Green fonksiyonları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Green fonksiyonlari matematikte homojen olmayan diferansiyel denklemlerin, istenen sınır koşulları altında çözülmesinde kullanılan bir yöntemi ve bu yöntemle ilişkili olarak hesaplanan fonksiyonu belirtmekte kullanılır. İlk kez matematikçi George Green tarafından kullanılmıştır.

Tanımı ve kullanımları[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir Green fonksiyonu, G(xs) ve Rn Öklid uzayının bir alt kümesi üzerinde bir lineer differansiyel operatör L = L(x) dağılım'ın hareketi olmak üzere,bir s noktasındaki herhangi bir çözümüdür

   

LG(x,s)=\delta(x-s)

 

 

 

 

(1)

   

burada \delta Dirac delta fonksiyonu'dur.Green fonksiyonunun bu özelliği form diferansiyel denklemleri çözmek için yararlanılabilir

   

Lu(x)=f(x).

 

 

 

 

(2)

   

Eğer L 'nin çekirdek'i önemsiz değilse, sonra Green fonksiyonu da benzersiz değildir. Ancak, uygulamada,simetrinin bir bileşimi, sınır koşulları ve/veya diğer harici olarak empoze edilen kriterler benzersiz bir Green fonksiyonunu verecektir. Ayrıca, genel olarak Green fonksiyonlarının dağılım'ları vardır , mutlaka doğru fonksiyonlar'dır.

Green fonksiyonları da dalga denklemlerinin çözümünde yararlı bir araçtır, difüzyon denklemlerinin, ve kuantum mekaniği'ndeki,Green fonksiyonu Hamiltonyende anahtar bir kavramdır bununla birlikte durum yoğunluğu'ylada önemli bağlantıları var,Bir yan not olarak, fizikte kullanılan Green fonksiyonlarının genellikle ters işareti ile tanımlanır; yani,

LG(x,s)=-\delta(x-s).

Bu tanım, Green fonksiyonunun özelliklerini önemli ölçüde değiştirmez.

G(x,s)=G(x-s).

Bu durumda,Green fonksiyonlarının lineer zamanla değişmeyen sistem teorisi'ndeki impuls cevabı aynıdır

Homojen olmayan sınır değer problemlerinin çözümü için Green fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Matematikte Green fonksiyonunun birincil kullanımı homojen olmayan sınır değer problemleri'ni çözmektir. Modern kuramsal fizik, Green fonksiyonları da genellikle Feynman diyagramları (ve ifade Green fonksiyonu genellikle herhangi bir korelasyon fonksiyonu) için kullanılır) Yayıcı'lar olarak kullanılmaktadır.

Çerçeve[değiştir | kaynağı değiştir]

L Sturm–Liouville operatorü olmak üzere, şeklinde lineer diferansiyel operatör

L=\dfrac{d}{dx}\left[p(x) \dfrac{d}{dx}\right]+q(x)

ve D sınır koşulu operatörü olmak üzere


Du= \begin{cases}
	\alpha_1 u'(0)+\beta_1 u(0) \\
	\alpha_2 u'(l)+\beta_2 u(l).
\end{cases}

f(x) [0,l] aralığında sürekli fonksiyon olmak üzere. Ayrıca varsayılan problem


	\begin{align}
	Lu &= f \\
	Du &= 0
	\end{align}

düzenli (homojen) problem için, yalnızca önemsiz çözüm var ).

Teorem[değiştir | kaynağı değiştir]

Burada tek ve yalnız tek çözümü karşılayan u(x) dır


	\begin{align}
	Lu & = f\\
	Du & = 0
	\end{align}

ve bu verilir

u(x)=\int_0^\ell f(s) G(x,s) \, ds

buradaki is koşulları sağlayan bir Green fonksiyonu G(x,s) aşağıdadır:

  1. G(x,s) x ve s için süreklidir
  2. x \ne siçin, L G(x, s)=0
  3. s \ne 0için, D G(x, s)=0
  4. Türev "jump": G'(s_{+0}, s)-G'(s_{-0}, s)=1 / p(s)
  5. Simetri: G(x, s) = G(s, x)

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Helmholtz denkleminin çözümüne ilişkin Green'in fonksiyonları şöyledir:

G(x,y) = \frac{i}{4}H_0^{(1)}(k |x - y|) \quad x \in \mathbb{R}^2 \setminus \{y\}

G(x,y) = \frac{e^{-i k |x - y|}}{4 \pi |x - y|} \quad x \in \mathbb{R}^3 \setminus \{y\}

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapters 18 and 19.
  • Eyges, Leonard, The Classical Electromagnetic Field, Dover Publications, New York, 1972. ISBN 0-486-63947-9. (Chapter 5 contains a very readable account of using Green's functions to solve boundary value problems in electrostatics.)
  • A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
  • A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9
  • G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Mathematics Series.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]