Ortogonal koordinatlar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Matematik'te, ortogonal koordinatlar q = (q1, q2, ..., qd) bir d koordinat kümesi olarak tanımlanır,hepsi koordinat yüzeyi içinde dik açılarla birleşir(not: üstsimge indis'tir, üstel değildir).Özel bir koordinat için Bir koordinat yüzeyi qk eğrilik, yüzey, veya hiperyüzey veya hangisiyse qk bir sabittir. örneğin, üç-boyut Kartezyen koordinatlar (x, y, z) bir ortogonal koordinat sistemidir. Bu koordinat yüzeyleri için x = sabit, y = sabit, ve z = sabit.,yüzeyler dik açıda buluşurlar,bu örnek dik açı içindir. Ortogonal koordinatlar eğrisel koordinatlar'ın özel ama son derece yaygın bir durumudur.

Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece,küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini,düzgün diferansiyel denklemi alır.

Alıştırma[değiştir | kaynağı değiştir]

konformal haritada dörtgen gridler etkilidir .Eğimli gridlerin ortogonalitesinin korunduğunu unutmayın.

Vektör işlemleri ve fiziksel yasalar normalde Kartezyen koordinatlar'da kolay olsa da non-kartezyen ortogonal koordinatlar sıklıka farklı problemlerin çözümünde kullanılır,kuantum mekaniğinin alan teorisi, akışkan, elektrodinamik ve kimyasal türlerin difuzyon'u veya ısı'da bu gibi ortaya çıkan özellikle sınır değer probleminde..

Kartezyen olmayan koordinatların baş avantajı problemin simetri eşleştirmek için seçilebilir olmasıdır. Örneğin,bir patlama nedeniyle basınç dalgası Kartezyen koordinatlarda 3 boyutlu uzaya bağlıdır zemin (ya da diğer engeller) gibi,ancak basınç ağırlıklı olarak küresel koordinatlar sorunu çok olur, böylece küresel koordinatlar'da öylesine sorun haline gelirki yaklaşık olarak bir boyutlu olur(bu basınç dalgası baskısı sadece merkezden zaman ve mesafeye bağlı olduğundan). Başka bir örnek düz bir dairesel borudaki (yavaş) bir sıvıdır: Kartezyen koordinatlarda, bir kısmi diferansiyel denklem içeren bir (zor) iki boyutlu sınır değer sorunu çözmek için vardır, fakat silindirik koordinatlar sorunu ile tek boyutlu olur bir kısmi diferansiyel denklemin yerini düzgün diferansiyel denklemi alır.

Ortogonal koordinatların tercih nedeni genel eğrisel koordinatlar'ın basitleşirilebilmesidir: koordinatları ortogonal olmadığı durumlarda birçok komplikasyonlar ortaya çıkar. örneğin bir çok problem,ortogonal koordinatlarda değişkenlerin ayrılması ile çözülür. Değişkenlere ayırma bir matematik tekniktir bir kompleksd-boyutlu problem, d tek-boyutlu problemlere dönüştürülerek bilinen fonksiyonun içindeki terimler çözülebilir. Birçok denklem Laplace denklemi veya Helmholtz denklemine indirgenebilir. Laplace denklemi ile 13 ortogonal koordinat sistemine ve Helmholtz denklemi ile 11 ortogonal koordinat sistemine ayrılır. [1][2]

Metrik tensör içindeki off-diagonal terimler asla ortogonal koordinatlar değildirler Diğer bir deyişle, sonsuz kare uzunluğu ds2 her zaman kare sonsuz koordinat yer değiştirmelerinin bir ölçekli toplamı olarak yazılabilir


ds^2 = \sum_{k=1}^d \left( h_k \, dq^{k} \right)^2

burada d boyuttur ve ölçek fonksiyonudur (veya ölçek faktörüdür)


h_{k}(\mathbf{q})\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sqrt{g_{kk}(\mathbf{q})} = |\mathbf e_k|

metrik tensör çapraz bileşenlerinin karekök veya aşağıda açıklanan yerel bazda vektörlerin \mathbf e_k uzunlukları eşittir.

Burada ölçekleme fonksiyonu hi yeni koordinatlarda,gradient,Laplacian, diverjans ve curl. gibi diferansiyel operatörleri hesaplamak için kullanılıyor Kartezyen koordinat (x, y) standart bir iki boyutlu grid konformal haritalaması iki boyutlu ortogonal koordinat sistemleri üretmek için basit bir yöntemdir. Bir karmaşık sayı z = x + iy, gerçek koordinatlar x ve y ile oluşturulabilmektedir.i kare kök -1'i temsil eder. ortaya çıkan karmaşık sayı w = u + iv olarak yazılmış ise herhangi bir holomorfik fonksiyonu w = f(z) sıfır olmayan karmaşık türev ile bir konformal haritalama üretecektir.Daha sonra sabit bir u ve v, sabit x ve y egrilerinin özgün çizgilerinin yaptığı gibi dik açıda kesişir. iki boyutlu bir koordinat sisteminden üç ve daha yüksek boyutlarda ortogonal koordinatlar ya da (silindirik koordinatlar) içine çıkıntı yapan ya da kendi simetri ekseni yaklaşık bir iki boyutlu bir sistem döndürülerek,ortogonal yeni bir boyut oluşturulabilir. Ancak, bu tür iki boyutlu bir sistemin, çıkıntı veya çevirerek elipsoidal koordinatlar elde edilemeyen üç boyutlu diğer ortogonal koordinat sistemleri vardır. Daha genel olarak dik koordinatlar bazı gerekli koordinat yüzeyleri ve dik yörüngeleri dikkate alınarak elde edilebilir.

Taban vektörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kovaryant taban[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlar da taban vektörler(sabit) sabitlenir;daha genel çerçeve olan eğrisel koordinatlarda ise bu vektörler, uzayda nokta koordinatları ile belirtilir ve genellikle  bu tür noktalarla taban vektörler kümesi sabit değildir: Bu ​​genel olarak eğrisel koordinatlara özgüdür ve çok önemli bir kavramdır. ortogonal koordinatları ayıran temel vektörler farklı olsa da, her zaman birbirlerine göre ortogonal dir, yani diğer bir deyişle,

\mathbf e_i \cdot \mathbf e_j = 0 \quad \text{if} \quad i \neq j

eğriliği tanjant vektörler tarafından tanımlanir ve bu taban vektörler diğerlerini sabit tutmak ve bir koordinati değiştirmek sureti ile elde edilir :

2D ortogonal koordinatların gösterimi. Sabit biri dışında tüm koordinat tutarak elde edilen eğriler, taban vektörler ile gösterilir, taban vektörlerin eşit uzunlukta olmadigi unutulmamalidir ve olmasıda gerekmez, sadece dik olması gerekir.
\mathbf e_i = \frac{\partial \mathbf r}{\partial q^i}

Burada r bir qi noktasında taban vektörlerin elde edildiği koordinattır . Sabitlenmemiş koordinat bir parametrik eğri olarak zengindir ve parametreye (değişen koordinat) göre eğrinin türevi koordinatı oldugu için taban vektördür, başka bir deyişle, bir A eğrisi hariç tüm bir koordinat sabitleme ile elde edilmektedir Vektörlerin eşit uzunlukta olması gerekmediği unutulmamalidir,normalize taban vektörleri bir şapka ile noktaya ve uzunluğu ile bölünmesi ile elde edilir:

\hat{\mathbf e}_i = \frac{\mathbf e_i}{\left|\mathbf e_i\right|}

Bir vektör alanı baz vektörleri veya normalize baz vektörleri ile ilgili bileşenleri tarafından belirtilebilir. Normalize tabanda bileşenlerin niceliklerinde netlik (örneğin, bir teğet hız yerine teğet hız kez ölçek faktörü ile uğraşmak isteyebilirsiniz) uygulamalarin en yaygın, daha karmaşık olduğu türevlerde normalize tabanlarda daha az yaygın görülür . Kullanılan bu fonksiyonlar ölçek faktörü olarak bilinir (bazen Lamé katsayıları olarak adlandırılan,ve bu biraz daha iyi bilinen doğrusal elastisite içinde aynı adı taşıyan katsayilardan kaçinilmalidir) koordinatlarin basit uzunluğu taban vektörlerin uzunluğudur.(aşağıdaki tabloya bakınız).

Kontravaryant taban[değiştir | kaynağı değiştir]

Yukardaki taban vektörler kovaryant taban vektörler (çünkü bunlar birlikte "eş-değişir" vektörler)dir. Ortogonal koordinatlar, kontrvaryant taban vektörleri bildirdiğinden vektörleri aynı doğrultuda olarak karşılıklı uzunluğu bulmak kolaydır. (bu nedenle, birbirine göre iki taban vektörleri kümesinin karşılıklı olduğu söylenir ):

\mathbf e^i = \frac{\hat{\mathbf e}_i}{h_i} = \frac{\mathbf e_i}{h_i^2}

Bu, tanım gereğinin gerçek bir sonuçtur,  \mathbf e_i \cdot \mathbf e^j = \delta^j_i,Kronecker delta kullanılıyor.

\hat{\mathbf e}_i = \frac{\mathbf e_i}{h_i} = h_i \mathbf e^i = \hat{\mathbf e}^i

Şimdi yaygın olarak ortogonal koordinatlardaki üç farklı taban vektörlerini tanımlamak için kullanılan kümelerle karşı karşıyayiz: kovaryant taban ei, kontravaryant taban ei, ve normalize tabana êi. Bir vektörün kimliği herhangi bir koordinat sisteminden bağımsız, yani bir nesnel miktar iken, diger bir vektörün vektör içeri bilesenleri gösterimi tabana bağlıdır. Kafa karışıklığını önlemek için, x vektörünün bileşenleri ile sırasıyla ei taban gösterimi olarak xi ve ei taban gösterimi olarak xi dir:

\mathbf x = \sum_i x^i \mathbf e_i = \sum_i x_i \mathbf e^i

İndis gösteriminin pozisyonu bileşenler ile şöyle hesaplanıyor(Üs üst indisi ile karıştırılmamalıdır). Burada toplam sembolünün Σ ( büyük sigma) olduğunu unutmayalım ve tüm vektörler üzerinden toplam olarak belirtilen (i = 1, 2, ..., d) sıklıkla ihmal edilir.Bileşenler basitçe aşağıdaki gibidir:

h_i^2 x^i = x_i\,

Normalize tabana göre herhangi bir vektör bileşeni için kullanılan yaygın indis gösterimi vardır, bu yazıda vektör bileşenleri için indisleri kullanma ve bileşenler normalize bazında nasıl hesaplanır buna dikkat edeceğiz..

Vektör cebri[değiştir | kaynağı değiştir]

Vektör ekleme ve olumsuzlama gibi herhangi bir komplikasyonda kartezyen koordinatlarda akıllı-bileşen olacaktır. Ekstra hususlar diğer vektör işlemleri için gerekli olabilir Tüm bu işlemler için,bir vektör alanında iki vektörün (diğer bir deyişle, vektörlerin kuyrukları denk) aynı noktaya bağlı olduğunun varsayıldığı unutulmamalıdır.İki vektör bileşenleri uzayda farklı noktalarda hesaplanarak ilave edildiği takdirde taban vektörler genel olarak, ortogonal koordinatlar değiştigi için, farklı taban vektörleri olarak düşünülmesi gerekir

Nokta çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlarda nokta çarpım (Öklid uzayı ile ortonormal taban kümesi) basit bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır.Dik koordinatlarda, x ve y iki vektörün nokta çarpım vektörlerin bileşenleri normalize bazında hesaplanan ailevi form halini alır:

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i x_i \hat{\mathbf e}_i \cdot \sum_j y_j \hat{\mathbf e}_j = \sum_i x_i y_i

Bu noktada normalize edilmiş olarak ortonormal baz grubu bir Kartezyen koordinat sistemi oluşturma gerçeğinin bir sonucudur :

Kovaryant veya kontrvaryant tabanlardaki bileşenler için

\mathbf x \cdot \mathbf y = \sum_i h_i^2 x^i y^i = \sum_i \frac{x_i y_i}{h_i^2} = \sum_i x^i y_i = \sum_i x_i y^i

Bu kolaylıkla elde edilebilir, bileşen formu içindeki vektörleri dışarı yazma temelinde taban vektörleri normalize ve nokta çarpım alarak elde edilebilir. Örneğin, 2D:


\begin{align}
\mathbf x \cdot \mathbf y & =
\left(x^1 \mathbf e_1 + x^2 \mathbf e_2\right) \cdot \left(y_1 \mathbf e^1 + y_2 \mathbf e^2\right) \\[10pt]
& = \left(x^1 h_1 \hat{ \mathbf e}_1 + x^2 h_2 \hat{ \mathbf e}_2\right) \cdot \left(y_1 \frac{\hat{ \mathbf e}^1}{h_1} + y_2 \frac{\hat{ \mathbf e}^2}{h_2}\right) = x^1 y_1 + x ^2 y_2
\end{align}

burada normalize kontravaryant ve kovaryant üsleri eşit olduğu gerçeği kullanılmıştır

Çapraz çarpım[değiştir | kaynağı değiştir]

çapraz çarpım 3D kartezyen koordinatlarda:

\mathbf x \times \mathbf y =
(x_2 y_3 - x_3 y_2) \hat{ \mathbf e}_1 + (x_3 y_1 - x_1 y_3) \hat{ \mathbf e}_2 + (x_1 y_2 - x_2 y_1) \hat{ \mathbf e}_3

bileşenleri normalize tabanda hesaplanır, yukarıdaki formül daha sonra ortogonal koordinatlarda geçerli kalır

Kovaryant veya kontravaryant üsleri ile dik koordinatlarda çapraz çarpımı oluşturmak için yine basitçe taban vektörlerin normalizesi gerekir Örneğin:

\mathbf x \times \mathbf y = \sum_i x^i \mathbf e_i \times \sum_j y^j \mathbf e_j =
\sum_i x^i h_i \hat{\mathbf e}_i \times \sum_j y^j h_j \hat{\mathbf e}_j

açılımı yazılırsa,

\mathbf x \times \mathbf y =
(x^2 y^3 - x^3 y^2) \frac{h_2 h_3}{h_1} \mathbf e_1 + (x^3 y^1 - x^1 y^3) \frac{h_1 h_3}{h_2} \mathbf e_2 + (x^1 y^2 - x^2 y^1) \frac{h_1 h_2}{h_3} \mathbf e_3

Ortogonal olmayan koordinatların daha yüksek boyutlara basitleştirilmiş genellemesi çapraz çarpım için kısa ve öz gösterimi Levi-Civita tensörü ile mümkündür bu ölçek faktörlerin biri değilse diğer bileşenleri bir ve sıfır olacaktır.

Taban vektör formülleri[değiştir | kaynağı değiştir]

dr ve normalize edilmis taban vektörler êi den, aşağıda inşa edilmiştir.[3][4]

değişken eleman Vektörler Skalerler
Doğrusal eleman koordinat eğrisinin tanjant vektörü qi:

d\boldsymbol{\ell} = h_i\hat{\mathbf{e}}_i = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}

sonsuz uzunluk

d\ell = \sqrt{d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}}= \sqrt{h_1^2 \, dq_1^2 + h_2^2 \,  dq_2^2 + h_3^2 \, dq_3^2}

yüzey elemanı Normal koordinat yüzeyiqk = sabit:

 \begin{align}
d\mathbf{S} & = (h_iq_i\hat{\mathbf{e}}_i)\times(h_jq_j\hat{\mathbf{e}}_j) \\
& = h_ih_jq_iq_j\left(\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_i}\times\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\right)\\
& = h_ih_jq_iq_j \hat{\mathbf{e}}_k 
\end{align}

sonsuzyüzey

 dS_k = h_ih_j \, dq^i \, dq^j

Hacim elemanı N/A sonsuz hacim

\begin{align} 
dV & = |(h_1 \, dq_1\hat{\mathbf{e}}_1)\cdot(h_2 \, dq_2\hat{\mathbf{e}}_2)\times(h_3 \, dq_3\hat{\mathbf{e}}_3)| \\
& = |\hat{\mathbf{e}}_1\cdot\hat{\mathbf{e}}_2\times\hat{\mathbf{e}}_3| h_1h_2h_3 \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3\\
& = J \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3 \\
& = h_1 h_2 h_3 \, dq_1 \, dq_2 \, dq_3
\end{align}

burada

J = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_1}\cdot\left(\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_2}\times\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q_3} \right)\right| = \left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(q_1,q_2,q_3)} \right| = h_1 h_2 h_3

Jacobian determinant tır, Bu hacimdeki deformasyondan sonsuzküçük küb dxdydz ye ortogonal koordinatlar içinde sonsuz eğrilik hacminin geometrik karşılaştırma idi.

İntegral[değiştir | kaynağı değiştir]

\int_{\mathcal P} \mathbf F \cdot d\mathbf r =\int_{\mathcal P} \sum_i F_i \mathbf e^i \cdot \sum_j \mathbf e_j \, dq^j = \sum_i \int_{\mathcal P} F_i \, dq^i

Bir koordinatla başlanıp açıklanan yüzey alanı için bir sonsuz eleman qk sabittir:

dA = \prod_{i \neq k} ds_i = \prod_{i \neq k} h_i \, dq^i\,

Benzer şekilde, hacim elemanı:

dV = \prod_i ds_i = \prod_i h_i \, dq^i

Burada büyük Π indisi (sapkali Pi) bir çarpım benzer sekilde büyük Σ indisi toplam sembolüdür. Unutmadan tüm ölçek faktörlerinin çarpimlari Jakobiyen determinanttir.

Bir örnek olarak bir vektör fonksiyonu F in üzerinde q1 = sabit yüzey 3D içinde \scriptstyle\mathcal S yüzeysel integral i  :

\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot d\mathbf A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf n} \ d A =
\int_{\mathcal S} \mathbf F \cdot \hat{\mathbf e}_1 \ d A =
\int_{\mathcal S} F^1 \frac{h_2 h_3}{h_1} \, dq^2 \, dq^3

dir Not olarak F1/h1 normal yüzeyinin F bileşenidir .

Üç boyutlu diferansiyel operatörler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ana madde: del

Bu işlemler uygulamada yaygın olduğu için, bu bölümdeki tüm vektör bileşenleri normalize esasına göre sunulmaktadır.

bir vektör alanı'nın Diverjans
Operator Expression
bir skaler alan Gradyan 
\nabla \phi =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} +
\frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3}

\nabla \cdot \mathbf F =
\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( F_1 h_2 h_3 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( F_2 h_3 h_1 \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( F_3 h_1 h_2 \right)
\right]
Bir vektör alanının Curl 
\begin{align}
\nabla \times \mathbf F & =
\frac{\hat{ \mathbf e}_1}{h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_3 F_3 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_2 F_2 \right)
\right] +
\frac{\hat{ \mathbf e}_2}{h_3 h_1}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( h_1 F_1 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_3 F_3 \right)
\right] \\[10pt]
& + \frac{\hat{ \mathbf e}_3}{h_1 h_2}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( h_2 F_2 \right) -
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( h_1 F_1 \right)
\right] 
=\frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\begin{vmatrix}
h_1\hat{\mathbf{e}}_1 & h_2\hat{\mathbf{e}}_2 & h_3\hat{\mathbf{e}}_3 \\
\dfrac{\partial}{\partial q^1} & \dfrac{\partial}{\partial q^2} & \dfrac{\partial}{\partial q^3} \\
h_1 F_1 & h_2 F_2 & h_3 F_3
\end{vmatrix}
\end{align}
Bir skaler alanın Laplasyen i 
\nabla^2 \phi = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}
\left[
\frac{\partial}{\partial q^1} \left( \frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\partial \phi}{\partial q^1} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^2} \left( \frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\partial \phi}{\partial q^2} \right) +
\frac{\partial}{\partial q^3} \left( \frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\partial \phi}{\partial q^3} \right)
\right]

Ortogonal koordinatlar tablosu[değiştir | kaynağı değiştir]

Her zamanki kartezyen koordinat yanı sıra, birkaç diğerleri aşağıda verilmiştir.[4] Aralıklı gösterim koordinatların sütunda yer kaplaması için kullanılır.

Eğrisel koordinatlar (q1, q2, q3) Kartezyenden dönüşüm(x, y, z) ölçek çarpanı
Küresel kutupsal koordinatlar

(r, \theta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=r\sin\theta\cos\phi \\
y&=r\sin\theta\sin\phi \\
z&=r\cos\theta
\end{align} \begin{align}
h_1&=1 \\
h_2&=r \\
h_3&=r\sin\theta
\end{align}
Silindrik kutupsal koordinatlar

(r, \phi, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=r\cos\phi \\
y&=r\sin\phi \\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_3=1 \\
h_2&=r
\end{align}
Parabolik silindrik koordinatlar

(u, v, z)\in(-\infty,\infty)\times[0,\infty)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)\\
y&=uv\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=1
\end{align}
Paraboloidal koordinatlar

(u, v, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\infty)\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=uv\cos\phi\\
y&=uv\sin\phi\\
z&=\frac{1}{2}(u^2-v^2)
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\sqrt{u^2+v^2} \\
h_3&=uv
\end{align}
Eliptik silindrik koordinatlar

(u, v, z)\in[0,\infty)\times[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=a\cosh u \cos v\\
y&=a\sinh u \sin v\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2u+\sin^2v} \\
h_3&=1
\end{align}
Yayvan küresel koordinatlar

(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times[0,\pi]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=a\sinh\xi\sin\eta\cos\phi\\
y&=a\sinh\xi\sin\eta\sin\phi\\
z&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align}
Yatık küresel koordinatlar

(\xi, \eta, \phi)\in[0,\infty)\times\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\times[0,2\pi)

\begin{align}
x&=a\cosh\xi\cos\eta\cos\phi\\
y&=a\cosh\xi\cos\eta\sin\phi\\
z&=a\sinh\xi\sin\eta
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=a\sqrt{\sinh^2\xi+\sin^2\eta} \\
h_3&=a\cosh\xi\cos\eta
\end{align}
Elipsoidal koordinatlar

\begin{align}
& (\lambda, \mu, \nu)\\
& \lambda < c^2 < b^2 < a^2,\\
& c^2 < \mu < b^2 < a^2,\\
& c^2 < b^2 < \nu < a^2,
\end{align}

\frac{x^2}{a^2 - q_i} + \frac{y^2}{b^2 - q_i} + \frac{z^2}{c^2 - q_i} = 1

where (q_1,q_2,q_3)=(\lambda,\mu,\nu)

h_i=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{(q_j-q_i)(q_k-q_i)}{(a^2-q_i)(b^2-q_i)(c^2-q_i)}}
Bipolar koordinatlar

(u,v,z)\in[0,2\pi)\times(-\infty,\infty)\times(-\infty,\infty)

\begin{align}
x&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}\\
y&=\frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}\\
z&=z
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=1
\end{align}
Toroidal koordinatlar

(u,v,\phi)\in(-\pi,\pi]\times[0,\infty)\times[0,2\pi)

\begin{align}
x &= \frac{a\sinh v \cos\phi}{\cosh v - \cos u}\\
y &= \frac{a\sinh v \sin\phi}{\cosh v - \cos u} \\
z &= \frac{a\sin u}{\cosh v - \cos u}
\end{align} \begin{align}
h_1&=h_2=\frac{a}{\cosh v - \cos u}\\
h_3&=\frac{a\sinh v}{\cosh v - \cos u}
\end{align}
Konikal koordinatlar

\begin{align}
& (\lambda,\mu,\nu)\\
& \nu^2 < b^2 < \mu^2 < a^2 \\
& \lambda \in [0,\infty)
\end{align}

\begin{align}
x &= \frac{\lambda\mu\nu}{ab}\\
y &= \frac{\lambda}{a}\sqrt{\frac{(\mu^2-a^2)(\nu^2-a^2)}{a^2-b^2}} \\
z &= \frac{\lambda}{b}\sqrt{\frac{(\mu^2-b^2)(\nu^2-b^2)}{a^2-b^2}}
\end{align} \begin{align}
h_1&=1\\
h_2^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\mu^2-a^2)(b^2-\mu^2)}\\
h_3^2&=\frac{\lambda^2(\mu^2-\nu^2)}{(\nu^2-a^2)(\nu^2-b^2)}
\end{align}

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Şablon:Orthogonal coordinate systems

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ Eric W. Weisstein. "Orthogonal Coordinate System". MathWorld. http://mathworld.wolfram.com/OrthogonalCoordinateSystem.html. Erişim tarihi: 10 July 2008. 
  2. ^ Morse and Feshbach 1953, Volume 1, pp. 494-523, 655-666.
  3. ^ Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition), S. Lipschutz, M.R. Spiegel, J. Liu, Schuam's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7.
  4. ^ a b Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, ISBN 978-0-07-161545-7

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Korn GA ve Korn TM. (1961), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill, ss. 164–182 
  • Morse & Feshbach (1953), Methods of Theoretical Physics, Volume 1, McGraw-Hill 
  • Margenau H. ve Murphy GM. (1956), The Mathematics of Physics and Chemistry, 2. basım, Van Nostrand,, ss. 172–192 
  • Leonid P. Lebedev ve Michael J. Cloud (2003), Tensor Analysis, ss. 81–88