Helmholtz denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
Düzlemde radyasyonun iki kaynağı, matematiksel bir ƒ fonksiyonu ile veriliyor burada mavi bölge sifirdir.
gerçel kisim Ada sonlaniyor, Homojen olmayan Helmholtz denklemi

nin çözümü "A" dir.

Matematikte, Helmholtz denklemi ismi Hermann von Helmholtz,anisinadir kismi differensiyel denklemdir

Burada ∇2 Laplasyendir, k dalga nosu, ve A genliğidir.

Hermann von Helmholtz'un ardından adlandirilan Helmholtz denklemi veya indirgenmiş dalga denklemi

biciminde tanimli 2. dereceden bir eliptik kismi türevli diferansiyel denklemdir. Burada ( biciminde de gosterilir) Laplasyen operatörünü, ortamın dalga sayısını ve dalga davranışı gösteren bilinmeyen fonksiyonu göstermektedir.

Alıştırma ve kullanım[değiştir | kaynağı değiştir]

Helmholtz denklemi siklikla kismi diferansiyel denklemler (PDEs) uzay ve zamanın her ikisinde de fiziksel problemlerde karsimiza çikar. Helmholtz denklemi denen bu 'dalga denkleminin zaman-bagimsiz formunun gösterimi, sonuç olarak degiskenlerin ayrismasinin teknik uygulamasından analizin karmaşıkliginin indirgenmesi amaçlanir

Örnegin, dalga denklemi olarak

elde edilir Dalga fonksiyonu u(rt) degiskenlerinin ayrımı varsayımı ile çarpanlara ayrılır:

dalga denkleminde bu form yerine konur , ve sadeleştirilirse, asagidaki denklem elde edilir:

Sol tarafı yalnızca r ye bagli zaman-bagimsiz denir , burada sag taraftaki baginti yalnızca t ye baglidir sonuç olarak, bu denklemin genel durum içinde denklemin her iki tarafı bir sabit degere esittir. Bu gözlemden, iki denklem elde edilebilir, biri A(r), digeri T(t):

ve

Buradaki seçim, genelin disinda,−k2 bagintisi için sabit degerdir. (Bu i herhangi sabit k ya esit deger sabitlerin ayrismasi olarak; −k2 geleneksel seçimdir.)

ilk denkleme uyarlayarak, Helmholtz denklemini elde ederiz:

Yine, sonraki yerine konarak

ikinci denklem

Burada k dalga vektörüdür ve ω açısal frekanstir.

Bizim simdi Helmholtz's denklemimiz var uzaysal degisken r ve zamanda bir ikinci-derece adi diferensiyel denklemdir.Zaman içinde sin ve cos fonksiyonlarının , ω ' nin açısal frekansi ile dogrusal bileşimi iken , uzaydaki çözüm formu sinir durum bagimli olacaktır. Alternatifleri, Laplace veya Fourier dönüşümü gibi integral dönüşümlerdir , Helmholtz denkleminin bir formu içinde hiperbolik PDE bir dönüşümü siklikla kullanılıyor .

Bi dalga denklemlerinin iliskililigi nedeniyle, the Helmholtz denklemi fizik alanlarinin dalga problemlerinin elektromanyetik radyasyon, sismoloji ve akustik alanlarinda kullanilir.

Homojen olmayan Helmholtz denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu durumda denklem fiziksel acidan u(.) alaninin f(.) kaynak dagilimi tarafindan yaratildigi biciminde yorumlanir.

Uygulama alanları[değiştir | kaynağı değiştir]

Helmholtz denklemi zamanla harmonik degisim gosteren elektromagnetik veya akustik dalgalarla uyarılmış ortamlardaki alan dagılımını modellemek için kullanılır.

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrica bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene, ed. (1964). Handbook of Mathematical functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-61272-4. 
  • Riley, K. F.; Hobson, M. P.; Bence, S. J. (2002). "Chapter 19". Mathematical methods for physics and engineering. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89067-5. 
  • Riley, K. F. (2002). "Chapter 16". Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Sausalito, California: University Science Books. ISBN 1-891389-24-6. 
  • Saleh, Bahaa E. A.; Teich, Malvin Carl (1991). "Chapter 3". Fundamentals of Photonics. Wiley Series in Pure and Applied Optics. New York: John Wiley & Sons. s. 80–107. ISBN 0-471-83965-5. 
  • Sommerfeld, Arnold (1949). "Chapter 16". Partial Differential Equations in Physics. New York: Academic Press. ISBN 0126546568. 
  • Howe, M. S. (1998). Acoustics of fluid-structure interactions. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63320-6. 

Dis baglantilar[değiştir | kaynağı değiştir]