Dirac denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

\gamma^\mu p_\mu c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,
c : ışık hızını,
p_\mu : dörtmomentumu,
\gamma^\mu : Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca \Psi, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

\Psi = \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^- \end{bmatrix}

Buradaki \Psi^+ ve \Psi^-, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. \Psi^+ dönücüsü, pozitif enerjileri, \Psi^- negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

\Psi^+ = \begin{bmatrix} \psi^+ \\ \phi^+ \end{bmatrix} ve \Psi^- = \begin{bmatrix} \psi^- \\ \phi^- \end{bmatrix}

olarak tanımlanır. \psi yukarı dönü ve \phi aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

\Psi = \begin{bmatrix} \psi^+ \\ \phi^+ \\ \psi^- \\ \phi^- \end{bmatrix}

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Dırac denklemlerinde \mu = 0 bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

\gamma^0 p_0 c \mathbf{\Psi} + \gamma^i p_i c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 && I \\ I && 0 \end{bmatrix} ve \gamma^i = \begin{bmatrix} 0 && \sigma^i \\ -\sigma^i && 0 \end{bmatrix}

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

\begin{bmatrix} 0 && p_0 c + \sigma^i p_i c \\ p_0 c - \sigma^i p_i c && 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^-\end{bmatrix} =  m_0 c^2 \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^-\end{bmatrix}

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

\left( p_0 c - \sigma^i p_i c \right) \Psi^- = m_0 c^2 \Psi^+
\left( p_0 c + \sigma^i p_i c \right) \Psi^+ = m_0 c^2 \Psi^-

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

p_0^2 c^2 - p_i^2 c^2 = m_0^2 c^4

Burada p_0 c = E = m c^2 ve p_i^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = |\mathbf{p}|^2 olduğundan ifade,

E^2 - |\mathbf{p}|^2 c^2 = m_0^2 c^4

şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi[değiştir | kaynağı değiştir]

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

p_\mu \rightarrow p_\mu - \frac{e}{c} A_\mu

denklem,

\gamma^\mu \left( p_\mu c - e A_\mu \right)\mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}

biçimine gelir. Buradaki A_\mu, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.