De Gua teoremi

$O$ köşesinde bir dik açıya sahip dört yüzlü

Adını Fransız matematikçi Jean Paul de Gua de Malves'den alan De Gua teoremi, Pisagor teoreminin üç boyutlu bir analojisidir.

Açıklama

Bir dört yüzlünün dik açılı bir köşesi varsa (bir küpün köşesi gibi), o zaman dik köşenin karşısındaki yüzün alanının karesi, diğer üç yüzün alanlarının karelerinin toplamına eşittir.

$A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_{\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$

Genellemeler

Pisagor teoremi ve de Gua teoremi dik köşe açılı n-simpleks (n = 2, 3) hakkındaki genel bir teoremin özel durumlardır. Bu da Donald R. Conant ve William A. Beyer'in daha genel bir teoreminin özel bir durumudur ve aşağıdaki gibi ifade edilebilir.

U, $\mathbb {R} ^{n}$'nin ($k\leq n$ olmak üzere) k-boyutlu afin alt uzayının ölçülebilir bir alt kümesi olsun. Tam olarak k elemanlı herhangi bir $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ alt kümesi için, $U_{I}$ U'nun $e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}$ doğrusal açıklığı üzerine ortogonal izdüşümü olsun, burada $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ ve $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$için standart taban (doğal taban)dır. Sonra,

${\mbox{vol}}_{k}^{2}(U)=\sum _{I}{\mbox{vol}}_{k}^{2}(U_{I}),$

burada ${\mbox{vol}}_{k}(U)$ U'nun k-boyutlu hacmi ve toplam k elementli tüm $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ alt kümeler üzerindedir.

De Gua'nın teoremi ve dik köşe açılı n-simpliklere genellemesi (yukarıda), k = n-1 ve U’nun koordinat eksenlerinde köşeleri olan $\mathbb {R} ^{n}$'de bir (n−1)-simpleks olduğu özel duruma karşılık gelir. Örneğin, n = 3, k = 2 ve U $\mathbb {R} ^{3}$içinde A, B ve C köşeleri sırasıyla $x_{1}$, $x_{2}$ ve $x_{3}$ eksenlerinde yer alan $\triangle ABC$ üçgenidir. $\{1,2,3\}$'ün tam olarak 2 elemanlı alt kümeleri $I$, $\{2,3\}$, $\{1,3\}$ ve $\{1,2\}$'dir. Tanım olarak, $U_{\{2,3\}}$ $U=\triangle ABC$'nin $x_{2}x_{3}$-düzleminde ortogonal izdüşümüdür, yani $U_{\{2,3\}}$ köşeleri O, B ve C olan $\triangle OBC$ üçgenidir, burada O '$\mathbb {R} ^{3}$'ün orjinidir. Benzer şekilde, $U_{\{1,3\}}=\triangle AOC$ ve $U_{\{1,2\}}=\triangle ABO$ olup, Conant-Beyer teoremi aşağıdaki gibi ifade edilir;

${\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABC)={\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle OBC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle AOC)+{\mbox{vol}}_{2}^{2}(\triangle ABO),$

bu ise de Gua teoremidir.

De Gua teoreminin dik köşe açılı n-simplekslere genelleştirilmesi de Cayley-Menger determinat formülünün özel bir durumu olarak elde edilebilir.

Tarihçe

Jean Paul de Gua de Malves (1713-1785), bu teoremi 1783'te yayınladı, ancak aynı zamanda teoremin biraz daha genel bir versiyonu başka bir Fransız matematikçi Charles de Tinseau d'Amondans (1746-1818) tarafından da yayınlandı. Ancak teorem, Johann Faulhaber (1580-1635) ve René Descartes (1596-1650) tarafından çok daha önce biliniyordu.

Teoremin İspatı

İspat 1

Bir köşesi dik açılı olan bir dört yüzlü verilsin. Dik açılı köşeye dokunan üç yüzün alanları $A_{1},A_{2},A_{3}$ ve dik açılı köşenin karşısındaki "hipotenüs yüzü" alanı $H$ şeklinde etiketlensin, De Gua teoremi aşağıdaki eşitliği ifade etmektedir:

$H^{2}=(A_{1})^{2}+(A_{2})^{2}+(A_{3})^{2}$.

Bu ispatta Heron formülünü kullanacağız. Heron formülü, bir üçgenin alanını kenar uzunlukları cinsinden verir. Kenarları $a,b,c$ ve yarı çevresi $s={\frac {1}{2}}(a+b+c)$ olan bir üçgenin alanı aşağıdaki şekilde bulunur:

$A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$.

De Gua teoremi bağlamında, dört yüzlünün altı bacağı, $l_{1},l_{2},l_{3}$ ve $h_{1},h_{2},h_{3}$ şeklinde etiketlensin. Burada $l_{i}$, dik açılı köşeden çıkan bacaklar ve $h_{i}$ ise hipotenüs yüzünün üç kenarıdır.

Dik açılı köşeye temas eden üç yüzün alanları sırasıyla;

$A_{3}={\frac {1}{2}}l_{1}\cdot l_{2},\quad A_{1}={\frac {1}{2}}l_{2}\cdot l_{3},\quad A_{2}={\frac {1}{2}}l_{3}\cdot l_{1}.$'dir.

Heron formülünü kullanarak hipotenüs yüzünün alanı aşağıdaki şekilde hesaplanır:

$H={\frac {1}{4}}{\sqrt {(h_{1}+h_{2}+h_{3})(h_{1}+h_{2}-h_{3})(h_{2}+h_{3}-h_{1})(h_{3}+h_{1}-h_{2})}}$.

Bunu bazı cebirsel işlemlerle aşağıdaki şekilde genişletebiliriz.

$H^{2}={\frac {1}{16}}\left(2h_{1}^{2}h_{3}^{2}+2h_{2}^{2}h_{3}^{2}+2h_{1}^{2}h_{2}^{2}-h_{1}^{4}-h_{2}^{4}-h_{3}^{4}\right)$.

Şimdi, Pisagor teoremini kullanarak elde edebileceğimiz uzunluklar,

$h_{1}^{2}=l_{2}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{2}^{2}=l_{1}^{2}+l_{3}^{2},\quad h_{3}^{2}=l_{1}^{2}+l_{2}^{2}$ olarak hesaplanır.

Ve böylece terimleri yerine koyup sadeleştirerek aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

$H^{2}={\frac {1}{4}}\left(l_{1}^{2}l_{2}^{2}+l_{3}^{2}l_{2}^{2}+l_{1}^{2}l_{3}^{2}\right)$

ve teorem kanıtlanmış olur.

İspat 2

OA, OB, OC kenarlarının ilgili uzunlukları a, b, c olsun.

Dört yüzlü tarafından kesilen şeklin iç hacmi, abc/6 = c/3 $A_{\color {blue}ABO}$ = b/3$A_{\color {green}ACO}$ = a/3 $A_{\color {red}BCO}$ aynı zamanda h, ABC yüzü ile ilişkili yüksekliği göstermek üzere h/3 $A_{ABC}$'ye eşittir.

$\scriptstyle {\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}$ vektörü gibi ABC düzlemine normaldir, bu yükseklik $\scriptstyle h={<{\overrightarrow {OA}}|{\overrightarrow {n}}> \over ||{\overrightarrow {n}}||}$ ile gösterilir.

Dolayısıyla, hacimleri eşitleyerek: ${\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}A_{ABC}$. Ve basitleştirerek $4A_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}$'ye yani istenen formüle ulaşılır.

Kaynakça

• Eric W. Weisstein, de Gua's theorem (MathWorld)
• Sergio A. Alvarez: Note on an n-dimensional Pythagorean theorem 2 Ekim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., Carnegie Mellon University.
• De Gua's Theorem, Pythagorean theorem in 3-D 3 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. - Graphical illustration and related properties of the tetrahedron.

Konuyla ilgili yayınlar

• Kheyfits, Alexander (2004). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The College Mathematics Journal. Mathematical Association of America. 35 (5): 385-388.  Proof of de Gua's theorem and of generalizations to arbitrary tetrahedra and to pyramids.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "The Theorem of Cosines for Pyramids". The Mathematical Intelligencer. SpringerLink.  Application of de Gua's theorem for proving a special case of Heron's formula.
• Rasul A. Khan, (2013), The cosine rule in three dimensions and de Gua's theorem, The Mathematical Gazette, Volume 97, Issue 539, ss. 281-284, https://doi.org/10.1017/S0025557200005945, makale
• Charles Frohman, (2010), The Full Pythagorean Theorem, s. 3, Makale 26 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Magdalini Kokkaliari, (2013), The Pythagoras' Theorem: Is the Methuselah theorem still alive?, Makale