Sihirli Kare

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
3'üncü dereceden bir sihirli kare. Satır, sütun ve köşegen elemanların toplamı 15 dir.

n x n boyutlu (n>2) öyle bir kare matris düşünün ki, istenilen satır, sütun ve köşegenler boyunca elemanların toplamı sabit olsun. Bu sabite sihirli sabit denir.[1]

Matris elemanları, değerlerini tekrarlamamak koşulu ile \{ 1, 2, ..., n^2 \} kümesinden almaktadır.

Verilen n sayısına göre, sihirli sabit:

S = \frac{n(n^2+1)}{2}

formülü ile hesaplanır. Örneğin n = 3 için sihirli sabit: S = 3(3^2+1)/2 = 15 olacaktır. Yan tarafta 3. dereceden bir sihirli kare verilmiştir.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Sihirli kareler MÖ 2200 yıllarından beri bilinmektedir.
  • Çin'de astroloji, fal bakma, felsefi yorumlama, doğa olayları ve insan davranışları dahil olmak üzere değişik çalışma alanlarında kullanılmıştır.
  • 9. ve 10. yüzyılda sihirli karelerin matematiksel özelliklerinin Arap dillerinin konuşulduğu yerlerde çoktan geliştirildiğini göstermektedir.
  • 15. yüzyıl boyunca Avrupa'lılar fal, simya ve astroloji ile sihirli kareleri ilişkilendirmeye çalışmışlardır.
  • 18. yüzyılda, Batı Afrika'da bu karelerin manevi bir önemi vardı. Bu kareler elbiseler, maskeler ve dini sanat eserlerinin üzerine işlendi.
  • 19. yüzyılın sonlarında matematikçiler sihirli kareleri olasılık ve analiz problemlerinde uygulamaya başlamışlardır.

Uygulama Alanları[değiştir | kaynağı değiştir]

Sihirli Kare Oluşturma[değiştir | kaynağı değiştir]

Sihirli Kare probleminin çözümüne ilişkin nasıl bir yaklaşım izlenmeli? Bir bilgisayar programında, döngüler içinde bütün eleman değerlerinin denenmesi oldukça ilkel bir yaklaşımdır. Örneğin, deneme-yanılma yöntemi ile, değerlendirilecek durum sayısı aşağıdaki çizelgedeki gibi olur:

Karenin Derecesi (n) Değerlendirilecek durum sayısı ( n2! )
3  3.6 x 105
4 2.1 x 1012
5 1.5 x 1025
6 3.7 x 1041
7 6.1 x 1062

n > 4 için çözüm neredeyse imkânsızlaşır. Bu durumda, ne teknolojiye ne de programlama dillerine güvenmek çıkış yolu değildir. Öyle ise, sezgisel yöntemlerin kullanılması kaçınılmazdır!

Problem genel olarak aşağıdaki durumlar için çözümler içerir:

  • Tek dereceli kareler (n=3, 5, 7, ...)
  • Çift dereceli kareler
  1. Tek-Çift: ikiye bölündüğünde tek sayı elde edilen kareler (n = 6, 10, 14, ...)
  2. Çift-Çift: ikiye bölündüğünde çift sayı elde edilen kareler (n = 4, 8, 12, ...)

Abiyev'in Sihirli Karesi[değiştir | kaynağı değiştir]

Prof. Dr. Asker Ali Abiyev 1996 yılında kendi adını verdiği algoritması için, "Sayılı Sihirli Karelerin Doğal Şifresi" adlı bir kitap hazırlayıp bilim camiasına sunmuştur. 1997 yılında Barselona'da "Batı Matematik Konferansı"nda ünlü matematikçilere sunmuş ve büyük ilgi toplamıştır. Abiyev'in algrotiması ile, istenilen sayılardan (tamsayı, gerçel sayı, karmaşık sayı) istenilen dereceden (n -> oo) Sihirli Kare oluşturmak mümkündür.

Abiyev'in Algoritması'na göre önceklikle her biri n elemanlı alfa, beta, gamma ve delta adında 4 tip aritmetik dizi tanımlanıp, her dizi için bir renk tayin edilir:

Dizi Artım (ortak fark) Renk
alfa +1  
beta +n  
gamma -1  
Delta -n  

Sonra sihirli kareye sayılar, her bir çerçeve için aşağıdaki algoritma ile, yerleştirilir:

n karenin derecesini ve c karenin çerçeve numarasını göstermek üzere:

c=1 den n/2 ye kadar

  alfa dizisini (c-1)(n+1)+1 den, diğer dizileri (beta, gamma, delta) bir önceki dizinin son elemanındaki sayıdan başlat.

Örneğin: Sihirli Karenin 1. çerçevesine ait dizi elemanları şöyle olacaktır:

Alfa dizisi: 1, 2, ..., n Beta dizisi: n, 2n, 3n, ..., n2 Gamma dizisi: n2, n2-1, ..., n2-(n-1) Delta dizisi: n2-(n-1)-n, n2-(n-1)-2n, ..., 1

  Her bir dizinin elemanı Euler Devri ile (c'inci) çerçeveye yerleştir.

Bir sonraki iç çerçeve geç

Bu algoritma ile oluşturulmuş, 7. ve 10. ve dereceden sihirli kareler şöyledir:


7inci derecenden sihirli kare

26 20 14 1 44 38 32
34 28 15 9 3 46 40
42 29 23 17 11 5 48
43 37 31 25 19 13 7
2 45 39 33 27 21 8
10 4 47 41 35 22 16
18 12 6 49 36 30 24

10uncu derecenden sihirli kare:

1 92 8 94 95 6 97 3 99 10
90 12 83 17 85 86 14 88 19 11
21 79 23 74 26 75 77 28 22 80
70 32 68 34 65 66 37 33 69 31
41 49 58 57 56 55 44 53 42 50
60 59 43 47 46 45 54 48 52 51
40 62 38 64 36 35 67 63 39 61
71 29 73 27 76 25 24 78 72 30
20 82 18 84 15 16 87 13 89 81
91 9 93 7 5 96 4 98 2 100


Abiyev'in Sihirli Karesi Sihirli Sabit'in dışında, diğer algoritmalarda bulunmayan, birçok sihirler (değişmezler, simetriler) içermektedir. Örneğin: denge. Bu algoritmayla yazılan bir Sihirli Kare'deki her bir eleman yerine (bulunduğu koordinatta) sayı değeri kadar aynı birimden kütle konduğunda, sistemin kütle merkezi karenin tam ortası olmaktadır. Lütfen deneyin ve görün! Bu yüzden, bu algoritma ile yazılan sihirli kareye, sayıların dengeli dağılımından dolayı, Dengeli Karede denebilir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

8. Dereceden Franklin karesi

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ "Magic Square" Onkar Singh, The Wolfram Demonstrations Project.

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]