Vikipedi, özgür ansiklopedi
Matematik 'te, Bell serisi formal kuvvet serisi aritmetik fonksiyon özellikleri çalışmasında kullanılır. Bell serisi Eric Temple Bell tarafından geliştirildi.
Verilen aritmetik fonksiyon
f
{\displaystyle f}
ve bir asal
p
{\displaystyle p}
, ile formel kuvvet serisi
f
p
(
x
)
{\displaystyle f_{p}(x)}
, Bell serisi
f
{\displaystyle f}
modül
p
{\displaystyle p}
olarak adlandırılır:
f
p
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
p
n
)
x
n
.
{\displaystyle f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.}
iki çarpım fonksiyonu olarak gösterilebilir,eşdeğeri Bell serisidir; Bu bazen teklik teoremi olarak adlandırılır. Verilen çarpım fonksiyonu
f
{\displaystyle f}
ve
g
{\displaystyle g}
,dir ama sadece ve sadece
f
=
g
{\displaystyle f=g}
ise;
bütün
p
{\displaystyle p}
asalları için
f
p
(
x
)
=
g
p
(
x
)
{\displaystyle f_{p}(x)=g_{p}(x)}
iki seri çarpımı ( çarpım teoremidir. ) ; herhangi iki aritmetik fonksiyon
f
{\displaystyle f}
ve
g
{\displaystyle g}
,
h
=
f
∗
g
{\displaystyle h=f*g}
yazılırsa buna Dirichlet konvolusyon teoremi denir. her asal için
p
{\displaystyle p}
için,:
h
p
(
x
)
=
f
p
(
x
)
g
p
(
x
)
.
{\displaystyle h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,}
Özelikle, bir Dirichlet ters önemsiz Bell serisi tarafından bulunur .
Eğer
f
{\displaystyle f}
'tamamen çarpımsal ise;
f
p
(
x
)
=
1
1
−
f
(
p
)
x
.
{\displaystyle f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.}
Örnekler
Bilinen bazı aritmetik fonksiyonların,bir tablo halinde ifadesi:
Moebius fonksiyonu
μ
{\displaystyle \mu }
,
μ
p
(
x
)
=
1
−
x
.
{\displaystyle \mu _{p}(x)=1-x.}
'dır
Euler Totient
ϕ
{\displaystyle \phi }
ϕ
p
(
x
)
=
1
−
x
1
−
p
x
{\displaystyle \phi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}}
'dır.
çarpım eşdeğerliği Dirichlet konvolusyon
δ
{\displaystyle \delta }
δ
p
(
x
)
=
1
{\displaystyle \delta _{p}(x)=1}
'dır.
Liouville fonksiyonu
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
p
(
x
)
=
1
1
+
x
{\displaystyle \lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}}
'dır
kuvvet fonksiyonu Idk
(
Id
k
)
p
(
x
)
=
1
1
−
p
k
x
{\displaystyle ({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}}
'dır.burada, Idk tam çarpım fonksiyonu
Id
k
(
n
)
=
n
k
{\displaystyle \operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}}
'dır
bölme fonksiyonu
σ
k
{\displaystyle \sigma _{k}}
(
σ
k
)
p
(
x
)
=
1
1
−
(
1
+
p
k
)
x
+
p
k
x
2
{\displaystyle (\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}}
'dır.
Kaynakça
Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, MR0434929, ISBN 978-0-387-90163-3