Merkezsel moment: Revizyonlar arasındaki fark
[kontrol edilmiş revizyon] | [kontrol edilmiş revizyon] |
k Bot: Artık Vikiveri tarafından d:q1088747 sayfası üzerinden sağlanan 9 vikilerarası bağlantı taşınıyor |
k uzantı değişikliği |
||
1. satır: | 1. satır: | ||
[[Olasılık kuramı]] ve [[istatistik]] bilimsel dallarında bir reel-değerli [[rassal değişken]] için ''k'' |
[[Olasılık kuramı]] ve [[istatistik]] bilimsel dallarında bir reel-değerli [[rassal değişken]] için ''k''-ıncı [[ortalama]] etrafındaki [[moment (matematik)|moment]], E [[beklenen değer]] operatörü olursa |
||
: μ<sub>''k''</sub> := E[(''X'' - E[''X''])<sup>''k''</sup>] |
: μ<sub>''k''</sub> := E[(''X'' - E[''X''])<sup>''k''</sup>] |
||
miktarı olarak tanımlanır. [[Olasılık yoğunluk fonksiyonu]] ''f''(''x'') olan bir sürekli tekdeğişirli [[olasılık dağılımı]] için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir: |
miktarı olarak tanımlanır. [[Olasılık yoğunluk fonksiyonu]] ''f''(''x'') olan bir sürekli tekdeğişirli [[olasılık dağılımı]] için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir: |
Sayfanın 21.42, 28 Şubat 2016 tarihindeki hâli
Olasılık kuramı ve istatistik bilimsel dallarında bir reel-değerli rassal değişken için k-ıncı ortalama etrafındaki moment, E beklenen değer operatörü olursa
- μk := E[(X - E[X])k]
miktarı olarak tanımlanır. Olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x) olan bir sürekli tekdeğişirli olasılık dağılımı için ortalama μ etrafındaki moment şöyle ifade edilir:
Fizikçiler kullandıkları notasyonda burada verilen E(X) (Xin beklenen değeri) yerine terimini tercih etmektedirler.
Eğer rassal değişken için bir ortalama bulunmuyorsa (örneğin Cauchy dağılımı gösteren bir rassal değişken için) o halde merkezsel momentler de anlamsızdır.
İlk birkaç merkezsel moment için biraz sezgiye dayanan açıklamalar şöyle verilebilir:
- Birinci merkezsel moment sıfırdır.
- İkinci ortalama etrafındaki moment varyans ismini alır ve σ2 olarak ifade edilir; burada σ standart sapmayı temsil eder.
- Ortalama etrafındaki üçüncü ve dördüncü momentler standardize edilmiş momentlerin tanımlanmasında kullanılırlar ve bunlar ise ayni sırayla çarpıklık ve basıklık tanımlaması için kullanılırlar.
Özellikleri
- ninci merkezsel moment çevirme operasyonu ile değiştirilemez; herhangi bir rassal değişken olan X için ve bir sabit olan c için
olur.
- Her n için, ninci merkezsel moment n dereceli homojen dir; yani
- Yalnız n ≤ 3 için geçerli olan bir özellik, birbirinden bağımsız olan X ve Y rassal değişkenleri için toplanabilirlilik özelliğidir:
Kümülant adı verilen, bir diğer fonksiyon türü de, ninci merkezsel momentin sahip olduğu çevirme operasyonu ile değişmeme ve homojenlik özelliklerini taşır. Fakat, merkezsel momentin aksine, bu fonksiyon türü n ≥ 4 olsa bile toplanabilirlilik özelliği gösterir. Bu fonksiyon türü
- κn(X).
olarak ifade edilen ninci kümülantdır.
- n = 1, için ninci kümülant, sadece beklenen değerdir.
- n = ya 2 veya 3 ise, ninci kümülant sadece ninci merkezsel moment olur.
- n ≥ 4, ise ninci kümülant ise bir ilk sifir etrafindaki n momentin ninci-derecede monotonik polinomu olurlar ve daha kolaylıkla ilk n merkezsel momentlerin n dereceli polinomları olurlar.
Orijin etrafındaki momentlere ilişki
Bazen orijin etrafındaki momentleri ortalama etrafındaki momentlere değiştirmek daha uygun olabilir. Orijin etrafındaki ninci-derecede momenti ortalama etrafındaki momente değiştirmek için kullanılan genel denklem şudur:
Burada m dağılımın ortalaması olur. Orijin etrafındaki moment şöyle verilir:
halleri sırasıyla varyans, çarpıklık ve basıklık özellikleri ile ilişkili oldukları için önemlilerdir ve formülleri şöyle ifade edilir: