Dirichlet eta işlevi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Şuraya atla: kullan, ara
Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi . noktasındaki renk değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

Sayısal Algoritmalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

koşulu sağlanıyorsa

eşitliğine ulaşılır. Burada için geçerli γn hata payı

olarak hesaplanır.

Hata payındaki ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi: Zeta sabiti

Ayrıca,

(almaşık harmonik dizi)

Pozitif çift tamsayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]