Oran testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte oran testi, terimleri gerçel ya da karmaşık sayı olan bir

\sum_{n=0}^\infty a_n

serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir. Bu test ilk defa Jean le Rond d'Alembert tarafından yayınlanmıştır ve bazen d'Alembert's oran testi olarak da bilinir. Oran testi, "lim"in n sonsuza giderken limiti temsil ettiği

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

sayısını kullanmaktadır.

Oran testi şunu ifade etmektedir:

Eğer L = 1 ise veya limit var değilse, o zaman test sonuçsuz kalır, yani bu test kullanılamaz. Bu iki durumu da sağlayan yakınsak ve ıraksak seriler vardır.

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

Yakınsayan[değiştir | kaynağı değiştir]

\sum_{n=1}^\infty\frac{n}{e^n}

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
= \lim_{n\to\infty} \left| \frac{\frac{n+1}{e^{n+1}}}{\frac{n}{e^n}}\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}{e^{n+1}}\cdot\frac{e^n}n\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n+1}n\cdot\frac{e^n}{e^n\cdot e}\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\biggl(1+\frac{1}{n}\biggr)\cdot \frac{1}{e}\right|
= 1\cdot \frac{1}{e}
\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right| = \frac{1}{e} < 1


Bu yüzden, \frac{1}{e}, 1'den küçük olduğu için seri yakınsaktır.

Iraksayan[değiştir | kaynağı değiştir]

\sum_{n=1}^\infty\frac{e^n}{n}

serisine bakalım. Bu seriyi oran testine tabi tutarsak şunu elde ederiz:

\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{e^{n+1}}{n+1}\cdot\frac{n}{e^n}\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{n}{n+1}\cdot\frac{e^n\cdot e}{e^n}\right|
= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\biggl(1-\frac{1}{n+1}\biggr)\cdot e\right|
= 1\cdot e
\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{e^{n+1}}{n+1}}{\frac{e^n}{n}}\right| = e > 1

Bu yüzden, e, 1'den büyük olduğu için seri ıraksaktır.

Sonuçsuz[değiştir | kaynağı değiştir]

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

ise, serinin oran testinden yakınsak veya ıraksak olduğunu çıkarmak imkânsızdır. Mesela,

\sum_{n=1}^\infty 1

serisi ıraksar ama limit 1'dir; yani

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{1}\right| = 1

Diğer taraftan,

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}

serisi mutlak yakınsaktır; ancak yine

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{1}{(n+1)^2}}{\frac{1}{n^2}}\right| = 1

Sonuç olarak,

\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\frac{1}{n}

şartlı yakınsaktır ama

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac{(-1)^{n}}{n}}\right| = 1

L=1 ve Raabe testi[değiştir | kaynağı değiştir]

Önceki örnekte de görüldüğü gibi oran testinde limit 1 olduğu zaman test sonuçsuzdur. Oran testinin Raabe'ye ait olan bir uzantısı bazen bu durumla başa çıkmayı sağlayabilir. Raabe testi ise şunu ifade eder:

\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

ise ve

\lim_{n\rightarrow\infty}
\,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c

ifadesini sağlayan pozitif bir c varsa, o zaman seri mutlak yakınsaktır.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc., New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, 4üncü baskı, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3