Barrow eşitsizliği

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Barrow eşitsizliği

Geometride Barrow eşitsizliği, bir üçgen içindeki rastgele bir nokta alındığında, bu nokta ile üçgenin köşeleri ve üçgenin kenarlarındaki belirli noktalar arasındaki mesafeleri ilişkilendiren bir eşitsizliktir. Adını Amerikalı bir matematikçi olan David Francis Barrow'dan almıştır.

Açıklama[değiştir | kaynağı değiştir]

, üçgeninin içinde rastgele bir nokta olsun. ve 'den, , ve 'yi, , ve 'nin açıortaylarının sırasıyla , , kenarlarıyla kesiştiği noktalar olarak tanımlayın. Ardından Barrow eşitsizliği şunu belirtir:[1]

Eşitlik sadece eşkenar üçgen durumunda sağlanır ve bu durumda üçgenin merkezidir.[1]

İspat[değiştir | kaynağı değiştir]

, , , , , , , ve olsun. İspat edilmesi gereken ifade olur. Aşağıdaki özdeşlikleri çıkarmak kolaydır;

,
,
.

Aritmetik Ortalama-Geometrik Ortalama eşitsizliği ve yukarıdaki sonuçla, bu şu anlama gelir:

İstenen ifade ispatlanmış olur.

Genelleştirme[değiştir | kaynağı değiştir]

Barrow eşitsizliği dışbükey çokgenlere kadar genişletilebilir. Köşeleri olan dışbükey bir çokgen için çokgenin içindeki rastgele bir nokta ve , açıortayları ile ilişkili çokgen kenarlarının kesişimleri olsun, ardından aşağıdaki eşitsizlik geçerlidir:[2][3]

Burada sekant fonksiyonunu belirtir. Üçgen durumu, yani için olduğundan eşitsizlik, Barrow eşitsizliğine dönüşür.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Barrow, Erdös-Mordell eşitsizliğini güçlendirir

Barrow eşitsizliği, , ve 'nin noktasından üçgenin kenarlarına olan üç uzaklık ile değiştirilmesi haricinde aynı biçime sahip olan Erdős-Mordell eşitsizliğini güçlendirir. Adını David Francis Barrow'dan almıştır. Barrow'un bu eşitsizliğin kanıtı, 1937'de, Erdős-Mordell eşitsizliğini kanıtlayan American Mathematical Monthly dergisinde ortaya atılan bir probleme çözüm olarak yayınlandı.[1] 1961 gibi erken bir tarihte "Barrow eşitsizliği" olarak adlandırıldı.[4]

Daha basit bir kanıt daha sonra Louis J. Mordell tarafından verildi.[5]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ a b c Erdős, Paul; Mordell, L. J.; Barrow, David F. (1937), "Solution to problem 3740", American Mathematical Monthly, 44 (4), ss. 252-254, doi:10.2307/2300713, JSTOR 2300713 .
  2. ^ M. Dinca: "A Simple Proof of the Erdös-Mordell Inequality". In: Articole si Note Matematice, 2009
  3. ^ Hans-Christof Lenhard: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". In: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, doi:10.1007/BF01650566 (Almanca).
  4. ^ Oppenheim, A. (1961), "New inequalities for a triangle and an internal point", Annali di Matematica Pura ed Applicata, cilt 53, ss. 157-163, doi:10.1007/BF02417793, MR 0124774 
  5. ^ Mordell, L. J. (1962), "On geometric problems of Erdös and Oppenheim", The Mathematical Gazette, 46 (357), ss. 213-215, JSTOR 3614019 .

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]

İlave okumalar[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Malesevic, Branko & Petrovic, Maja. (2014). Barrow's Inequality and Signed Angle Bisectors. Journal of Mathematical Inequalities. 10.7153/jmi-08-40., Makale veya Makale
  • Liu, Jian. (2016). Refinements of the Erdös-Mordell inequality, Barrow’s inequality, and Oppenheim’s inequality. Journal of Inequalities and Applications. 2016. 10.1186/s13660-015-0947-2., Makale
  • Liu, Jian. (2019). New Refinements of the Erdös–Mordell Inequality and Barrow’s Inequality, https://doi.org/10.3390/math7080726, Makale