Vikipedi, özgür ansiklopedi
Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac 'tan alan spinli ve göreli kuantum mekaniği denklemi,
γ
μ
p
μ
c
Ψ
=
m
0
c
2
Ψ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }p_{\mu }c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }
şeklinde ifade edilebilir. Burada;
m_0 : parçacığın durağan kütlesini ,c : ışık hızını ,
p
μ
{\displaystyle p_{\mu }}
dörtmomentumu ,
γ
μ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }}
Dirac matrislerini göstermektedir. Ayrıca
Ψ
{\displaystyle \Psi }
karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur . Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:
Ψ
=
[
Ψ
+
Ψ
−
]
{\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}
Buradaki
Ψ
+
{\displaystyle \Psi ^{+}}
Ψ
−
{\displaystyle \Psi ^{-}}
Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır.
Ψ
+
{\displaystyle \Psi ^{+}}
dönücüsü , pozitif enerjileri,
Ψ
−
{\displaystyle \Psi ^{-}}
Ψ
+
=
[
ψ
+
ϕ
+
]
{\displaystyle \Psi ^{+}={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\end{bmatrix}}}
ve
Ψ
−
=
[
ψ
−
ϕ
−
]
{\displaystyle \Psi ^{-}={\begin{bmatrix}\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}}
olarak tanımlanır.
ψ
{\displaystyle \psi }
yukarı dönü ve
ϕ
{\displaystyle \phi }
aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;
Ψ
=
[
ψ
+
ϕ
+
ψ
−
ϕ
−
]
{\displaystyle \Psi ={\begin{bmatrix}\psi ^{+}\\\phi ^{+}\\\psi ^{-}\\\phi ^{-}\end{bmatrix}}}
şeklindedir.
Dırac denklemlerinde
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0}
i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı ), Dirac denklemi;
γ
0
p
0
c
Ψ
+
γ
i
p
i
c
Ψ
=
m
0
c
2
Ψ
{\displaystyle \gamma ^{0}p_{0}c\mathbf {\Psi } +\gamma ^{i}p_{i}c\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }
biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri ; I, birim matris olmak üzere
γ
0
=
[
0
I
I
0
]
{\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}0&&I\\I&&0\end{bmatrix}}}
ve
γ
i
=
[
0
σ
i
−
σ
i
0
]
{\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{bmatrix}0&&\sigma ^{i}\\-\sigma ^{i}&&0\end{bmatrix}}}
olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,
[
0
p
0
c
+
σ
i
p
i
c
p
0
c
−
σ
i
p
i
c
0
]
[
Ψ
+
Ψ
−
]
=
m
0
c
2
[
Ψ
+
Ψ
−
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&&p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\\p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c&&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}=m_{0}c^{2}{\begin{bmatrix}\Psi ^{+}\\\Psi ^{-}\end{bmatrix}}}
biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:
(
p
0
c
−
σ
i
p
i
c
)
Ψ
−
=
m
0
c
2
Ψ
+
{\displaystyle \left(p_{0}c-\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{-}=m_{0}c^{2}\Psi ^{+}}
(
p
0
c
+
σ
i
p
i
c
)
Ψ
+
=
m
0
c
2
Ψ
−
{\displaystyle \left(p_{0}c+\sigma ^{i}p_{i}c\right)\Psi ^{+}=m_{0}c^{2}\Psi ^{-}}
Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:
p
0
2
c
2
−
p
i
2
c
2
=
m
0
2
c
4
{\displaystyle p_{0}^{2}c^{2}-p_{i}^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}
Burada
p
0
c
=
E
=
m
c
2
{\displaystyle p_{0}c=E=mc^{2}}
p
i
2
=
p
1
2
+
p
2
2
+
p
3
2
=
|
p
|
2
{\displaystyle p_{i}^{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}=|\mathbf {p} |^{2}}
E
2
−
|
p
|
2
c
2
=
m
0
2
c
4
{\displaystyle E^{2}-|\mathbf {p} |^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}}
şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.
Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:
p
μ
→
p
μ
−
e
c
A
μ
{\displaystyle p_{\mu }\rightarrow p_{\mu }-{\frac {e}{c}}A_{\mu }}
denklem,
γ
μ
(
p
μ
c
−
e
A
μ
)
Ψ
=
m
0
c
2
Ψ
{\displaystyle \gamma ^{\mu }\left(p_{\mu }c-eA_{\mu }\right)\mathbf {\Psi } =m_{0}c^{2}\mathbf {\Psi } }
biçimine gelir. Buradaki
A
μ
{\displaystyle A_{\mu }}
elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür .
