Topolojik uzaylar

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Topolojik uzaylar, matematiğin Topoloji dalının başlıca uğraş konularıdır. Bir X kümesi ve bu kümenin alt kümelerinin bir kısmını içeren ve aşağıdaki varsayımları sağlayan S kümesinden oluşurlar:

1) \emptyset ve X kümeleri S'nin elemanıdır;

2) S'nin elemanları arasından seçilecek herhangi bir U_{\alpha} kolleksiyonu için, \bigcup_{\alpha}U_{\alpha} birleşim kümesi de S'nin bir elemanıdır,

3) S'nin elemanları arasından seçtiğimiz U_1,...,U_n kümelerinin kesişimi olan \bigcap_{i=1}^n U_i kümesi de S'nin elemanıdır.

Burada ikinci şartta bahsettiğimiz koleksiyonun sonsuz sayıda eleman içerebileceğine ancak üçüncü şarttaki altkümelerin sayısının sonlu olduğuna dikkat etmek gereklidir.

Geleneksel olarak X'in altkümelerinden S'nin elemanı olanlara açık kümeler denir. Buna karşılık C kümesi X'in bir altkümesiyse ve de X\setminus C fark kümesi açık bir kümeyse, o zaman C'ye de kapalı bir küme denir. Bu tanıma göre X ve \emptyset kümeleri aynı zamanda hem açık hem kapalıdırlar.

Verilen bir (X,S) topolojik uzayında X'in altkümelerinden oluşan öyle bir Y kümesi olsun ki X'te açık her küme Y'nin elemanlarının bir birleşimi olarak yazılabilsin. Bu durumda Y kümesine (X,S) uzayının temeli denir.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

1) Verilen herhangi bir X kümesi için, S, X'in tüm alt kümelerinin kümesi olsun (yani her bir altküme açık olsun). Böyle oluşturulmuş topolojiye taneli (discrete) topoloji denir.

2) Reel Sayılar üzerinde (a,b) şeklindeki (a -\infty ve b \infty olabilir) doğru parçalarının yarattığı topoloji. Öklit Uzayları'nın geometrik özelliklerini anlamakta kullanılan doğal topolojidir.

3) Uzunluk uzayları, metrik uzaylar, iç çarpım uzayları ve Banach uzayları topolojik uzaylardır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]