Dirichlet eta işlevi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Karmaşık düzlemde Dirichlet eta işlevi  \eta(s) .  s noktasındaki renk  \eta(s) değerini taşımaktadır. Güçlü renkler sıfıra yakın değerleri göstermektedir.

Matematiğin analitik sayı kuramı alanında Dirichlet eta işlevi

\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)

olarak tanımlanmaktadır. Burada ζ Riemann zeta işlevini belirtmektedir. İşlev, pozitif gerçel kısımlı tüm s karmaşık sayıları için geçerli bir Dirichlet dizisine sahiptir.

\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s}

Bu ifade her ne kadar yalnızca pozitif gerçel kısımlı s değerleri için yakınsak olsa da, tüm karmaşık sayılar kümesinde Abel toplamına sahiptir. Bu, eta işlevinin boylu boyunca uzandığını ve zeta işlevinin s = 1 kutbu için meromorf olduğunu göstermektedir.

Pozitif gerçel kısımlı sayılar için tanımlı

\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}

ifadesinden başlayarak eta işlevinin Mellin dönüşümüne ulaşılabilmektedir.

Hardy, eta işlevinin işlevsel denklemini şöyle kanıtlamıştır:

\eta(-s) = 2\pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1)

Sayısal Algoritmalar[değiştir | kaynağı değiştir]

Almaşık diziler için geliştirilen dizi hızlandırma yöntemlerinin çoğu eta işlevini hesaplamak için de kullanılabilmektedir. Euler'in almaşık dizi dönüşümü bu bağlamda uygulanabilecek en iyi yöntemlerden biridir.

\eta(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{n+1}} 
\sum_{k=0}^n (-1)^{k} {n \choose k} \frac {1}{(k+1)^s}

İç kısımda yer alan toplamın bir ileri fark olduğu gözlenebilmektedir.

Borwein yöntemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Peter Borwein, Chebyshev polinomlarının da içinde bulunduğu bazı yaklaştırmaları kullanarak eta işlevini kolay yoldan hesaplamaya yarayan bir yöntem geliştirmiştir.

d_k = n\sum_{i=0}^k \frac{(n+i-1)!4^i}{(n-i)!(2i)!}

koşulu sağlanıyorsa

\eta(s) = -\frac{1}{d_n} \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(-1)^k(d_k-d_n)}{(k+1)^s}+\gamma_n(s)

eşitliğine ulaşılır. Burada \Re(s) \ge \frac{1}{2} için geçerli γn hata payı

|\gamma_n(s)| \le \frac{3}{(3+\sqrt{8})^n} (1+2|\Im(s)|)\exp(\frac{\pi}{2}|\Im(s)|)

olarak hesaplanır.

Hata payındaki 3+\sqrt{8}\approx 5.8 ifadesi Borwein dizisinin artan n değerleri için hızla yakınsadığını göstermektedir.

Özel değerler[değiştir | kaynağı değiştir]

Daha fazla bilgi: Zeta sabiti

Ayrıca,

 \!\ \eta(1) = \ln2 (almaşık harmonik dizi)
\eta(2) = {\pi^2 \over 12}
\eta(4) = {{7\pi^4} \over 720}
\eta(6) = {{31\pi^6} \over 30240}
\eta(8) = {{127\pi^8} \over 1209600}
\eta(10) = {{73\pi^{10}} \over 6842880}
\eta(12) = {{1414477\pi^{12}} \over {1307674368000}}

Pozitif çift tamsayılar için geçerli genel ifade şöyledir:

\eta(2n) = (-1)^{n+1}{{B_{2n}\pi^{2n}(2^{2n-1} - 1)} \over {(2n)!}}

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]