D'Agostino'nun K-kare sınaması

İstatistik bilim dalında D'Agostino'nun K² sınaması normal dağılımdan ayrılmayı ölçmek için kullanılan bir uygulama iyiliği ölçüsüdür. Örneklem basıklık ve çarpıklık ölçülerinin dönüşümlerinden elde edilmiştir. K² istatistiği şöyle elde edilir:

n değerinin gözlem sayısı ve böylelikle genellikle serbestlik derecesi olduğu bilinmektedir. Örneklem çarpıklık ölçüsü, ${\sqrt {b_{1}}}$, şöyle tanımlanır:

${\sqrt {b_{1}}}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\mu _{3}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}$

Örneklem basıklık ölçüsü, ${\sqrt {b_{2}}}$ ise şöyle tanimlanır:

$b_{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\mu _{4}}{\left(\sigma ^{2}\right)^{2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}$

Burada ${\bar {x}}$ örneklem ortalaması, σ² ikinci merkezsel moment veya varyans ve sırasiyla μ₃ ve μ₄ üçüncü ve dördüncü merkezsel moment lerdir.

Dönüştürülmüş çarpıklık

Önce, çarpıklık ölçüsü ${\sqrt {b_{1}}}$ 'nin bir dönüşümü olan

$Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)$

hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$Y={\sqrt {b_{1}}}\cdot {\sqrt {\frac {(n+1)(n+3)}{6(n-2)}}}$

$\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)={\frac {3(n^{2}+27n-70)(n+1)(n+3)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}$

$W^{2}=-1+{\sqrt {2(\beta _{2}\left({\sqrt {b_{1}}}\right)-1)}}$

$\delta =1/{\sqrt {ln(W)}}$

$\alpha ={\sqrt {\frac {2}{W^{2}-1}}}$

$Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)=\delta ln\left(Y/\alpha +{\sqrt {(Y/\alpha )^{2}+1}}\right)$

Dönüştürülmüş Basıklık

Sonra, basıklık ölçüsü olan $b_{2}$ 'in bir dönüşümü olan $Z\left(b_{2}\right)$ hesaplanır. Verinin normal dağılım gösterdiğine dair sıfır hipotez geçerli ise, bu ifade de yaklaşık olarak normal dağılım gösterir:

$E\left(b_{2}\right)={\frac {3(n-1)}{n+1}}$

$\sigma _{b_{2}}^{2}={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}}$

$x={\frac {b_{2}-E\left(b_{2}\right)}{\sigma _{b_{2}}}}$

Bundan sonra ise, basıklık ifadesinin çaprazlığı bulunur:

${\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}}$

$A=6+{\frac {8}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}\left[{\frac {2}{\sqrt {\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}+{\sqrt {1+{\frac {4}{\beta _{1}\left(b_{2}\right)}}}}\right]$

$Z\left(b_{2}\right)=\left(\left(1-{\frac {2}{9A}}\right)-{\sqrt[{3}]{\frac {1-2/A}{1+x{\sqrt {2/(A-4)}}}}}\right){\sqrt {\frac {9A}{2}}}$

İçerikli K² istatistiği

Şimdi, bu $Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)$ ile $Z\left(b_{2}\right)$ ifadelerini birleştirip normallik sınaması için D'Agustino'nun sinama istatistigi şöyle tanımlanır:

$K^{2}=\left(Z\left({\sqrt {b_{1}}}\right)\right)^{2}+\left(Z\left(b_{2}\right)\right)^{2}$

$K^{2}$ istatistiği yaklaşık olarak serbestlik derecesi 2 olan bir $\chi ^{2}$ ile dağılım gösterir.

İçsel kaynaklar

• Normallik sınamaları
• Kolmogorov-Smirnov sınaması
• Shapiro-Wilk sınaması
• Smirnov-Cramér-von-Mises sınaması
• Jarque-Bera sınaması

Referanslar

• D'Agostino, Ralph B., Albert Belanger, and Ralph B. D'Agostino, Jr. "A Suggestion for Using Powerful and Informative Tests of Normality", The American Statistician, Cilt. 44, No. 4. (Kasım., 1990), say. 316-321.