beta fonksiyonunun kontür çizimi Pozitif x ve y degerleri için beta fonksiyonunun bir çizimi Matematik 'te, beta fonksiyonu , Euler integrali 'nin ilk türüdür,
Re
(
x
)
,
Re
(
y
)
>
0.
{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}
için bu özel fonksiyon 'unun tanımı
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
1
t
x
−
1
(
1
−
t
)
y
−
1
d
t
{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
Jacques Binet tarafından öğrencileri Euler ve Legendre 'ye adandı.
Özellikler Beta fonksiyonu simetrik 'tir, yani
B
(
x
,
y
)
=
B
(
y
,
x
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
yerine konulan Birçok diğer formlarıda vardır:
B
(
x
)
=
Γ
(
x
)
2
Γ
(
2
x
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x)={\dfrac {\Gamma (x)^{2}}{\Gamma (2x)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
B
(
x
,
y
)
=
2
∫
0
π
/
2
(
sin
θ
)
2
x
−
1
(
cos
θ
)
2
y
−
1
d
θ
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∫
0
∞
t
x
−
1
(
1
+
t
)
x
+
y
d
t
,
Re
(
x
)
>
0
,
Re
(
y
)
>
0
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\textrm {Re}}(x)>0,\ {\textrm {Re}}(y)>0\!}
B
(
x
,
y
)
=
∑
n
=
0
∞
(
n
−
y
n
)
x
+
n
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
B
(
x
,
y
)
=
x
+
y
x
y
∏
n
=
1
∞
(
1
+
x
y
n
(
x
+
y
+
n
)
)
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
B
(
x
,
y
)
⋅
B
(
x
+
y
,
1
−
y
)
=
π
x
sin
(
π
y
)
,
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
gama fonksiyonu 'dur.
özellikle eşitlikteki ikinci gösterimden elde edilen buradaki eşitliklerden bazıları, mesela trigonometrik formül,
Γ
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}
B
(
1
/
2
)
=
π
{\displaystyle \mathrm {B} (1/2)=\pi }
Kartezyen Koordinatlar 'daki n-küre hacminin türevleri 'ne uygulanabilir .
Sadece tam sayılar için yazılan gama fonksiyonu faktöriyel 'dir, beta fonksiyonu binomial katsayılar endeksi tarafından tanımlanabilir:
(
n
k
)
=
1
(
n
+
1
)
B
(
n
−
k
+
1
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.}
Ayrıca her
n
{\displaystyle n}
B
{\displaystyle \mathrm {B} \,}
k
{\displaystyle k}
(
n
k
)
=
(
−
1
)
n
n
!
sin
(
π
k
)
π
∏
i
=
0
n
(
k
−
i
)
.
{\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{n}n!{\cfrac {\sin(\pi k)}{\pi \prod _{i=0}^{n}(k-i)}}.}
İlk kez Gabriele Veneziano , sicim teorisi 'deki,genlik saçılması varsayımında beta fonksiyonunu kullandı.
Beta ve Gama fonksiyonları arasındaki ilişki Beta fonksiyonunun türetilen iki faktöriyel yazılarak integral gösterimi;
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
∞
e
−
u
u
x
−
1
d
u
∫
0
∞
e
−
v
v
y
−
1
d
v
.
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int _{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv.\!}
Şimdi,
u
≡
a
2
{\displaystyle u\equiv a^{2}}
v
≡
b
2
{\displaystyle v\equiv b^{2}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
4
∫
0
∞
e
−
a
2
a
2
x
−
1
d
a
∫
0
∞
e
−
b
2
b
2
y
−
1
d
b
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
e
−
(
a
2
+
b
2
)
|
a
|
2
x
−
1
|
b
|
2
y
−
1
d
a
d
b
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=4\int _{0}^{\infty }\ e^{-a^{2}}a^{2x-1}\mathrm {d} a\int _{0}^{\infty }\ e^{-b^{2}}b^{2y-1}\,db\\&{}=\int _{-\infty }^{\infty }\ \int _{-\infty }^{\infty }\ e^{-(a^{2}+b^{2})}|a|^{2x-1}|b|^{2y-1}\,da\,db.\end{aligned}}\!}
Kutupsal koordinatlara dönüşümü
a
=
r
cos
θ
{\displaystyle a=r\cos \theta }
b
=
r
sin
θ
{\displaystyle b=r\sin \theta }
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
∫
0
2
π
∫
0
∞
e
−
r
2
|
r
cos
θ
|
2
x
−
1
|
r
sin
θ
|
2
y
−
1
r
d
r
d
θ
=
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
x
+
2
y
−
2
r
d
r
∫
0
2
π
|
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
|
d
θ
=
1
2
∫
0
∞
e
−
r
2
r
2
(
x
+
y
−
1
)
d
(
r
2
)
4
∫
0
π
/
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
2
∫
0
π
/
2
(
cos
θ
)
2
x
−
1
(
sin
θ
)
2
y
−
1
d
θ
=
Γ
(
x
+
y
)
B
(
x
,
y
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&{}=\int _{0}^{2\pi }\ \int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}|r\cos \theta |^{2x-1}|r\sin \theta |^{2y-1}r\,dr\,d\theta \\&{}=\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2x+2y-2}r\,dr\int _{0}^{2\pi }\ |(\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}|\,d\theta \\&{}={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\ e^{-r^{2}}r^{2(x+y-1)}\,d(r^{2})4\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)2\int _{0}^{\pi /2}\ (\cos \theta )^{2x-1}(\sin \theta )^{2y-1}\,d\theta \\&{}=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).\end{aligned}}}
Dolayısıyla,beta fonksiyonunun kullanılan formu ve değişkenleri yeniden:
B
(
x
,
y
)
=
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
Γ
(
x
+
y
)
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}
Diğer bir türetim,bir özel durumu için konvolüsyon integrali alınırsa
f
(
u
)
:=
e
−
u
u
x
−
1
1
R
+
{\displaystyle f(u):=e^{-u}u^{x-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}
g
(
u
)
:=
e
−
u
u
y
−
1
1
R
+
{\displaystyle g(u):=e^{-u}u^{y-1}1_{\mathbb {R} _{+}}}
Γ
(
x
)
Γ
(
y
)
=
(
∫
R
f
(
u
)
d
u
)
(
∫
R
g
(
u
)
d
u
)
=
∫
R
(
f
∗
g
)
(
u
)
d
u
=
B
(
x
,
y
)
Γ
(
x
+
y
)
{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\left(\int _{\mathbb {R} }f(u)du\right)\left(\int _{\mathbb {R} }g(u)du\right)=\int _{\mathbb {R} }(f*g)(u)du=\mathrm {B} (x,y)\,\Gamma (x+y)}
Türevleri türevleri sırasıyla:
∂
∂
x
B
(
x
,
y
)
=
B
(
x
,
y
)
(
Γ
′
(
x
)
Γ
(
x
)
−
Γ
′
(
x
+
y
)
Γ
(
x
+
y
)
)
=
B
(
x
,
y
)
(
ψ
(
x
)
−
ψ
(
x
+
y
)
)
{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
burada
ψ
(
x
)
{\displaystyle \ \psi (x)}
digama fonksiyonu 'dur.
Integralleri Nörlund-Rice integral beta fonksiyonunun kontür integral içeren şeklidir .
Yaklaşıklıklar Asimptotik formül,Stirling yaklaşıklığı 'nı verir.
x büyük y büyük ise,
B
(
x
,
y
)
∼
2
π
x
x
−
1
2
y
y
−
1
2
(
x
+
y
)
x
+
y
−
1
2
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
diğer bir durumx büyük ve y sabit ise,
B
(
x
,
y
)
∼
Γ
(
y
)
x
−
y
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}
Tamamlanmamış beta fonksiyonu Tamamlanmamış demek integralin bir sinirinin kapali(burada 0dan x'a) diğer sinirinin açik olmasi demektir.
Beta fonksiyonunun bir genellemesi Tamamlanmamış beta fonksiyonu 'dur.
Tanımı
B
(
x
;
a
,
b
)
=
∫
0
x
t
a
−
1
(
1
−
t
)
b
−
1
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int _{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
x = 1, için tamamlanmamış beta fonksiyonu ile tamamlanmış beta fonksiyonu çakışır.Bu ilişki gama fonksiyonu ve genel şekli tamamlanmamış gama fonksiyonu arasındada vardır..
düzenlenmiş,tamamlanmamış beta fonksiyonu (veya kısaca düzenlenmiş beta fonksiyonu ) şeklinde tanımlanan bu iki fonksiyonun terimleri:
I
x
(
a
,
b
)
=
B
(
x
;
a
,
b
)
B
(
a
,
b
)
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
a ve b tam sayı değerleri için bilinen integral dışında ( parçalanmış integrasyon kullanılabilir):
I
x
(
a
,
b
)
=
∑
j
=
a
a
+
b
−
1
(
a
+
b
−
1
)
!
j
!
(
a
+
b
−
1
−
j
)
!
x
j
(
1
−
x
)
a
+
b
−
1
−
j
.
{\displaystyle I_{x}(a,b)=\sum _{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
Binom dağılımı 'nın , bir rastgele değişkeni X " başarı olasılığı" p örnekleme boyutu n olmak üzere yığılımlı yoğunluk fonksiyonu için değerlendirmede; Düzenlenmiş- tamamlanmamış beta fonksiyonu kullanılabilir
ve burada :
F
(
k
;
n
,
p
)
=
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
k
,
k
+
1
)
.
{\displaystyle F(k;n,p)=\Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-k,k+1).}
Özellikler
I
0
(
a
,
b
)
=
0
{\displaystyle I_{0}(a,b)=0\,}
I
1
(
a
,
b
)
=
1
{\displaystyle I_{1}(a,b)=1\,}
I
x
(
a
,
b
)
=
1
−
I
1
−
x
(
b
,
a
)
{\displaystyle I_{x}(a,b)=1-I_{1-x}(b,a)\,}
(Listede diğer birçok özellikler olabilir.)
Ayrıca bakınız Kaynakça Şablon:Dlmf M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.(See §6.2, 6.6, and 26.5)
W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C(See section 6.4)
Beta fonksiyonu , PlanetMath.org .Arbitrarily accurate values can be obtained from The Wolfram Functions Site , Evaluate Beta Regularized Incomplete beta Dış bağlantılar 
