Pro sonlu grup

Pro sonlu gruplar, Matematikte ilk olarak sayılar kuramında görülmüştür. 19. yüzyılın sonlarına doğru kongurans sistemlerini çalışmak için Alman matematikçi Hensel tarafından bulunan p-sel tamsayılar halkası Z_p, pro-sonlu grupların en temel örneklerinden birisidir. Alman matematikçi Krull herhangi bir sonsuz Galois genişlemesinin Galois grubunun aslında doğal bir şekilde pro-sonlu grup yapısına sahip olduğunu gördü. Bu yapının sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla belirlendiğini gösterdi. Daha sonra, cebirsel geometri alanında Grothendieck, şemaların temel gruplarını birer pro-sonlu grup olarak tanıttı.

Tanım

Ayrık topoloji ile donatılmış bir takım sonlu grupların oluşturduğu projektif sistemin projektif limitine izomorf olan topolojik gruplara pro-sonlu grup denir. Bahsi geçen sistem, $(I,\leq )$ yönlü bir küme (yani, her sonlu altkümesinin bir üst sınıra sahip olduğu yarı-sıralı küme) olmak üzere; sonlu gruplardan oluşan bir ${G_{i}}$ ailesi ile aşağıdaki kosulları sağlayan $\{f_{j,i}:G_{j}\to G_{i}\mid i,j\in I,i\leq j\}$ şeklindeki grup homomorfizmaların ailesinden oluşur:

• Her $i\leq j\leq k$ için $f_{k,i}=f_{j,i}\circ f_{k,j}$
• Her $i\in I$ için $f_{i,i}=id_{G_{i}}$ (yani $f_{i,i},G_{i}$ üzerine birim fonksiyondur.)

Böyle bir sistemin projektif limiti

$\lim _{\leftarrow }{G_{i}}=\left\{(g_{i})_{i\in I}\in \prod _{i\in I}G_{i}:f_{j,i}(g_{j})=g_{i}{\text{ for all }}j\geq i\right\}$

şeklinde bir küme ile tanımlanır. (Projektif limitin tanımı sağladığı evrensel özellikle daha soyut olarak verilebilir.) Bu küme üstündeki topolojik grup yapısı en doğal haliyle gelir. Sonlu $G_{i}$ grupları, ayrık topoloji ile donatılırsa projektif limit çarpım topolojisinden inen topolojiyle bir topolojik uzay olur. Ayrıca $\prod G_{i}$ çarpım grubunun ikili işlemi olan noktasal toplama ile birlikte limit aynı zamanda bir grup yapısına sahiptir.

Pro-sonlu grupların sağladığı bir takım topolojik özellikleri bakımından daha sade bir başka karakterizasyonu mevcuttur. Her pro-sonlu grup aslında Hausdorff, kompakt ve tümden bağlantısız (yani, tek nokta altkümelerinden başka bağlantılı altkümesi yoktur) bir topolojik gruptur. Tersine bir $G$ topolojik grubu bu üç özelliğe sahip ise bir pro-sonlu gruptur. Nitekim, $G/N$ bölüm gruplarının $G$ nin açık ve normal olan tüm $N$ altgrupları üzerinden projektif limiti $\lim _{\leftarrow }{G/N}$, $G$ topolojik grubuna topolojik grup olarak izomorftur. Burada her bir bölüm grubu sonlu grup olduğundan limit bir pro-sonlu gruptur. Dolayısıyla $G$ topolojik grubu bu izomorfizma vasıtasıyla pro-sonlu grup olarak görülür.

Pro-sonlu tamlanış

Verilen bir gruptan doğal bir şekilde pro-sonlu grup elde etmenin bir yolu, o grubun sonlu bölüm gruplarının projektif limitini almaktır. Nitekim bir $G$ grubunun sonlu indeksli normal altgrupları kümesi $I=\{H\triangleleft G:H\ {\text{sonlu indeksli}}\}$, kapsama ilişkisi ile birlikte bir yönlü küme oluşturur. Sıralama $N\leq N'\iff N'\subset N$ şeklindedir. Bu durumda $X=\{G/N:N\triangleleft G\ {\text{sonlu indeksli}}\}$ kümesiyle $xN'\mapsto xN$ ile tanımlı $f_{N',N}:G/N'\to G/N$ grup homomorfizmaları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin projektif limitine $G$ grubunun pro-sonlu tamlanışı denir ve ${\widehat {G}}$ ile gösterilir. Daha açık bir ifadeyle pro-sonlu tamlanış,

${\widehat {G}}=\lim _{\leftarrow }{G/N}=\{(g_{N})_{N\in I}\in \prod _{N\in I}G/N:\ g_{N'}\equiv g_{N}{\pmod {N}}\ \ {\text{for all}}\ N'\subset N\}$

şeklinde verilir. Burada $G$ ile ${\widehat {G}}$ arasında $g\mapsto (gN)_{N}$ ile tanımlı doğal bir $\pi :G\to {\widehat {G}}$ grup homomorfizması mevcuttur. $G$ grubunun $\pi$ altındaki imgesi ${\widehat {G}}$ içinde yoğundur. Bu homomorfizmanın birebir olması için gerek ve yeter koşul $\bigcap _{N\in I}N=1$ olmasıdır. Özel olarak $G$ yerine $\mathbb {Z}$ tamsayılar grubunu alırsak, $\pi$ homomorfizması $\mathbb {Z}$ tamsayılar grubunu ${\widehat {\mathbb {Z} }}$ pro-sonlu tamlanışı içine gömer. Dolayısıyla tamsayılar kendi tamlanışı içinde yoğun bir şekilde yaşar. Bu tamlanışın elemanlarına pro-sonlu tamsayılar denir.

Örnekler

• Tüm ayrık sonlu topolojik gruplar pro-sonludur.
• Toplamsal p-sel tamsayılar grubu $\mathbb {Z} _{p}$, $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ sonlu gruplarının projektif limitine topolojik grup olarak izomorftur. Doğal sayılar kümesi üzerindeki doğal sıralama göz önüne alınırsa, $n\in \mathbb {N}$ olmak üzere, sonlu $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z}$ gruplarının oluşturduğu aile ile birlikte; her $i\leq j$ doğal sayıları için $x+p^{j}\mathbb {Z} \mapsto x+p^{i}\mathbb {Z}$ ile tanımlı $f_{j,i}:\mathbb {Z} /p^{j}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z}$ grup homomorfizmaları ailesi bir projektif sistem verir. Buradaki projektif limitin topolojisi, $\mathbb {Z} _{p}$ üzerindeki p-sel normun ürettiği topoloji ile aynıdır.
• Her Galois grup bir pro-sonlu gruba izomorftur. Nitekim $L/K$ bir (sonlu veya sonsuz) Galois genişlemesi olsun. $F/K$ sonlu Galois genişlemesi olacak şekilde, tüm $K\subset F\subset L$ ara cisimleri kapsama ilişkisi ile birlikte yönlü bir kime oluşturur. Çünkü $K$ üzerine sonlu Galois genişlemesi olan iki tane ara cismin kompozitumu yine $K$ üzerine sonlu Galois genişlemesidir. Bu durumda, buradaki sonlu Galois genişlemelerinin Galois gruplarıyla her $F'\subset F$ için $Gal(F/K)\to Gal(F'/K)$, $\sigma \mapsto \sigma |_{F'}$ kısıtlama fonksiyonları bir projektif sistem oluşturur. Bu sistemin limiti $Gal(L/K)$ grubuna kanonik bir şekilde izomorftur. Aralarındaki grup izomorfizması $\sigma \mapsto (\sigma |_{F})_{F}$ ile tanımlı $Gal(L/K)\to \lim _{\leftarrow }{Gal(F/K)}$ fonksiyonu ile verilir. Verilen izomorfizma sayesinde, projektif limit üstündeki topoloji $Gal(L/K)$ grubuna taşınır ve bu topolojiye Krull topoloji denir. Öte yandan, her pro-sonlu grup bir $L/K$ Galois genişlemesinin Galois grubuna izomorftur (Waterhouse (1974)). Ancak burada $K$ cismi kontrol edilememektedir. Dahası altta verilen birçok K cismi için tüm sonlu grupların elde edilebileceği dahi bilinmemektedir. (Her sonlu grubun $\mathbb {Q}$ rasyonel sayılar ciminin sonlu bir Galois genişlemesi olup olmadığı ters Galois problemi olarak bilinir.)

Özellikler

• Bir topolojik grubun pro-sonlu olması için gerek ve yeter koşul Hausdorff, kompakt ve tümden sınırlı olmasıdır.
• Pro-sonlu grupların (sonlu veya sonsuz) direkt çarpımı yine pro-sonludur. Üstündeki topoloji çarpım topolojisi ile aynıdır.
• Pro-sonlu grupların kapalı altkümeleri pro-sonludur. Üstündeki topoloji altuzay topolojisi ile aynıdır. Eğer $H$, bir $G$ pro-sonlu grubunun kapalı normal bir altgrubu ise $G/N$ bölüm grubu da pro-sonludur. Üstündeki topoloji bölüm topolojisi ile aynıdır.
• Her pro-sonlu grup kompakt bir Hausdorff uzay olduğundan üstünde Haar ölçüsü tanımlanabilir. Dolayısıyla üstünde bir takım olasılıklar hesaplanabilir, üzerinde tanımlı fonksiyonların integrali alınabilir.
• Pro-sonlu bir grubun altgrubunun açık olması için gerek ve yeter koşul kapalı ve sonlu indeksli olmasıdır.

Bakınız

• Pro-p grup
• Pro-sonlu tamsayılar
• p-sel sayılar
• Sonsuz Galois teorisi

Kaynakça

• Waterhouse, William C. (1974), "Profinite groups are Galois groups", Proceedings of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 42 (2), ss. 639-640, doi:10.2307/2039560, JSTOR 2039560, Zbl 0281.20031 
• Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF), talk given at Oberwolfach, 5 Şubat 2018 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi, erişim tarihi: 26 Aralık 2018