Hipergeometrik fonksiyon

Özel fonksiyonların önemli bir bölümünü oluşturan hipergeometrik fonksiyonlar matematik, fizik, mühendislik ve olasılıkta karşımıza çıkar.

Hipergeometrik Seri ve Hipergeometrik Fonksiyonlar

$\alpha ,\beta$ ve $\gamma$ reel ya da kompleks sabitler olmak üzere $1+{\frac {\alpha \beta }{\gamma }}{\frac {x}{1!}}+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}}{\frac {x^{2}}{2!}}+...$ olarak ifade edilen seriye Gauss hipergeometrik serisi veya hipergeometrik seri denir. Bu ifade $1+x+x^{2}+...$ geometrik serisinin bir genelleştirilmesi olduğundan bu adı alır.

$\gamma$ değeri sıfır ya da negatif bir tam sayı olmamalıdır. Hipergeometrik serisi $\left|x\right|<1$ için yakınsak, $\left|x\right|>1$ için ıraksaktır. $\left|x\right|=1$ olduğu zaman $\gamma >\alpha +\beta$ ise seri mutlak yakınsaktır. $x=-1$ iken $\gamma >\alpha +\beta -1$ ise seri yakınsaktır.

Hipergeometrik serisi aşağıdaki şekilde yazılabilir. $_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(\beta )_{n}}{(\gamma )_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}$ dir.

Hipergeometrik fonksiyonu ifade eden $_{2}F_{1}$ gösterimi yerine $F$ Gösterimide kullanılır. Yani $F(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)=_{2}F_{1}(\alpha ,\beta ;\gamma ;x)$ olup, bu fonksiyon Gauss hipergeometrik fonksiyonu veya hipergeometrik fonksiyon olarak bilinir.

Genelleştirilmiş ifadesi

$\,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\dots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\dots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {x^{n}}{n!}}$ veya ${}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\frac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\frac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\frac {z^{k}}{k!}};\quad p,q\in \mathbb {N} _{0},$ şeklindedir.

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Hipergeometrik dağılım