Vikipedi, özgür ansiklopedi
Matematik 'teki Dirichlet beta fonksiyonu (diğer bir deyişle Catalan beta fonksiyonu ) özel fonksiyon 'dur, aslında modifiye edilerek parantezlenmiş Riemann zeta fonksiyonu 'nundan ibarettir. özel bir şekli Dirichlet L-fonksiyon 'udur.
Tanım
Dirichlet beta fonksiyonu'nun tanımı
β
(
s
)
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
+
1
)
s
,
{\displaystyle \beta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}
veya eşdeğeri,
β
(
s
)
=
1
Γ
(
s
)
∫
0
∞
x
s
−
1
e
−
x
1
+
e
−
2
x
d
x
.
{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx.}
Re(s ) > 0 olduğu her durum için geçerlidir.
Alternatif olarak, aşağıdaki Hurwitz zeta fonksiyonu 'nun kompleks değerleri için s -plan'da yapılan tanım
β
(
s
)
=
4
−
s
(
ζ
(
s
,
1
4
)
−
ζ
(
s
,
3
4
)
)
.
{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}
Diğer bir eşdeğer tanımlama, Lerch transcendent terimleri içerisindedir:
β
(
s
)
=
2
−
s
Φ
(
−
1
,
s
,
1
2
)
,
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}
s 'nin bütün karmaşık değerleri için bu bir kez daha geçerlidir.
Fonksiyonal denklem
fonksiyonal denklem beta fonksiyonunun açılımı kompleks düzlem 'in sol tarafında Re(s )<0 için,
β
(
s
)
=
(
π
2
)
s
−
1
Γ
(
1
−
s
)
cos
π
s
2
β
(
1
−
s
)
{\displaystyle \beta (s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{s-1}\Gamma (1-s)\cos {\frac {\pi s}{2}}\,\beta (1-s)}
olarak verilir.
Burada Γ(s ) Gama fonksiyonu 'dur.
Özel değerler
Bazı tanınmış özel değerler:
β
(
0
)
=
1
2
,
{\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}
β
(
1
)
=
tan
−
1
(
1
)
=
π
4
,
{\displaystyle \beta (1)\;=\;\tan ^{-1}(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}
β
(
2
)
=
G
,
{\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}
burada G Catalan sabiti 'dir., ve
β
(
3
)
=
π
3
32
,
{\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}
β
(
4
)
=
1
768
(
ψ
3
(
1
4
)
−
8
π
4
)
,
{\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}(\psi _{3}({\frac {1}{4}})-8\pi ^{4}),}
β
(
5
)
=
5
π
5
1536
,
{\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}
β
(
7
)
=
61
π
7
184320
,
{\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}
burada
ψ
3
(
1
/
4
)
{\displaystyle \psi _{3}(1/4)}
poligama fonksiyonu 'nun sayısal bir değeridir.
her pozitif k tam sayısı için genelleştirirsek:
β
(
2
k
+
1
)
=
(
−
1
)
k
E
2
k
π
2
k
+
1
4
k
+
1
(
2
k
!
)
,
{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)},}
Burada
E
n
{\displaystyle \!\ E_{n}}
olarak gösterlien Euler sayısı 'dır..
k ≥ 0,
için açılımlanmış şekli:
β
(
−
k
)
=
E
k
2
.
{\displaystyle \beta (-k)={{E_{k}} \over {2}}.}
Dolayısıyla bağıntının bütün negatif integral değerleri için fonksiyon tuhaf bir şekilde gözden kaybolur.
Ayrıca bakınız
Kaynakça