},x_{n+1},\dotsc )=(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dotsc ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\dotsc )$

Define the p-norm

$\|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\dotsb \right)^{\frac {1}{p}}$

Here, a complication arises, namely that the series on the right is not always convergent, so for example, the sequence made up of only ones, (1, 1, 1, …), will have an infinite p-norm (length) for every finite p ≥ 1. The space ℓ^p is then defined as the set of all infinite sequences of real (or complex) numbers such that the p-norm is finite.

One can check that as p increases, the set ℓ^p grows larger. For example, the sequence

$\left(1,{\frac {1}{2}},\dotsc ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\dotsc \right)$

is not in ℓ¹, but it is in ℓ^p for p > 1, as the series

$1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\dotsb +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\dotsb$

diverges for p = 1 (the harmonic series), but is convergent for p > 1.

One also defines the ∞-norm using the supremum:

$\ \|x\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\dotsc )$

and the corresponding space ℓ^∞ of all bounded sequences. It turns out that

$\ \|x\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|x\|_{p}$

if the right-hand side is finite, or the left-hand side is infinite. Thus, we will consider ℓ^p spaces for 1 ≤ p ≤ ∞.

The p-norm thus defined on ℓ^p is indeed a norm, and ℓ^p together with this norm is a Banach space. The fully general L^p space is obtained — as seen below — by considering vectors, not only with finitely or countably-infinitely many components, but with "arbitrarily many components"; in other words, functions. An integral instead of a sum is used to define the p-norm.

L^p spaces

Let 1 ≤ p < ∞ and (S, Σ, μ) be a measure space. Consider the set of all measurable functions from S to C (or R) whose absolute value raised to the p-th power has finite integral, or equivalently, that

$\|f\|_{p}\equiv \left({\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu }\right)^{\frac {1}{p}}<\infty$

The set of such functions forms a vector space, with the following natural operations:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x),\ \ \ {\text{and}}\ \ \ (\lambda f)(x)=\lambda f(x)\,$

for every scalar λ.

That the sum of two p^th power integrable functions is again p^th power integrable follows from the inequality |f + g|^p ≤ 2^p-1 (|f|^p + |g|^p). In fact, more is true. Minkowski's inequality says the triangle inequality holds for || · ||_p. Thus the set of p^th power integrable functions, together with the function || · ||_p, is a seminormed vector space, which is denoted by $\scriptstyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )$.

This can be made into a normed vector space in a standard way; one simply takes the quotient space with respect to the kernel of || · ||_p. Since for any measurable function f, we have that ||f||_p = 0 if and only if f = 0 almost everywhere, the kernel of || · ||_p does not depend upon p,

$N\equiv \mathrm {ker} (\|\cdot \|_{p})=\{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}$

In the quotient space, two functions f and g are identified if f = g almost everywhere. The resulting normed vector space is, by definition,

$L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/N$

For p = ∞, the space L^∞(S, μ) is defined as follows. We start with the set of all measurable functions from S to C (or R) which are essentially bounded, i.e. bounded up to a set of measure zero. Again two such functions are identified if they are equal almost everywhere. Denote this set by L^∞(S, μ). For f in L^∞(S, μ), its essential supremum serves as an appropriate norm:

$\|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\mbox{ for almost every }}x\}.$

As before, we have

$\|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}$

if f ∈ L^∞(S, μ) ∩ L^q(S, μ) for some q < ∞.

For 1 ≤ p ≤ ∞, L^p(S, μ) is a Banach space. The fact that L^p is complete is often referred to as the Riesz-Fischer theorem. Completeness can be checked using the convergence theorems for Lebesgue integrals.

When the underlying measure space S is understood, L^p(S, μ) is often abbreviated L^p(μ), or just L^p. The above definitions generalize to Bochner spaces.

Özel durumlar

p = 2; ise ℓ² gibi uzay, bu uzay L² yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır.Karmaşık durumda,iç-çarpım olarak L² tanımlanırsa,

$\langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)$

Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği. L² içindeki fonksiyonlar kuvadratik integrallenebilir fonksiyonlar denir, 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya 'kare toplanabilir fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları ,Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri,için ayrılmıştır Titchmarsh 1976.

If we use complex-valued functions, the space L^∞ is a commutative C*-algebra with pointwise multiplication and conjugation. For many measure spaces, including all sigma-finite ones, it is in fact a commutative von Neumann algebra. An element of L^∞ defines a bounded operator on any L^p space by multiplication.

The ℓ^p spaces (1 ≤ p ≤ ∞) are a special case of L^p spaces, when S is the set N of positive integers, and the measure μ is the counting measure on N. More generally, if one considers any set S with the counting measure, the resulting L ^p space is denoted ℓ^p(S). For example, the space ℓ^p(Z) is the space of all sequences indexed by the integers, and when defining the p-norm on such a space, one sums over all the integers. The space ℓ^p(n), where n is the set with n elements, is Rⁿ with its p-norm as defined above. As any Hilbert space, every space L² is linearly isometric to a suitable ℓ²(I), where the cardinality of the set I is the cardinality of an arbitrary Hilbertian basis for this particular L².

L^p uzayın özellikleri

Çift uzay

L^p(μ)'nin Çift uzayı (Tüm sürekli doğrusal fonksiyonellerin uzayı) for 1 < p < ∞ için L^q(μ) ile doğal bir izomorfizm- idi., burada q  1/p + 1/q = 1 böyledir, which associates g ∈ L^q(μ) ile κ_p(g)fonksiyonel  ∈ L^p(μ)^∗ tanımı aşağıdadır

$\kappa _{p}(g)\colon f\in L^{p}(\mu )\mapsto \int fg\,\mathrm {d} \mu$

The fact that κ_p(g) is well defined and continuous follows from Hölder's inequality. The mapping κ_p is a linear mapping from L^q(μ) into L^p(μ)^∗, which is an isometry by the extremal case of Hölder's inequality. It is also possible to show (for example with the Radon–Nikodym theorem, see) that any G ∈ L^p(μ)^∗ can be expressed this way: i.e., that κ_p is onto. Since κ_p is onto and isometric, it is an isomorphism of Banach spaces. With this (isometric) isomorphism in mind, it is usual to say simply that L^q  "is"  the dual of L^p.

When 1 < p < ∞, the space L^p(μ) is reflexive. Let κ_p be the above map and let κ_q be the corresponding linear isometry from L^p(μ) onto L^q(μ)^∗. The map

$j_{p}\colon L^{p}(\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\to }}L^{q}(\mu )^{*}{\overset {\,\,\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(\mu )^{**}$

from L^p(μ) to L^p(μ)^∗∗, obtained by composing κ_q with the transpose (or adjoint) of the inverse of κ_p, coincides with the canonical embedding J  of L^p(μ) into its bidual. Moreover, the map j_p is onto, as composition of two onto isometries, and this proves reflexivity.

If the measure μ on S is sigma-finite, then the dual of L¹(μ) is isometrically isomorphic to L^∞(μ) (more precisely, the map κ₁ corresponding to p = 1 is an isometry from L^∞(μ) onto L¹(μ)^∗).

The dual of L^∞ is subtler. Elements of (L^∞(μ))^∗ can be identified with bounded signed finitely additive measures on S that are absolutely continuous with respect to μ. See ba space for more details. If we assume the axiom of choice, this space is much bigger than L¹(μ) except in some trivial cases. However, there are relatively consistent extensions of Zermelo-Fraenkel set theory in which the dual of ℓ^∞ is ℓ¹. This is a result of Shelah, discussed in Eric Schechter's book Handbook of Analysis and its Foundations.

Gömmeler

Halk dilinde, eğer 1 ≤ p < q ≤ ∞, L^p(S, μ) daha yerel tekil olan işlevleri içerir, L^q(S, μ) elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ∞) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün.L¹ içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakın havaya uçurmak olabilir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, L^∞ içindeki sürekli fonksiyonlardır,hiç çürüme gerek yok ama şişirmeye izin verilir.Kesin bir teknik sonuç şudur:

1. Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. L^q(S, μ) içeriyor yani L^p(S, μ) ancak ve ancak S içindedir , keyfi büyük ölçüde setleri içermez ve,
2. Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. L^p(S, μ) içeriyor L^q(S, μ) S ancak ve ancak keyfi sıfırdan küçük ölçü setleri içermez.

Özellikle,bağlı olan etki alanı S ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)

$\ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}\|f\|_{q}$

means the space L^q uzayının anlamı L^p içinde kesintisiz gömülüdür . Demek ki,kimlik operatörü Sınırlı doğrusal harita L^q dan L^p ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, I : L^q(S, μ) → L^p(S, μ) is precisely

$\|I\|_{q,p}=\mu (S)^{{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{q}}}$

f = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?

Yoğunluk Altuzayı

1 ≤ p < ∞ Bu bölüm boyunca.
olduğu kabul edilmektedir Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay uzunluğudur.Bir integrallenebilir basit bir fonksiyon f  olarak S formunun biridir

$f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}$

burada a_j is skalerdir ve A_j ∈ Σ  sonlu ölçü idi,j = 1, …, n için.integral'inin yapısı tarafından,L^p(S, Σ, μ)içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.

More can be said when S  is a metrizable topological space and Σ  its Borel σ–algebra, i.e., the smallest σ–algebra of subsets of S  containing the open sets.

Suppose that V ⊂ S  is an open set with μ(V) < ∞. It can be proved that for every Borel set A ∈ Σ  contained in V, and for every ε > 0, there exist a closed set F  and an open set U  such that

$F\subset A\subset U\subset V\ \ {\text{and}}\ \ \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon$

It follows that there exists φ continuous on S  such that

$0\leq \varphi \leq \mathbf {1} _{V}\ {\text{and}}\ \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon$

If S  can be covered by an increasing sequence (V_n) of open sets that have finite measure, then the space of p–integrable continuous functions is dense in L^p(S, Σ, μ). More precisely, one can use bounded continuous functions that vanish outside one of the open sets V_n.

This applies in particular when S = R^d and when μ is the Lebesgue measure. The space of continuous and compactly supported functions is dense in L^p(R^d). Similarly, the space of integrable step functions  is dense in L^p(R^d); this space is the linear span of indicator functions of bounded intervals when d = 1, of bounded rectangles when d = 2 and more generally of products of bounded intervals.
Several properties of general functions in L^p(R^d) are first proved for continuous and compactly supported functions (sometimes for step functions), then extended by density to all functions. For example, it is proved this way that translations are continuous on L^p(R^d), in the following sense: for every f ∈ L^p(R^d),

$\|\tau _{t}f-f\|_{p}\rightarrow 0$

when t ∈ R^d tends to 0, where $\scriptstyle \tau _{t}f$ is the translated function defined by $\scriptstyle (\tau _{t}f)(x)\;=\;f(x\,-\,t)$.

Uygulamalar

L^p uzaylar yaygın olarak matematik ve uygulamalarında kullanılır.

Hausdorff–Young eşitsizliği

Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırasıile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları L^p(R) ya L^q(R) (resp. L^p(T) ya ℓ^q), burada 1 ≤ p ≤ 2 and 1/p + 1/q = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur , ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.

By contrast, if p > 2, the Fourier transform does not map into L^q.

Hilbert uzayı

Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mechaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu uzay L² ve ℓ² ikisi Hilbert uzayıdır.aslında bir Hilbert tabanı tarafından seçilen, bir bütün Hilbert uzayları için izometrik olduğunu görülürℓ²(E), burada E uygun bir önem düzeyi ile bir kümedir.

Statistics

In statistics, measures of central tendency and statistical dispersion, such as the mean, median, and standard deviation, are defined in terms of L^p metrics, and measures of central tendency can be characterized as solutions to variational problems.

L^p for 0 < p < 1

Let (S, Σ, μ) be a measure space. If 0 < p < 1, then L^p(μ) can be defined as above: it is the vector space of those measurable functions f such that

$N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty$.

As before, we may introduce the p-norm || f ||_p = N_{p(f)^1/p, but || · ||p does not satisfy the triangle inequality in this case, and defines only a quasi-norm. The inequality (a + b)^p ≤ a^p + b^p, valid for a ≥ 0 and b ≥ 0 implies that Rudin 1991, §1.47}

$N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)$

and so the function

$d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}$

is a metric on L^p(μ). The resulting metric space is complete; the verification is similar to the familiar case when p ≥ 1.

In this setting L^p satisfies a reverse Minkowski inequality, that is for u and v in L^p

$\|\,|u|+|v|\,\|_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}$

This result may be used to prove Clarkson's inequalities, which are in turn used to establish the uniform convexity of the spaces L^p for 1 < p < ∞ Adams & Fournier 2003.

The space L^p for 0 < p < 1 is an F-space: it admits a complete translation-invariant metric with respect to which the vector space operations are continuous. It is also locally bounded, much like the case p ≥ 1. It is the prototypical example of an F-space that, for most reasonable measure spaces, is not locally convex: in ℓ^p or L^p([0, 1]), every open convex set containing the 0 function is unbounded for the p-quasi-norm; therefore, the 0 vector does not possess a fundamental system of convex neighborhoods. Specifically, this is true if the measure space S contains an infinite family of disjoint measurable sets of finite positive measure.

The only nonempty convex open set in L^p([0, 1]) is the entire space Rudin 1991, §1.47. As a particular consequence, there are no nonzero linear functionals on L^p([0, 1]): the dual space is the zero space. In the case of the counting measure on the natural numbers (producing the sequence space L^p(μ) = ℓ^p), the bounded linear functionals on ℓ^p are exactly those that are bounded on ℓ¹, namely those given by sequences in ℓ^∞. Although ℓ^p does contain non-trivial convex open sets, it fails to have enough of them to give a base for the topology.

The situation of having no linear functionals is highly undesirable for the purposes of doing analysis. In the case of the Lebesgue measure on Rⁿ, rather than work with L^p for 0 < p < 1, it is common to work with the Hardy space H^p whenever possible, as this has quite a few linear functionals: enough to distinguish points from one another. However, the Hahn–Banach theorem still fails in H^p for p < 1 Duren 1970, §7.5.

L⁰, ölçülebilir fonksiyonların uzayı

The vector space of (equivalence classes of) measurable functions on (S, Σ, μ) is denoted L⁰(S, Σ, μ) Kalton, Peck & Roberts 1984. By definition, it contains all the L^p, and is equipped with the topology of convergence in measure. When μ is a probability measure (i.e., μ(S) = 1), this mode of convergence is named convergence in probability. The description is easier when μ is finite.

Eğer μ is bir sonlu ölçü olarak (S, Σ),ise bu 0 fonksiyon bir ölçüde yakınsama komşuluğunda aşağıdaki temel sistem için kabul ediliyor

$V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\ \ \varepsilon >0$

Topoloji d  şeklinde herhangi bir metrik tarafından tanımlanabilir

$d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)$

buradaφ  is sınırlı sürekli konkav ve azalmayan olarak [0, ∞), ile φ(0) = 0 ve φ(t) > 0 ise t > 0 dır.(örnek için, φ(t) = min(t, 1)). Böyle bir metrik is called for L⁰ için Lévy-metrik olarak adlandırılır. L⁰ bu metrik uzayı altındadır,tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay L⁰ genel içindeki yerel sınır değildir, ve yerel konveks değil.

Rⁿ için sonsuz Lebesgue ölçüsü λ olarak , komşuluğundaki temel sistemin tanımı değiştirilmiş olarak aşağıdaki olabilir

$W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon \ {\text{and}}\ |x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}$

Nihai uzay L⁰(Rⁿ, λ) sıklık olarak topolojik vektör uzayı ileL⁰(Rⁿ, g(x) dλ(x)), için herhangi positif λ–integrallenebilir yoğunluk g.

Zayıf L^p

Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay ölçüsü, ve f bir ölçülebilir fonksiyon ile gerçek veya karmaşık değerler olarak S. f 'in dağılım fonksiyonu t > 0 için tanımı aşağıdadır

$\lambda _{f}(t)=\mu \left\{x\in S:|f(x)|>t\right\}$

Eğer L^p(S, μ) içindeki f(tir) için bazı p ile 1 ≤ p < ∞, ise Markov's eşitsizliği ile,

$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}$

Bir fonksiyon f is said to be in the space zayıf L^p(S, μ), veya L^p,w(S, μ), eğer burada bir sabit C > 0 ise böylece, bütün t > 0 için,

$\lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}$

En iyi sabitiC bu eşitsizlik için f içindeki L^p,w-normudur,ve bu ifade ile

$\|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{\frac {1}{p}}(t)$

Zayıf L^p sıklığı ile Lorentz uzayı L^p,∞, öyleki bu gösterim ayrıca bunları belirtmek için kullanılır.

L^p,w-norm doğru bir norm değildir,dolayısıyla üçgen eşitsizliği korunamıyor. yine de,L^p(S, μ) içinde fiçin

$\|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}$

ve özel olarak L^p(S, μ) ⊂ L^p,w(S, μ). kuralı altındaki iki işlev eğer onlar μ hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı L^p,w tamdır.Grafakos 2004.

Herhangi 0 < r < p için ifade

$|||f|||_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{p}}}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{\frac {1}{r}}$

L^p,w-norm ile karşılaştırılabilir. durum içinde daha fazla p > 1, bu bir norm ifade eder eğer r = 1. Bundan dolayı p > 1 için zayıfL^p uzayı are Banach uzayı'dır Grafakos 2004.

Kullanılan bir büyük sonuç L^p,w-uzayı Marcinkiewicz interpolasyon teoremi'dir, harmonik analiz ve tekil integral çalışmalarında geniş uygulama alanı vardır

AğırlıklıL^p uzayı

Daha önce olduğu gibi,bir mesafe uzayı (S, Σ, μ) dikkate alalım. Diyelimki $\scriptstyle w:\;S\,\to \,[0,\,+\infty )$ bir ölçülebilir fonksiyondur. w-ağırlıklı L^p uzayı tanım olarak L^p(S, w dμ), burada w dμ ν ölçüsünün anlamı ile tanımı

$\ \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\ \ \ A\in \Sigma$

veya, Radon–Nikodym türevi'nin terimleri içinde,

$\ w={\frac {\mathrm {d} \nu }{\mathrm {d} \mu }}$

L^p(S, w dμ) için norm açıktır

$\ \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{\frac {1}{p}}$

L^{p-uzayı olarak, the weighted spaces have nothing special, since Lp(S, w dμ) is equal to Lp(S, dν). But they are the natural framework for several results in harmonic analysis Grafakos 2004; they appear for example in the Muckenhoupt theorem: for 1 < p < ∞, the classical Hilbert transform is defined on Lp(T, λ) where T denotes the unit circle and λ the Lebesgue measure; the (nonlinear) Hardy–Littlewood maximal operator is bounded on Lp(Rn, λ). Muckenhoupt's theorem describes weights w such that the Hilbert transform remains bounded on Lp(T, w dλ) and the maximal operator on Lp(Rn, w dλ).}

L^p uzayı olarak manifoldlar

$\scriptstyle L^{p}(M)$ bir manifold olarak uzaylarda tanımlayabiliriz , manifoldun iç L^p uzayı adını alır, yoğunlukları kullanılıyor.

Ayrıca bakınız

• Birnbaum–Orlicz space
• Hardy space
• Riesz–Thorin theorem
• Hölder mean
• Hölder space
• Root mean square
• Locally integrable function $\left(\scriptstyle L_{\text{loc}}^{1}\right)$
• $\scriptstyle L^{p}(G)$ spaces over a locally compact group $G$
• Minkowski distance

Kaynakça

• Adams, Robert A.; Fournier, John F. (2003), Sobolev Spaces (Second bas.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3 .
• Bourbaki, Nicolas (1987), Topological vector spaces, Elements of mathematics, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9 .
• DiBenedetto, Emmanuele (2002), Real analysis, Birkhäuser, ISBN 3-7643-4231-5 .
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Linear operators, volume I, Wiley-Interscience .
• Duren, P. (1970), Theory of H^p-Spaces, New York: Academic Press 
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc., ss. 253–257, ISBN 0-13-035399-X .
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag .
• Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), An F-space sampler, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-27585-7, MR 0808777 
• Riesz, Frigyes (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen", Mathematische Annalen, 69 (4), ss. 449–497, doi:10.1007/BF01457637 
• Rudin, Walter (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, ISBN 978-0-07-054236-5 
• Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd bas.), New York: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157 
• Titchmarsh, EC (1976), The theory of functions, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8 

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Lebesgue space", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Lp uzayı, PlanetMath.org.