Rodrigues formülü

Rodrigues formülü (önceki söylemi Ivory-Jacobi formülü) matematikteki Legendre polinomları'nı üretmek için bir formüldür. Birbirlerinden bağımsız olarak, Olinde Rodrigues (1816), James Ivory (1824) ve Carl Gustav Jacob Jacobi (1827) tarafından ifade edilmiştir. 1865'te Hermite, Rodrigues'in formülü ilk bulan olduğuna dikkat çekmesinden sonra "Rodrigues formülü" ismi Heine tarafından 1878'de tanıtılmıştır, ayrıca diğer ortogonal polinomlar'ı genelleştirmek için de kullanılmıştır.Askey (2005) ayrıntılı olarak Rodrigues formülünün geçmişini açıklanmaktadır.

İfadesi

Rodrigues formülünün Legendre polinomları (P_n) için ifadesi:

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

Benzer bir formül diğer birçok ortonormal polinom serileri için de geçerlidir. p_n:

$p_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)$

ve bu genellemeler de Rodrigues formülü olarak adlandırılır.

Rodrigues durumu Legendre polinomları $P_{n}$ için :

$P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right].$

Laguerre polinomları L₀, L₁, ..., genel durumu için Rodrigues formülü

$L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right)={\frac {1}{n!}}\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}x^{n},$ olarak yazılabilir

Hermite polinomu Rodrigues formülü ile

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1$ olarak yazılabilir.

Benzer formül Sturm-Liouville denkleminden dogan ortogonal fonksiyonların birçok diğer dizisi için konur ve bu Rodrigues formülü olarak adlandırılır bu durum, özellikle dizi sonlarının polinomdur.

Kaynakça

• Askey, Richard (2005), "The 1839 paper on permutations: its relation to the Rodrigues formula and further developments", Altmann, Simón L.; Ortiz, Eduardo L. (Ed.), Mathematics and social utopias in France: Olinde Rodrigues and his times, History of mathematics, 28, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ss. 105-118, ISBN 978-0-8218-3860-0, 11 Ocak 2014 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 6 Temmuz 2012 
• Ivory, James (1824), "On the Figure Requisite to Maintain the Equilibrium of a Homogeneous Fluid Mass That Revolves Upon an Axis", Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, cilt 114, ss. 85-150, JSTOR 107707 
• Jacobi, C. G. J. (1827), "Ueber eine besondere Gattung algebraischer Functionen, die aus der Entwicklung der Function (1 − 2xz + z²)^1/2 entstehen.", Journal für Reine und Angewandte Mathematik (Almanca), cilt 2, ss. 223-226, doi:10.1515/crll.1827.2.223, ISSN 0075-4102 
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Olinde Rodrigues", MacTutor Matematik Tarihi arşivi 
• Rodrigues, Olinde (1816), "De l'attraction des sphéroïdes", Correspondence sur l'École Impériale Polytechnique, (Thesis for the Faculty of Science of the University of Paris), 3 (3), ss. 361-385 
• Bayramli, Burak, Çoklu Bakış Açı Geometrisi, 25 Ocak 2016 tarihinde kaynağından arşivlendi, erişim tarihi: 27 Aralık 2015