Lp uzayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Şablon:LJalışma var


matematik'te, Lp uzayı uzayında sonlu boyutlu vektör uzayı için p-norm'un doğal bir genelleme kullanarak tanımlı fonksiyon uzayı'dır.Bazen Lebesque uzayı denir.İlk Frigyes Riesz (Riesz 1910) tarafından Bourbaki grubu Bourbaki 1987 olarak tanıtılmasına rağmen,Henri Lebesgue Dunford & Schwartz 1958, III.3, adına ithaf edilmiştir. fonksiyonal analiz'de Banach uzayı'nın ve topolojik vektör uzaylarının önemli bir sınıfını Lp uzayı formu oluşturur.Lebesgue uzayının fizik, istatistik, finans, mühendislik ve diğer disiplinlerde uygulamaları var.

sonlu boyutlu içinde p-norm[değiştir | kaynağı değiştir]

p-norm içindeki farklı birim çember'in gösterimi( orijinden her vektör bir birim çembere bir uzunluk idi pnin uzunluk formülü ile uzunluk hesaplanıyor.)
p = 32 norm içinde birim çember (süperelips)

Bir vektörün uzunluğu x = (x1, x2, …, xn) in the n-boyutlu gerçel vektör uzayı Rn genellikle Öklid norm'u tarafından verilen :

\ \|x\|_2=\left(x_1^2+x_2^2+\dotsb+x_n^2\right)^{\frac{1}{2}}

Öklid uzunluğu iki nokta x ve y iki nokta arasındaki \scriptstyle \|x \,-\, y\|_2 düz çizginin uzunluğudur,birçok durumlar içinde,öklid uzaklığı belirli bir alanda gerçek mesafeleri yakalamak için yetersiz. Örneğin, taksi sürücüleri için Manhattan uzunluk ölçüsü gitmesi gereken yerlere düz çizgi uzunluğu açısından değildir ,ama Manhattan mesafesi terimlerinin içinde ,hangi sokaklar birbirine ya ortogonal veya paralel olduğu dikkate alınır. p-norm sınıflarının genellemesi burada iki örnektir ve matematik,fizik ve bilgisayar bilimleri'nin birçok parçasının içindeki uygulamalar bolcadır.

Tanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir gerçel sayı p ≥ 1 için, p-norm veya Lp-norm

\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dotsb+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} tarafından xın tanımıdır.

Yukarıdan Öklid norm bu sınıfa düşer ve 2-normdur ve 1-norm karşılık gelen norm Manhattan uzaklığı'dır

L-norm veya enbüyük norm (veya tektip norm) \scriptstyle p \,\to\, \infty için Lp-normları limittir.Bu limitin aşağıdaki tanım eşdeğer olduğu ortaya çıktı:

\ \|x\|_\infty=\max \left\{|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|\right\}

Bütün p ≥ 1 için,p-normlar ve maksimum norm olarak yukarda tanımlanan gerçekten bir "uzunluk fonksiyonu" özelliklerini karşılayacak (veya normdur), şunlar vardır:

  • Sadece sıfır vektörü sıfır uzunluğu vardır
  • Vektör uzunluğu skaler çarpımına göre pozitif homojen olduğu, ve
  • İki vektör toplamının uzunluğu vektörlerin uzunlukları toplamından daha büyük değildir (üçgen eşitsizliği).).

teorik olarak, bunun anlamı Rn ile beraber p-norm bir Banach uzayı'dır. Bu Banach uzayı Lp-space over Rn'dır.

p-normlar arasındaki ilişkiler[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu iki nokta arasındaki grid uzaklığı ("Manhattan uzaklığı") aralarında çizgi parçasının uzunluğu asla daha kısa değildir bu sezgisel açıktır (mesafe "kuş uçuşu" Öklid veya),biçimsel olarak, herhangi bir vektör öklid norm olan 1-norm ile sınırlı olduğu anlamına gelir

\|x\|_2 \leq \|x\|_1

Bu p-norm içerisinde p-normlar olduğu gerçeğini yaygınlaştırıyor herhangi bir x vektörün \scriptstyle\|x\|_p p ile büyümez:

\|x\|_{p+a} \leq \|x\|_{p} herhangi bir vektör x için ve gerçek sayılar p ≥ 1 ve a ≥ 0. (Aslında bu 1>p>0 ve a ≥ 0 için doğru kalır.)

Ters yön için, 1-norm ve 2-norm arasında aşağıdaki ilişki bilinmektedir:

\|x\|_1 \leq \sqrt{n}\|x\|_2

Bu eşitsizlik boyut temel vektör alanı n bağlıdır ve doğrudan aşağıdaki Cauchy-Schwartz eşitsizliği.

Genel olarak, \mathbb{C}^n where p > r > 0 vektörler için :

\|x\|_p\leq\|x\|_r\leq n^{(1/r-1/p)}\|x\|_p

0 < p < 1 ise[değiştir | kaynağı değiştir]

Astroid,p = 23 birim çember içindeki metrik

Rn içindeki n > 1 için,formül

\ \|x\|_p=\left(|x_1|^p+|x_2|^p+\dotsb+|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}}

homojen fonksiyon 0 < p < 1 için mutlak bir tanım;Bununla birlikte,ortaya çıkan fonksiyon Bir F-norm tanımlamaz,çünkü alt toplamsal değildir. Rn içindeki n > 1,0 < p < 1 için formülü

\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p\right)

Bir alt toplamsal fonksiyon tanımlar,bu bir F-norm tanımlama yapar.Bu F-norm homojen değildir.

Ancak,fonksiyon

d_p(x,y) = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|^p

Bir metrik olarak tanımlanır. Metrik uzay(Rn, dp) aşağıda ifade edilmiştir ℓnp.

Her ne kadar p-birim küre Bnp bu metrik kökeni etrafında "içbükey" isede, metrik tarafından tanımlanan topolojisiRn dp Rn olağan vektör uzayı topolojisidir,bundan dolayı ℓnp bir lokal konveks topolojik vektör uzayıdır. Bu nitel açıklama ötesinde,ℓnp 'in konveksite eksikliğini ölçmek için nicel bir şekilde Cp(n) tarafından ifade edilir küçük sabit C çoklu oldan şekli C Bnp p-birim küre Bnp dışbükey gövde içerir ,Bn1 ya eşittir.Gerçek şu ki Cp(n) = n1/p – 1 sonsuza eğilimindedirn (p < 1 için sabittir) aslında sonsuz boyutlu dizi uzayını yansıtmaktadır ℓp aşağıda tanımlandığı şekilde, artık yerel dışbükeydir.

p = 0 ise[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada bir l0 normdur ve diğer fonksiyon l0 "norm" udur(tırnak işaretleri ile).

norm l0 'ın matematiksel tanımı Banach tarafından Doğrusal Operasyon Teorisi ile kurulmuştur. Bu uzayı dizisinin F-norm tarafından sağlanan bir tam metrik topolojisi idi. \scriptstyle (x_n) \,\mapsto\, \sum_n{2^{-n} |x_n|/(1 \,+\, |x_n| )},Metrik Doğrusal Uzaylar içinde Stefan Rolewicz tarafından verilen derslerdir.[1] Bu l0-normlu uzay fonksiyonel analizde çalışılmıştır, olasılık teorisi, ve harmonik analizde.

Diğer fonksiyon l0 "norm" olarak adlandırılmıştı David Donoho tarafından —tırnak işareti olan bu fonksiyonun uygun bir norm olmadığına gösterir— x vektörünün sıfır-olmayan sayı girişidir. Birçok yazarın tırnak işaretleri atlanması ile kötü terminoloji'dir .00 = 0 tanımı, xın sıfır "norm"u \scriptstyle |x_1|^0 \,+\, |x_2|^0 \,+\, \dotsb \,+\, |x_n|^0 ya eşittir.Bu bir norm değildir.(B-norm, "B" ile Banach için)çünkü homojen değildir. Matematiksel bir norm olarak bu hatalarına rağmen, sıfır-dışı sayılabilir "norm" bilimsel hesaplamalar, bilgi teorisi, ve istatistikler – özellikle sıkıştırılmış algılama'da işaret işleme'de ve bilişimsel harmonik analiz'de kullanımı vardır.

p-sayılabilir sonsuz boyutlarda norm[değiştir | kaynağı değiştir]

Konu hakkında ayrıntılı bilgi için Dizi uzayları maddesine bakınız.

p-norm bileşenlerin sonsuz sayıda vektörleri genişletilebilir, \scriptstyle \ell^p alanı sağlar ki,bu gibi özel durumlarda içerir:

Dizilerin uzayı koordinat toplama ve skaler çarpımın koordinatlara uygulanmasıyla doğal bir vektör uzayı bir yapıya sahip olur. açıkça,(gerçel veya karmaşık) sayıların bir sonsuzdizi'si \scriptstyle \ x \;=\; (x_1,\, x_2,\, \dotsc,\, x_n,\, x_{n+1},\, \dotsc) için vektör toplamı olarak tanımlanır

\begin{align}
  &(x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_{n+1},\dotsc)+(y_1, y_2, \dotsc, y_n, y_{n+1},\dotsc) =\\
  &(x_1+y_1, x_2+y_2, \dotsc, x_n+y_n, x_{n+1}+y_{n+1},\dotsc)
\end{align}

yardımıyla skaler hareket verilirken

\lambda(x_1, x_2, \dotsc, x_n, x_{n+1},\dotsc) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \dotsc, \lambda x_n, \lambda x_{n+1},\dotsc)

p-normun tanımı

\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb+|x_n|^p + |x_{n+1}|^p + \dotsb\right)^{\frac{1}{p}}

Burada,bir komplikasyon ortaya çıkar, yani bu serisi;gerçekten her zaman yakınsak değildir, örneğin,tek olanlar dizisi oluşur, (1, 1, 1, …), sonsuz olacaktır p-norm (uzunluk) Her sonlu p ≥ 1 için. ℓp uzayı ardından p-norm sonlu olduğu gibi gerçek (ya da karmaşık) sayıların tüm sonsuz sıraları kümesi olarak tanımlanır.

Bir bu kadar kontrol edebilirsinizp artar, ℓp kümesi büyüdükçe. Örneğin,dizi

\left(1, \frac{1}{2}, \dotsc, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1},\dotsc\right)

1 içinde değildir,ama p > 1 için ℓp içindedir , seri olarak

1^p + \frac{1}{2^p} + \dotsb + \frac{1}{n^p} + \frac{1}{(n+1)^p}+\dotsb

p = 1 ıraksak için (harmonik seri), ama p > 1 için yakınsaktır.

Bir de supremum kullanarak ∞-norm tanımlamaktadır:

\ \|x\|_\infty=\sup(|x_1|, |x_2|, \dotsc, |x_n|,|x_{n+1}|, \dotsc)

ve Tüm sınırlı dizilerin ℓ karşılık gelen uzayı. Bu çıkıyor ki [2]

\ \|x\|_\infty = \lim_{p\to\infty}\|x\|_p

sağ taraf sonlu olduğu, ya da sol tarafında sonsuz ise. Böylece, dikkate alacaktır ℓp için alanlar 1 ≤ p ≤ ∞.

p-norm böylece ℓp üzerinde tanımlı gerçek bir normdur, ve ℓp ile beraber bu norm bir Banach uzayıdır. Tam genel olarak Lp uzayı elde edilir. — aşağıda görüldüğü gibi — , sonlu ya da sayılabilir-sonsuz birçok bileşenleri değil sadece vektörleri dikkate alınarak,fakat " keyfi birçok bileşen"; başka bir deyişle, fonksiyonları.Bir integral bunun yerine bir p-norm toplamı tanımlamak için kullanılır.

Lp uzayları[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki 1 ≤ p < ∞ ve (S, Σ, μ) bir ölçü uzayı olsun,tüm ölçülebilir fonksiyon'ların kümesini düşünün S den C ye(veya R) olan mutlak değer yükseltilmiş p-inci kuvvetten sonlu integral idi, veya eşdeğeri, şudur

\|f\|_p \equiv \left({\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{\frac{1}{p}}<\infty

Bu fonksiyonlar kümesi aşağıdaki doğal işlemleri ile, Her skaler λ için bir vektör uzayı oluşturur:

(f+g)(x) = f(x)+g(x), \ \ \ \text{and} \ \ \ (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \,

Bu ikisinin toplamı pth integrallenebilir fonksiyonların gücü yine pth güç integrallenebilir aşağıdaki eşitsizliğinden |f + g|p ≤ 2p-1 (|f|p + |g|p). aslında, daha doğrudur Minkowski eşitsizliği denilen üçgen eşitsizliği içinde geçerlidir  · p. Böylece pinci güç integrallenebilir fonksiyonların kümesi, ile birlikte bu fonksiyon  · p, bir yarınorm'lu vektör uzayıdır, \scriptstyle \mathcal{L}^p(S,\, \mu) ile ifade edilir.

Bu standart bir şekilde bir normlu vektör uzayı içine yapılabilir; biri sadece bölüm uzayı alır sırası ile · p' nin çekirdeği'dir durum bu iken herhangi ölçülebilir fonksiyon f için, bizim fp = 0 var,yalnız ve yalnız f = 0 hemen hemen her yerde,  · p'in çekirdeği bağlı değildir p,

N \equiv \mathrm{ker}(\|\cdot\|_p) = \{f : f = 0 \ \mu\text{-hemen hemen her yerde} \}

Bölüm Uzayda, iki fonksiyon f ve g ayrı ayrı eğer f = g ise hemen hemen her yerdedir. sonucu normlu vektör uzayının, tanımından,

L^p(S, \mu) \equiv \mathcal{L}^p(S, \mu) / N

p = ∞ için, the space L(S, μ) uzayı aşağıda tanımlanmıştır. Tüm ölçülebilir fonksiyonların seti ile başlarız S den C ye(veyaR) temelde sınırlıdır, yani ölçümü sıfır olan bir küme ile sınırlanmış. Yine iki tür fonksiyonlar ayrıştırlırsa bu hemen hemen her yerde eşittir. Bu kümeyi gösterelim L(S, μ). L(S, μ) içindeki f , bu zorunlu üstünlük uygun bir norm olarak sunulmaktadır:

\|f\|_\infty \equiv \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ for almost every } x\}.

Daha önce olduğu gibi, elimizdeki

\|f\|_\infty=\lim_{p\to\infty}\|f\|_p

bazı q < ∞ için fL(S, μ) ∩ Lq(S, μ)ise,

1 ≤ p ≤ ∞, Lp(S, μ) için Banach uzayıdır. Gerçek şu ki Lp tam dır sık sık Riesz-Fischer teoremine başvurulur. Tamlık Lebesgue integral için yakınsama teoremleri kullanılarak kontrol edilebilir. Temel ölçüm aralığı S anlaşıldığı zaman, Lp(S, μ) genellikle kısaltılmıştır Lp(μ), veya sadece Lp. Yukarıdaki tanımlar Bochner uzayı'na genellenebilir.

Özel durumlar[değiştir | kaynağı değiştir]

p = 2; ise ℓ2 gibi uzay, bu uzay L2 yalnızca bu sınıfın Hilbert uzayı'dır.Karmaşık durumda,iç-çarpım olarak L2 tanımlanırsa,

 \langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x)

Ek iç çarpım yapısı uygulamaları ile daha zengin bir teori sağlar, örneğin, Fourier serileri ve kuantum mekaniği. L2 içindeki fonksiyonlar kuvadratik integrallenebilir fonksiyonlar denir, 'karesi integrallenebilir fonksiyonlar veya 'kare toplanabilir fonksiyonlar- ama bazen bu koşulları ,Riemann integrali böyle bir anlamında diğer bazı anlamda karesi integrallenebilir işlevleri,için ayrılmıştır Titchmarsh 1976.

If we use complex-valued functions, the space L is a commutative C*-algebra with pointwise multiplication and conjugation. For many measure spaces, including all sigma-finite ones, it is in fact a commutative von Neumann algebra. Bir öge of L defines bir bounded operator on herhangi Lp uzayı by multiplication.

p uzayı (1 ≤ p ≤ ∞) Lp uzayının bir özel durumudur,S ise, N pozitif tamsayı kümesidir ve μ ölçüsü Nin sayılabilir ölçüm 'üdür. Daha genel olarak, L p uzayının sayılabilir ölçüm sonuçlarının kümesi ile S beraber düşünüldüğünde ℓp(S) ile ifade edilir. örneğin, ℓp(Z) uzayı tamsayılarla indislenmiş uzaydır, ve öyleyse bir uzay olarak p-norm tüm tamsayılar üzerinde bir toplamları tanımlanır ℓp(n) uzayı, burada n öge ile bir kümedir, is Rn ile p-norm olarak yukarda tanımlanmıştır. Herhangi bir Hilbert uzayı olarak, her L2 uzayı doğrusal uygun bir için izometrikℓ2(I), burada özel olarak L2.nin bir keyfi Hilbertian tabanının I kümesi önemlidir

Lp uzayın özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Çift uzay[değiştir | kaynağı değiştir]

Lp(μ)'nin Çift uzayı (Tüm sürekli doğrusal fonksiyonellerin uzayı) 1 < p < ∞ için Lq(μ) ile doğal bir izomorfizm- idi.,burada q  1/p + 1/q = 1 sağlar, g ∈ Lq(μ) ile κp(g) ilişkilendiren fonksiyonel  ∈ Lp(μ) tanımı aşağıdadır.

\kappa_p(g) \colon f \in L^p(\mu) \mapsto \int f g \, \mathrm{d}\mu

Aslında κp(g) iyi tanımlanmış ve sürekli aşağıda Hölder eşitsizliği'ndendir. κp haritalaması bir doğrusal haritalama Lq(μ)'den Lp(μ) içinedir, sıradışı durumunda Hölder eşitsizliği tarafından bir izometri'sidir. Bunu (Radon–Nikodym teorem'i ile göstermek de mümkündür, bkz[3]) bu herhangi G ∈ Lp(μ) bağıntısı ile gösterilebilir:yani,bu κp üzerindedir. böylece κp üzerinde ve izometrik, bir Banach uzayı'nın bir izomorfizm'idir . Birlikte bu (izometrik:şekil değiştirme yok) izomorfizmi hatırlayın,basitçe söylemek gerekirse  Lp nin çifti Lq  "dir" ki böyle ise 1 < p < ∞, Lp(μ) uzayı yansıtılabilir. Diyelimki κp yukarıdaki harita ve diyelimki κq olsun doğrusal izometri karşılığı Lp(μ) den üzerinde Lq(μ).

j_p \colon L^p(\mu) \overset{\kappa_q}{\to} L^q(\mu)^* \overset{\,\,\left(\kappa_p^{-1}\right)^*}{\longrightarrow} L^p(\mu)^{**}

Lp(μ)'dan Lp(μ)∗∗ 'ya, bir düzen ile elde edilir κq ile κp'nın birbirlerinin tersidir.transpoze (veya eşlenik),Lp(μ) nin sıklığı ile kanonik gömme J  kendi ikinci sıra duali içine.Dahası, jp haritası üzerinedir, iki üzerine izometrinin uyumu olarak,ve bu yansıtılabilirliği kanıtlıyor.

Eğer ölçü μ olarak S sigma-sonlu ise L1(μ) dualdir L(μ)'ya izometrik izomorftur(daha doğrusu, κ1 haritasıp = 1 karşılar bir isometridir L(μ)'dan L1(μ)) üzerinedir.

L'nin bu çifti zekicedir.(L(μ))'nin ögesi ayrıştırılabilir ile sınır işareti sonluluk toplamsal ölçüsü olarak S bu mutlak süreklilik ile sırası μ yedir,daha detay için bak ba uzayı.Biz seçimin aksiyomu varsayarsak, L1(μ)içinde bazı önemsiz durumlar dışında bu uzay çok daha büyüktür.Ancak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi nispeten tutarlı uzantıları vardır ve nin duali 1dir.Bu, Shelah'nın bir sonucudur.Eric Schechter's dersleri içinde Analizin el kitabı ve Temelleri'dir

Gömmeler[değiştir | kaynağı değiştir]

Halk dilinde, eğer 1 ≤ p < q ≤ ∞, Lp(Sμ) daha yerel tekil olan işlevleri içerir, Lq(Sμ) elemanları ise daha yayılmış olabilir. (0, ∞) yarım satırı üzerinde Lebesgue ölçümü düşünün.L1 içindeki sürekli bir fonksiyondur,0'a yakın havaya uçurmak olabilir ama sonsuza doğru yeterli oranda hızlı çürüme gerekir. Öte yandan, L içindeki sürekli fonksiyonlardır,hiç çürüme gerek yok ama şişirmeye izin verilir.Kesin bir teknik sonuç şudur:

  1. Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. Lq(Sμ) içeriyor yani Lp(S, μ) ancak ve ancak S içindedir , keyfi büyük ölçüde setleri içermez ve,
  2. Diyelimki 0 ≤ p < q ≤ ∞. Lp(Sμ) içeriyor Lq(Sμ) S ancak ve ancak keyfi sıfırdan küçük ölçü setleri içermez.

Özellikle,bağlı olan etki alanı S ise sonlu ölçü, (Jensen eşitsizliği'nin bir sonucu)

\ \|f\|_p \le \mu(S)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}} \|f\|_q

means the space Lq uzayının anlamı Lp içinde kesintisiz gömülüdür . Demek ki,kimlik operatörü Sınırlı doğrusal harita Lq dan Lp ye'dir. Yukarıdaki eşitsizlik görünen sabit en uygunudur, I : Lq(Sμ) → Lp(Sμ) is precisely

\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{\frac{1}{p} - \frac{1}{q}}

f = 1 a.e.[μ].eşitlik durumu tam olarak ne zaman elde ediliyor?

Yoğunluk Altuzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

1 ≤ p < ∞ Bu bölüm boyunca.
olduğu kabul edilmektedir Diyelimki (SΣμ) be bir uzay uzunluğudur.Bir integrallenebilir basit bir fonksiyon f  olarak S formunun biridir

f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}

burada aj skalerdir ve Aj ∈ Σ  sonlu ölçü idi,j = 1, …, n için.integral'inin yapısı tarafından,Lp(SΣμ)içinde integrallenebilir basit fonksiyonların vektör uzayında yoğundur.

Dahası S  bir metriklenebilir topolojik uzay ve Σ  dır.Bu Borel σ–cebri'dir, yani,S  alt kümesinin daraltılmış σ–cebrinin açık kümesi'ni içeriyor.

Varsayalımki V ⊂ S bir açık küme ile μ(V) < ∞ dir.Her Borel kümesi için sağlanabilir Viçinde,A ∈ Σ  içeren ve her ε > 0 için, burada bir kapalı kümeF  vardır.ve bir açık küme U  dur böylece

F \subset A \subset U \subset V \ \ \text{ve} \ \ \mu(U) - \mu(F) = \mu(U \setminus F) < \varepsilon

Bu S  sürekli φ var olduğunda aşağıdaki şöyledir

0 \le \varphi \le \mathbf{1}_V \ \text{ve} \ \int_S |\mathbf{1}_A - \varphi| \, \mathrm{d}\mu < \varepsilon

Eğer açık kümelerin sonlu ölçüde artan dizisi tarafından karşılanabilir(Vn) S var,ise p–integrallenebilir sürekli fonksiyonlar uzayının Lp(SΣμ) içindeki yoğunluktur,Daha doğrusu, açık kümelerin bir Vn dışında kaybolan sınırlı sürekli fonksiyonlar kullanabilirsiniz.

Bu özellikle geçerli olduğunda S = Rd ve eğer μ Lebesgue ölçüsü ise,Sürekli ve kompakt desteklenen fonksiyonlar uzayı Lp(Rd) yoğundur. Benzer şekilde,integralenebilirlerin uzayı basamak fonksiyonu   dur. Lp(Rd);içindeki yoğunluktur.Bu uzay sınırlı aralıkların göstergesinin fonksiyonlarının doğrusal süresi ise d = 1, sınırlı dikdörtgenlerin ise d = 2 ve daha genel olarak sınırlı aralıklarının çarpımlarının ise;
Genel fonksiyonları çeşitli özellikleri Lp(Rd) içindedir.İlk (bazen basamak fonksiyonlar için) sürekli ve kompakt desteklenen işlevler için kanıtladı,sonra tüm fonksiyonlara yoğunluk tarafından genişletilmiştir.Örneğin,çevirinin sürekli olduğu Lp(Rd) şeklindede kanıtlanmıştır aşağıdaki anlamda: her f ∈ Lp(Rd),için

\|\tau_t f - f \|_p \rightarrow 0

t ∈ Rd ise 0'a gider, burada \scriptstyle \tau_t f \scriptstyle (\tau_t f)(x) \;=\; f(x \,-\, t) tarafından çevrilen fonksiyon olarak tanımlanır.

Uygulamalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Lp uzaylar yaygın olarak matematik ve uygulamalarında kullanılır.

Hausdorff–Young eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Fourier dönüşümü için gerçek çizgi(sırası ile. periyodik fonksiyonlar için, cf. Fourier serisi) haritaları Lp(R) ya Lq(R) (resp. Lp(T) ya ℓq), burada 1 ≤ p ≤ 2 ve 1/p + 1/q = 1. Bu,Riesz-Thorin interpolasyon teoremi'nin bir sonucudur , ve Hausdorff-Young eşitsizliği ile hassas yapılır.

buna karşılık eğer p > 2, Fourier dönüşümü Lq haritası içine olmuyor

Hilbert uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Hilbert uzayı birçok uygulamanın merkezindedir, kuantum mekaniği'nden rassal hesabı'na kadar. Bu uzay L2 ve ℓ2 ikisi Hilbert uzayıdır.aslında bir Hilbert tabanı tarafından seçilen, bir bütün Hilbert uzayları için izometrik olduğunu görülürℓ2(E), burada E uygun bir önem düzeyi ile bir kümedir.

İstatistik[değiştir | kaynağı değiştir]

İstatistikde, bu, ortalama, medyan ve standart sapma olarak merkezi eğilim ve istatistiksel dağılım, ölçüleriLp ölçümleri açısından tanımlanır ve merkezi eğilim ölçüleri varyasyonel sorunlarına çözüm olarak karakterize edilebilir.

Lp for 0 < p < 1[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki (S, Σ, μ) bir ölçü uzayıdır. eğer 0 < p < 1, ise Lp(μ) aşağıdaki tanımlanabilir: it is the vektör uzayı of those ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı f böylece

N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.

As before, we may introduce the p-norm  f p = Np(f)1/p, ama || · ||p bu durumda, üçgen eşitsizliği doyurucu değildir, ve yalnızca bir kuazi-norm tanımlıyor. (a + b)p ≤ ap + bp eşitsizliği, a ≥ 0 için değeri ve b ≥ 0 implies that Rudin 1991, §1.47

N_p(f+g)\le N_p(f) + N_p(g)

ve böylece fonksiyon

d_p(f,g) = N_p(f-g) = \|f - g\|_p^p

bir Lp(μ) bir metrik ve sonuç olarak metrik uzayı tamdir doğrulama ailevi duruma benzer ise p ≥ 1 dir.

Lp çerçevesi içerisinde bir ters Minkowski eşitsizliği uygundur böylece u ve v için in Lp

\|\,|u|+|v|\,\|_p\geq \|u\|_p+\|v\|_p

Bu sonuç kullanıcıya Clarkson eşitsizliğini sağlar, which are in turn used to establish the uniform convexity of Lp uzayının 1 < p < ∞ için Adams & Fournier 2003.

Lpuzayı 0 < p < 1 için bir F-space şudur:o bir tam çeviri-değişmezi metrik sırasıyla vektör uzayı için süreklilik operasyonu olduğunu kabul eder. o ayrıca yerel sınır gibidir daha çok p ≥ 1 durumu gibidir. Bir F-space nın prototip örneğidir , for en mantıklı ölçü uzayı,yerel konveks değildir: ℓp içinde veya Lp([0, 1]), her açık konveks küme containing the 0 function is unbounded for the p-quasi-norm; bu nedenle, 0 vektör konveks komşuluğun bir temel sistemine sahip değildir . Specifically, this is true if the measure space S contains an infinite family of disjoint measurable sets of finite positive measure.

Lp([0, 1]) içinde yalnızca boş olmayan açık kümenin tüm uzaydır Rudin 1991, §1.47. Belirli bir sonucu olarak, burada are no nonzero linear functionals on Lp([0, 1]): dual uzayı sıfır uzaydır. In the case of the sayılabilir ölçü on the doğal sayılar (dizi uzayı üreten Lp(μ) = ℓp), Sınırlı doğrusal fonksiyoneller ℓp olarak tam olarak budur are ℓ1 sınırdır,yani bu verilen ℓ. içindeki dizi tarafından verilen ℓp ye rağmen önemsiz olmayan konveks açık kümeler içermektedir, bunların topolojisine yeteri kadar bir taban vermek için başarısız.

Doğrusal olmayan fonksiyonların durumu analiz yapma amaçları için son derece istenmeyendir. Rn olarak Lebesgue ölçüsünün durumu içinde yerine X ile çalışan daha Lp for 0 < p < 1, Hardy uzayı Hp ile çalışmak olasılığı daha sıktır,Bu pek çok doğrusal fonksiyonellerde olduğu gibi: birbirinden ayırt etmek için yeterli sayıdır. Ancak, Hahn–Banach teoremi Hp içinde p < 1 Duren 1970, §7.5.için hala başarısız

L0, ölçülebilir fonksiyonların uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

(sınıfının eşdeğeri) ölçülebilir fonksiyonların vektör uzayı (S, Σ, μ) olarak L0(S, Σ, μ) ifade edilir. Kalton, Peck & Roberts 1984. Tanımıyla, it contains all the Lp, ve ölçüm içinde yakınsaklık'ın topolojisi ile donanımlıdır, ise μ bir olasılık ölçüsü (yani., μ(S) = 1), dür.bu yakınsaklığın modu olasılık içinde yakınsaklık olarak adlandırılır.Bu tanım μ ye yakın ise sonludur.

Eğer μ bir sonlu ölçü olarak (SΣ),ise bu 0 fonksiyon bir ölçüde yakınsama komşuluğunda aşağıdaki temel sistem için kabul ediliyor

V_\varepsilon = \Bigl\{ f : \mu \bigl(\{x :  |f(x)| > \varepsilon \} \bigr) < \varepsilon \Bigr\}, \ \ \varepsilon > 0

Topoloji d  şeklinde herhangi bir metrik tarafından tanımlanabilir

d(f, g) = \int_S \varphi \bigl( |f(x) - g(x)| \bigr) \, \mathrm{d}\mu(x)

buradaφ  is sınırlı sürekli konkav ve azalmayan olarak [0, ∞), ile φ(0) = 0 ve φ(t) > 0 ise t > 0 dır.(örnek için, φ(t) = min(t, 1)). Böyle bir metrik is called for L0 için Lévy-metrik olarak adlandırılır. L0 bu metrik uzayı altındadır,tamdır. (o tekrar bir F-uzayıdır). Bu uzay L0 genel içindeki yerel sınır değildir, ve yerel konveks değil.

Rn için sonsuz Lebesgue ölçüsü λ olarak , komşuluğundaki temel sistemin tanımı değiştirilmiş olarak aşağıdaki olabilir

W_\varepsilon = \left\{ f : \lambda \left(\left\{ x : |f(x)| > \varepsilon \ \text{and} \  |x| < \frac{1}{\varepsilon}\right\} \right) < \varepsilon \right\}

Nihai uzay L0(Rn, λ) sıklık olarak topolojik vektör uzayı ileL0(Rn, g(x) dλ(x)), için herhangi positif λ–integrallenebilir yoğunluk g 'dir.

Zayıf Lp[değiştir | kaynağı değiştir]

Diyelimki (S, Σ, μ) be bir uzay ölçüsü, ve f bir ölçülebilir fonksiyon ile gerçek veya karmaşık değerler olarak S. f 'in dağılım fonksiyonu t > 0 için tanımı aşağıdadır

\lambda_f(t) = \mu\left\{x\in S: |f(x)| > t\right\}

Eğer Lp(S, μ) içindeki f(tir) için bazı p ile 1 ≤ p < ∞, ise Markov's eşitsizliği ile,

\lambda_f(t)\le \frac{\|f\|_p^p}{t^p}

Bir fonksiyon f is said to be in the space zayıf Lp(S, μ), veya Lp,w(S, μ), eğer burada bir sabit C > 0 ise böylece, bütün t > 0 için,

\lambda_f(t) \le \frac{C^p}{t^p}

En iyi sabitiC bu eşitsizlik için f içindeki Lp,w-normudur,ve bu ifade ile

\|f\|_{p,w} = \sup_{t > 0} ~ t \lambda_f^{\frac{1}{p}}(t)

Zayıf Lp sıklığı ile Lorentz uzayı Lp,∞, öyleki bu gösterim ayrıca bunları belirtmek için kullanılır.

Lp,w-norm doğru bir norm değildir,dolayısıyla üçgen eşitsizliği korunamıyor. yine de,Lp(S, μ) içinde fiçin

\|f\|_{p,w}\le \|f\|_p

ve özel olarak Lp(S, μ) ⊂ Lp,w(S, μ). kuralı altındaki iki işlev eğer onlar μ hemen hemen her yerde eşit, ise uzayı Lp,w tamdır.Grafakos 2004.

Herhangi 0 < r < p için ifade

||| f |||_{L^{p,\infty}}=\sup_{0<\mu(E)<\infty} \mu(E)^{-\frac{1}{r}+\frac{1}{p}}\left(\int_E |f|^r\,d\mu\right)^{\frac{1}{r}}

Lp,w-norm ile karşılaştırılabilir. durum içinde daha fazla p > 1, bu bir norm ifade eder eğer r = 1. Bundan dolayı p > 1 için zayıfLp uzayı are Banach uzayı'dır Grafakos 2004.

Kullanılan bir büyük sonuç Lp,w-uzayı Marcinkiewicz interpolasyon teoremi'dir, harmonik analiz ve tekil integral çalışmalarında geniş uygulama alanı vardır

AğırlıklıLp uzayı[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha önce olduğu gibi,bir mesafe uzayı (S, Σ, μ) dikkate alalım. Diyelimki \scriptstyle w :\; S \,\to\, [0,\, + \infty) bir ölçülebilir fonksiyondur. w-ağırlıklı Lp uzayı tanım olarak Lp(S, w dμ), burada w dμ ν ölçüsünün anlamı ile tanımı

\ \nu (A) \equiv \int_{A} w(x) \, \mathrm{d} \mu (x), \ \ \ A \in \Sigma

veya, Radon–Nikodym türevi'nin terimleri içinde,

\ w = \frac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu}

Lp(S, w dμ) için norm açıktır

\ \| u \|_{L^{p} (S, w \, \mathrm{d} \mu)} \equiv \left( \int_{S} w(x) | u(x) |^{p} \, \mathrm{d} \mu (x) \right)^{\frac{1}{p}}

Lp-uzayı olarak, ağırlıklı alanlarda özel bir şey var, ötesi Lp(S, w dμ) Lp(S, dν)'ye eşittir.Ancak harmonik analizde çeşitli sonuçlar elde etmek için doğal bir çerçeve bulunmaktadırGrafakos 2004;burada örnek Muckenhoupt teoremi'nin içinde görünür: 1 < p < ∞ için klasik Hilbert dönüşümü Lp(Tλ)olarak tanımlanır buradaT birim çember ifade eder ve λ Lebesgue ölçüsüdür;(doğrusal olmayan) Hardy–Littlewood maksimal operatörü Lp(Rnλ) sınırıdır. Muckenhoupt's teoremindewağırlık tanımlar böylece the Hilbert dönüşümü sınırlı kalır Lp(T, w dλ) olarak ve Lp(Rn, w dλ) maksimal operatördür.

Lp uzayı olarak manifoldlar[değiştir | kaynağı değiştir]

\scriptstyle L^p(M) bir manifold olarak uzaylarda tanımlayabiliriz , manifoldun Lp uzayı adını alır, yoğunlukları kullanılıyor.

Ayrıca Bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk bas.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, ss. xvi+524, ISBN 90-277-2186-6, MR =920371 920371, OCLC 13064804 
  2. ^ Maddox, I.J. (1988), Elements of Functional Analysis (2nd bas.), Cambridge: CUP , page 16
  3. ^ Rudin, Walter (1980), Real and Complex Analysis (2nd bas.), New Delhi: Tata McGraw-Hill, ISBN 9780070542341 , Theorem 6.16

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]