Yayıcı

Kuantum mekaniği ve Kuantum alan kuramı içinde yayıcı belirli bir zamanda bir yerden başka bir yere seyahat etmek ya da belirli bir enerji ve momentum ile seyahat için bir parçacığın olasılık genliği verir. Yayıcılar Feynman diyagramları iç hatları üzerinde sanal parçacık'ların katkısını temsil etmek üzere kullanılmaktadır. Ayrıca partikül uygun dalga operatörünün tersi olarak görülebilir ve bu nedenle sıklıkla Green fonksiyonları olarak adlandırılır.

Göreli olmayan yayıcılar

Göreli olmayan kuantum mekaniği yayıcısı daha sonraki bir zamanda başka bir mekânsal noktaya tek seferde tek bir mekansal noktadan seyahat için bir temel parçacık için genlik verir.Bu Schrödinger denklemi için bir Green fonksiyonu'dur. Bu sistem, bir Hamiltonyen $H$' e sahipse daha sonra uygun yayıcıyı karşılayan bir $K(x,t;x',t')$ fonksiyonu olduğu anlamına gelir.

$\left(H_{x}-i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)K(x,t;x',t')=-i\hbar \delta (x-x')\delta (t-t')$

Burada $H_{x}$ $x$ koordinatlar cinsinden yazılı Hamiltoniyeni gösterir ve $\delta (x)$ Dirac delta fonksiyonu'nu gösterir. Bu, aynı zamanda aşağıdaki gibi yazılabilir

$K(x,t;x',t')=\langle x|{\hat {U}}(t,t')|x'\rangle$

Burada ${\hat {U}}(t,t')$ için $t$ zamanındaki konumdan alarak sistemi $t'$ zamandaki konuma taşıyan birim zaman evrim operatörüdür.

Kuantum mekaniğindeki Yol İntegrali

Kuantum mekanik yayıcısı da Yol integrali kullanılarak bulunabilir

$K(x,t;x',t')=\int \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t}^{t'}L({\dot {q}},q,t)dt\right]D[q(t)]$

burada sınır koşulları yol integrali q(t)=x, q(t')=x' içerir.Burada $L$ Lagrangian sistemi temsil eder.

Serbest Parçacık yayıcısı ve Harmonik Osilatör

Zaman öteleme değişmeyen sistemi için,yayıcısı sadece (t-t') zaman farkına bağlıdır.belki böylece şu şekilde yeniden yazılabilir

$K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')$.

Tek boyutlu serbest parçacığın için Yayıcı sırt noktası yaklaşımı,yoluyla elde edilen aşırı bir ifade ile daha sonra ise

$K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}$.

Tek boyutlu harmonik osilatörün yayıcısı olduğu

$K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)$.

N-boyutlu bir durumda, yayıcı;

$K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t)$.

ürünü ile kolayca elde edilebilir.

Göreli Yayıcılar

Göreli kuantum mekaniği ve kuantum alan kuramı'nda Yayıcı Lorentz değişmezi'dir. için iki uzayzaman noktası arasındaki parçacık genliğini verir .

Skaler yayıcı

kuantum alan kuramında serbest (etkileşmeyen)Skaler Alan teorisi kullanılır, daha karmaşık teorilere gerekli kavramları göstermek için hizmet veren bir kullanışlı ve basit bir örnektir.Sıfır parçacıkların spinini açıklar. Skaler serbest alan teorisi için çok sayıda olası Yayıcılar vardır. Şimdi en yaygın olanları açıklayalım.

Konum uzayı

Klein–Gordon denklemi konum uzayı yayıcılarının Green fonksiyonu'dur.Bu karşıladığı fonksiyonların $G(x,y)$ olduğu anlamına gelir

$(\square _{x}^{2}+m^{2})G(x,y)=-\delta (x-y)$

burada:

• $x,y$ iki nokta arasında Minkowski uzay-zamanı'dır.
• $\square _{x}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}$ d'Alembertian operatorü hareket eden $x$ naktasının koordinatlarıdır.
• $\delta (x-y)$ Dirac delta fonksiyonu'dur.

(göreli kuantum alan kuramı hesabında,burada ışık hızı birim olarak kullanılır, $c$,1'dir.)

Burada 4-boyutlu Minkowski uzay-zamanı gözden kaçmamalıdır.Yayıcı için Fourier dönüşümü denklemi kullanılabilir, eldesi

$\,(-p^{2}+m^{2})G(p)=-1.$

Bu denklemin duyarlılığı dağılım tersine çevrilerek bulunabilir. $xf(x)=1$ belirtilerek denkleminin çözümü $f(x)=1/(x\pm i\epsilon )=1/x\pm i\pi \delta (x)$ idi.,bununla birlikte $\epsilon$ limit sıfırı işaret etmektedir.Aşağıda nedensellik kaynaklı işaretin gereksinmesinin doğru seçimi tartışılmaktadır.Bunun çözümü

$G(x,y)={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}\pm i\epsilon }}$

burada $p(x-y):=p_{0}(x^{0}-y^{0})-{\vec {p}}\cdot ({\vec {x}}-{\vec {y}})$ dört vektör iç çarpımıdır.

Yukarıda kontur integrasyon deformasyonu ifadesi içinde Yayıcı için farklı seçimde yollar var. kontür seçimi genellikle $p_{0}$ integral terimleri içinde ifade edilir.

integrandin iki kutbu var idi, burada değişik yayıcı yolları önlemek için çok farklı seçimler vardır. $p_{0}:=\pm {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}$

Nedensellik yayıcısı

Geciken Yayıcı:

Kontur iki kutbu üzerinde saat yönünde Gecikmeli Nedensellik yayıcısı gidişi sağlar. Eğer $x$ sıfır ise ve $y$ uzaysı(uzay ağırlıklı)(space-like)dır veya eğer $x^{0}<y^{0}$ (örneğin eğer $x$'ın geleceği $y$ ise).

limit eşdeğeri hesaplanan bu kontur seçimidir :

$G_{ret}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})-{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,y\prec x\\0&{\textrm {otherwise}}\end{matrix}}\right.$

Burada

$\tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}$

$x$ dan $y$ ye uygun zaman'dır ve $J_{1}$ bir Birinci türden Bessel fonksiyonu'dur. Bu bağıntının Minkowski uzay-zamanı için $y\prec x$ anlamı $y$ nedensel öncelikli $x$ dır. anlamı

$y^{0}<x^{0}$ ve $\tau _{xy}^{2}\geq 0$.

Burada ayrıca ifade içindeki terim skaler alan operatörükomutatör'ünün boşluk beklenen değeri olarak ifade edilebilir

$G_{ret}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0})$

burada $\Theta (x):=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{için}}&x\geq 0\\0&{\mbox{için}}&x<0\end{matrix}}\right.$

Heaviside basamak fonksiyonu'dur ve

$\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x)$

komutatör'dür.

İleri yayıcı:

Nedensellik ileri yayıcısı Her iki kutup altında saat yönünün tersine giden kontur verir. Burada $x$ sıfır ise ve $y$ uzaygibidir veya eğer $x^{0}>y^{0}$ ($y$,$x$)'ın geçmişi olmaktadır. bu kontür seçimi limit hesabı eşdeğeri:

$G_{adv}(x,y)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}&{\textrm {if}}\,x\prec y\\0&{\textrm {otherwise}}.\end{matrix}}\right.$

Bu ifade, ardından boşluk beklenen değeri serbest skalar alan komutatör'ü cinsinden ifade edilebilir. Bu durumda,

$G_{adv}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0}).$

Feynman yayıcısı

Feynman propagator with mass 0.2. Image borders are at x = ±2 and y = ±2

Feynman propagator with mass 2

Feynman propagator with mass 20

Feynman propagator with mass 200

Feynman propagatorSol kutup altında sağ kutup aşarak kontur verir.

sınırı hesaplanırken eşdeğer seçilen kontür şudur (see Huang p30):

$\ G_{F}(x,y)$	$\ =\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}$
	$\ =\left\{{\begin{matrix}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (s)+{\frac {m}{8\pi {\sqrt {s}}}}H_{1}^{(1)}(m{\sqrt {s}})&{\textrm {if}}\,s\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-s}}}}K_{1}(m{\sqrt {-s}})&{\textrm {if}}\,s<0.\end{matrix}}\right.$

Burada

$s:=(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}.$

Burada $x$ ve $y$ Minkowski uzay-zaman'da iki noktadır,ve üs içinde nokta bir dört vektör iç-çarpım'ıdır. $H_{1}^{(1)}$ ise bir Hankel fonksiyonu'dur ve $K_{1}$ is bir modifiye Bessel fonksiyonu'dur.

Bu ifade bosluk beklenen değeri, alan teorisi itibarıyla doğrudan elde edilebilir zaman sıralı serbest skaler alanın ürünü, yani,her alınan ürün uzay-zaman noktaları aynı zaman sıralıdır:

$\ G_{F}(x-y)$	$\ =i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle$
	$\ =i\langle 0|[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)]|0\rangle .$

Bu bağıntı Lorentz değişmezi'dir alan operatörleri komutu olduğu sürece ve birlikte başka bir zaman noktaları $x$ ve $y$ ile; bir uzaysı aralığı ile ayrılır. alanlar arasında tek parçacık momentumun durumlarına komple bir set eklemek için Lorentz kovaryant normalleştirmesi herzamanki türetmedir sonra nedensel zamanı sıralama veren $\Theta$ fonksiyonlarının kontur integral ile elde edilebileceğini gösteriyor Enerji ekseni boyunca integrand yukarıdaki gibi olduğu takdirde(dolayısıyla sonsuz sanal kısmı, gerçek off line kutup taşımak için).

Yayıcısı da kuantum teorisi yol integral formülasyonu kullanılarak elde edilebilir.

Momentum Uzay Yayıcısı

Pozisyon uzay yayıcıların Fourier dönüşümü Momentum uzay'daki yayıcılar gibi düşünülebilir. Böylece pozisyon uzay yayıcılar çok daha basit bir şekil alırlar.

entegrasyon kontur(yukarıya bakınız) uygunluğu hakkında bir hatırlatma anlaşılır olsa da genellikle açık bir$\epsilon$ terimi ile yazılır.Bu $\epsilon$ terimine (bkz. aşağıda) sınır şartları ve nedensellik dahildir. (aşağıya bakınız)

4-momentum $p$ için Momentum uzayda nedensel ve Feynman yayıcılar şunlardır:

${\tilde {G}}_{ret}(p)={\frac {1}{(p_{0}+i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}$

${\tilde {G}}_{adv}(p)={\frac {1}{(p_{0}-i\epsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}$

${\tilde {G}}_{F}(p)={\frac {1}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}.$

Işıktan daha hızlı?

Feynman yayıcısının ilk bakışta şaşırtıcı bazı özellikleri var. Özellikle, komütatör aksine, bu yayıcı spacelike aralıklarla hızlı bir şekilde düşer,,yayıcı ışık konisi dışında sıfırdan farklı değerlerdedir.Parçacık hareketi bir genlik olarak yorumlanır, ışık hızından daha hızlı seyahat için bu sanal parçacığa çevrilmelidir. Bunun nedensellik ile nasıl bağdaştırılabileceği durumu net değildir: ışıktan daha hızlı mesajları göndermek için ışıktan-hızlı sanal parçacıklar kullanabilirmiyiz? klasik mekanikte cevap hayır: klasik mekanik'te parçacıklar ve nedensel etkileri seyahat yapabileceğiniz boyunca aralıkları aynı iken Bu, kuantum alan teorisinde artık bir gerçek,birbirlerine etkileyen operatörlerin olduğunu belirleyen komütatör'ler var burada..Yani ne yayıcısı olan spacelike kısmını temsil eder?QFT içindeki vakum aktif katılımcı olup partikül sayısı ve alan değerleri belirsizlik ilkesi ile ilişkilidir; alan değerleri bile partikül sayısı sıfır için belirsizdir. Önemli bir dalgalanma bulmak için alan vakum değeri $\Phi (x)$ sıfırdan farklı bir olasılık genliği vardır (veya,daha doğrusu küçük bir bölge üzerinde alan ortalama ile elde edilen bir operatör varsa, ).Ayrıca, mekansal ilişkili dalgalanmalar alanların dinamiklerini bir ölçüde etkiler EPR-korelasyonu analogu,sadece bu vakum içindeki yerel olmayan dalgalanmalar korelasyonu için genlik ölçülmesi Spacelike-ayrılmış-alanlar için sıfırdan farklı zaman-sıralı üründür Nitekim yayıcı genellikle serbest alan için bir iki nokta korelasyon fonksiyonu olarak adlandırılır.kuantum alan teorisi postülatları spacelike seperasyonunda birbirleri ile gözlemlenebilir tüm operatörler gidip gelir rastgele değişkenlerde korelasyonlar vardır.bunlarda herhangi bir EPR korelasyonu sayesinde olabilidiğne göre mesajlarda artık bu korelasyon yoluyla gönderilebilir Sanal parçacıklar açısından spacelike seperasyonunun yayıcısı sonunda vakum içinde, ya da vakumdan çıkan bir sanal çifti tespit için ortada sanal bir parçacık-antiparçacık çifti oluşturmak için amplitüd hesaplama aracı olarak da düşünülebilir.Feynman dili, bu tür oluşturma ve imha işlemleri ışık konisinin dışına alabilir zaman içinde ileriye ve geriye doğru dolaşan sanal bir parçacık buna eşdeğerdir.Bununla birlikte,hiçbir nedensellik ilkesini ihlal buna dahil değildir.

Feynman diyagramlarındaki yayıcılar

Partikül etkileşimlerin Feynman diyagramları için yayıcıların olasılık genliği yaygın olarak kullanılır.Bu hesaplamalar genellikle Momentum uzayda yapılmaktadır,her hattı İlk veya son hallerine gelen veya giden bir parçacık temsil etmez.genlik her iç hat için bir yayıcı bir faktör olarak alınır, Genel olarak,hatların buluştuğu her iç köşe için,Lagrangian teorisinin bir etkileşim terimi orantılı bir faktör olacak Bu reçeteler Feynman kuralları olarak bilinir.İç hatlara sanal parçacıklar karşılık gelir.Yayıcısı enerji ve hareket klasik denklemleri tarafından izin verilmeyen momentum kombinasyonları ortada olmadığından,sanal parçacıkların off-shell(kabuk dışı) olmasına izin verdiği söyleniyor.Yayıcısı ters dalga denklemi elde edilenler aslında, genel olarak kabuk üzerinde tekillikler olacaktır.Yayıcısı parçacık tarafından taşınan enerji bile negatif olabilir.Bu durum, bir parçacığın yerine tek bir yol gidiyor olarak basitçe yorumlanabilir, onun zıddı antiparçacık başka bir yol gidiyor ve bu nedenle pozitif bir enerji karşıt akışı taşıyor.Yayıcı bütün olasılıkları kapsar.Fermiyonlar durumunda enerji ve momentumu çift fonksiyon olan yayıcı değildir (bkz. aşağıda),yani eksi işaretleri konusunda dikkatli olması gerektiği ifade ediliyor. (aşağıya bakınız)diyagramda, bir kapalı devre içeren her yerde kapalı kabuk olabilir,Bununla birlikte, çevrime katılan sanal parçacıkların enerjileri ve momentumlarını kısmen döngü içinde başka eşit ve zıt bir miktarda değişiklik bir yana dengelenebilir,Genel olarak,renormalizasyon işlemi tarafından ele alınması gereken bir durum olarak yayıcı ürünleri bu integrallerde, sapma meydana gelebilir.

Diğer teoriler

Parçacığın kendi yayıcısı spin'e sahip olursa genel olarak biraz daha karmaşıktır.kuantum elektrodinamik'te elektron'u temsil eden Dirac alanı için kullanılan Feynman diyagramlarında bu parçacığın spin veya polarizasyon endeksi içerecek şekilde Momentum-uzay yayıcısı formu vardır.

${\tilde {S}}_{F}(p)={(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }$

Burada $\gamma ^{\mu }$ gama matris'ler Dirac denkleminin kovaryant formülasyonu olarak görünüyor. bazen Feynman eğik çizgi notasyonu yazılarak kullanılır. kısaca

${\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\epsilon }={1 \over p\!\!\!/-m+i\epsilon }$

Konum uzayımız:

$S_{F}(x-y)=\int {{d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}}\,{(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m) \over p^{2}-m^{2}+i\epsilon }=\left({\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu } \over |x-y|^{5}}+{m \over |x-y|^{3}}\right)J_{1}(m|x-y|).$

Bu Feynman yayıcısı ile ile ilgili

$S_{F}(x-y)=(i\partial \!\!\!/+m)G_{F}(x-y)$

burada $\partial \!\!\!/:=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$.

yayıcı için bir Ölçü kuramı içinde bir ölçü bozonu'nu ölçek sabitlemek sözleşme seçimine bağlıdır bir fotoniçin yayıcı,Feynman ve Stueckelberg tarafından kullanılan ölçüdür.

${-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\epsilon }.$

Tekil fonksiyonlarla ilişkisi

Skaler yayıcı için Green fonksiyonları Klein–Gordon denklemidir Kuantum alan kuramı'nın önemli olan ilgili tekil fonksiyonları vardır. Biz Bjorken ve Drell aşağıda gösterimde izleyin. Ayrıca Bogolyubov ve Shirkov (Ek A) Bkz. Bu fonksiyon en basit alan operatörlerin ürünlerinin boşluk beklenen değeri açısından tanımlanır.

Klein–Gordon denkleminin çözümü

Pauli–Jordan fonksiyonu

Iki skaler alan operatörleri komütatör Pauli–Jordan fonksiyonu tanımlar $\Delta (x-y)$ by

$\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\Delta (x-y)$

ile

$\,\Delta (x-y)=G_{adv}(x-y)-G_{ret}(x-y)$

Bu memnun eder $\,\Delta (x-y)=-\Delta (y-x)$ ve eğer sıfır $(x-y)^{2}<0$.

Pozitif ve negatif frekans parçaları (kesme yayıcılar)

Biz bir relativistik değişmez biçimde bazen kesme yayıcı denilen pozitif ve negatif frekans parçaları $\Delta (x-y)$ tanımlayabiliriz.

Bu bize pozitif frekans parçasını tanımlamamızı sağlar:

$\Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle$,

ve negatif frekans parçası:

$\Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle$.

Bu tatmin edicidir.

$\,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}$

ve

$(\Box _{x}^{2}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.$

Yardımcı fonksiyon

Iki skaler alan operatörler anti-komütatör tarafından $\Delta _{1}(x-y)$ fonksiyonunu tanımlar

$\langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)$

ile

$\,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).$

Bu karşılar $\,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).$

Klein-Gordon denklemi için Green fonksiyonları

Klein-Gordon denkleminin bütün Green fonksiyonları için geri, ileri ve Feynman Yayıcısı yukarıda tanımlanıyor. Bunlar tekil fonksiyonlarla ilişkilidir

• $\,G_{ret}(x-y)=-\Delta (x-y)\Theta (x_{0}-y_{0})$
• $\,G_{adv}(x-y)=\Delta (x-y)\Theta (y_{0}-x_{0})$
• $\,2G_{F}(x-y)=-i\Delta _{1}(x-y)+\epsilon (x_{0}-y_{0})\Delta (x-y)$

burada $\,\epsilon (x_{0}-y_{0})=2\Theta (x_{0}-y_{0})-1.$

Kaynakça

• Bjorken, J.D., Drell, S.D., Relativistic Quantum Fields (Appendix C.), New York: McGraw-Hill 1965, ISBN 0-07-005494-0.
• N. N. Bogoliubov, D. V. Shirkov, Introduction to the theory of quantized fields, Wiley-Interscience, ISBN 0-470-08613-0 (Especially pp. 136–156 and Appendix A)
• Edited by DeWitt, Cécile ve DeWitt, Bryce, Relativity, Groups and Topology, section Dynamical Theory of Groups & Fields, (Blackie and Son Ltd, Glasgow), Especially p615-624, ISBN 0-444-86858-5
• Griffiths, David J., Introduction to Elementary Particles, New York: John Wiley & Sons, 1987. ISBN 0-471-60386-4
• Halliwell, J.J., Orwitz, M. Sum-over-histories origin of the composition laws of relativistic quantum mechanics and quantum cosmology, arXiv:gr-qc/9211004
• Kerson Huang, Quantum Field Theory: From Operators to Path Integrals (New York: J. Wiley & Sons, 1998), ISBN 0-471-14120-8
• Itzykson, Claude, Zuber, Jean-Bernard Quantum Field Theory, New York: McGraw-Hill, 1980. ISBN 0-07-032071-3
• Pokorski, Stefan, Gauge Field Theories, Cambridge: Cambridge University Press, 1987. ISBN 0-521-36846-4 (Has useful appendices of Feynman diagram rules, including propagators, in the back.)
• Schulman, Larry S., Techniques & Applications of Path Integration, Jonh Wiley & Sons (New York-1981) ISBN 0-471-76450-7
• Griffith, D, Introduction to Quantum Mechanics.

Dış bağlantılar

• Three Methods for Computing the Feynman Propagator30 Ocak 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.