Merkezsel moment

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara

Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için k-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa

μk := E[(X - E[X])k]

miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:

Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine terimini tercih etmektedirler.

Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.

İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:

Özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

  • ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için

olur.

  • Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani
  • Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:

Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü

κn(X).

olarak ifade edilen ninci kümülantdır.

  • n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
  • n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
  • n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.

Orijin etrafındaki momentlere ilişki[değiştir | kaynağı değiştir]

Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki ninci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:

Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:

halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir:

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]