Oran testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Git ve: kullan, ara

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

\sum_{n=0}^\infty a_n

serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Konu başlıkları

[değiştir] Örnekler

[değiştir] Yakınsayan

\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

\begin{align} \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}} {a_n} \right| &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}} {\frac{n}{e^n}} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{e^{n+1}} \cdot \frac{e^n}{n} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{n+1}{n} \cdot \frac{e^n}{e^n\cdot e} \right|\\ &= \lim_{n\to\infty} \left| \left(1+\frac{1}{n}\right) \cdot \frac{1}{e} \right|\\ &= 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1. \end{align}

Bu yüzden, \frac{1}{e} 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

[değiştir] Iraksayan

\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|
=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|(1-\frac{1}{n+1})\cdot e\right|
=1\cdot e
=\!\, e.

Bu yüzden, e, 1'den büyük olduğu için seri ıraksar.

[değiştir] Sonuçsuz

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

\sum_{n=1}^\infty 1

serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1.

Diğer taraftan,

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1.

Sonuç olarak,

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

şartlı yakınsaktır ama

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1.

[değiştir] L=1 ve Raabe testi

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

ise ve

\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c

ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

[değiştir] Ayrıca bakınız

[değiştir] Kaynakça

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4üncü baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3
"http://tr.wikipedia.org/wiki/Oran_testi" adresinden alındı.