Kök testi

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte kök testi bir

\sum_{n=1}^\infty a_n

sonsuz serisinin yakınsaklığını belirlemek için kullanılan bir yöntemdir.

Özellikle kuvvet serileriyle bağlantılı olarak yararlıdır.

Test[değiştir | kaynağı değiştir]

Kök testi ilk defa Cauchy tarafından geliştirilmiştir ve bu yüzden bazen Cauchy kök testi veya Cauchy radikal testi olarak da anılır. Kök testi

C = \limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}

sayısını kullanır. Burada "lim sup", ∞ da olabilen üst (superior) limittir.

Kök testi şunu ifade etmektedir.

  • C < 1 ise, seri mutlak yakınsaktır,
  • C > 1 ise, seri ıraksaktır.
  • C = 1 ise, test sonuçsuzdur.

Kuvvet serilerine uygulanması[değiştir | kaynağı değiştir]

Bu test, cn katsayılarının ve p merkezinin karmaşık sayı olduğu, z 'nin karmaşık değişken olduğu bir

f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n

kuvvet serisiyle kullanılabilir.

O zaman serinin terimleri an = cn(z - p)n ile verilir. O zaman kök testi an 'ye yukarıdaki gibi uygulanır. Bazen bu gibi bir seriye "p etrafındaki" kuvvet serisi adı verilir çünkü yakınsaklık yarıçapı R serinin iç bölgesindeki her z noktasında yakınsak olduğu en geniş p merkezli aralık veya diskin yarıçapıdır (aralığın veya diskin sınırı üzerindeki yakınsaklık ayrıca bakılmalıdır). Kök testinin böyle bir kuvvet serisine uygulanan bir sonucu ise yakınsaklık yarıçapının kesinlikle 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}} olmasıdır. Burada, payda sıfır olurken yarıçapın +∞ olduğuna dikkat edilmelidir.

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

Σan serisinin yakınsaklığının kanıtı aslında karşılaştırma testinin bir uygulamasıdır. Her nN (n sabit bir doğal sayı) için \sqrt[n]{a_n} < k < 1 ise, o zaman a_n < k^n < 1 olur. \sum_{n=N}^\infty k^n geometrik serisi yakınsadığı için o zaman karşılaştırma testiyle \sum_{n=N}^\infty a_n de yakınsar. Pozitif olmayan an için yakınsaklık da \sqrt[n]{|a_n|} kullanılarak aynı yolla kanıtlanır.

Sonsuz tane n için \sqrt[n]{|a_n|} > 1 ise, o zaman an 0'a yakınsamaz ve bu yüzden seri ıraksak olur.

Sonucun kanıtı: Σan = Σcn(z - p)n kuvvet serisi için, serinin yakınsak olması için şunun olması gerektiğini görüyoruz:

Her nN için

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} < 1,

ifadesine denk olarak

\sqrt[n]{|c_n|}\cdot|z - p| < 1

ifadesini sağlayan bir N vardır. Bu da serinin yakınsaması için yeteri kadar büyük n 'ler için |z - p| < 1/\sqrt[n]{|c_n|} olmasını gerektirmektedir. Bu da

|z - p| < 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}

demeye denktir. Böylece

R \ge 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}} olur. Şimdi yakınsaklığın mümkün olduğu tek yer,

\sqrt[n]{|a_n|} = \sqrt[n]{|c_n(z - p)^n|} = 1

olduğu zamandır (1'den büyük noktalarda ıraksaklık vardır) ve bu da yakınsaklık yarıçapını değiştirmeyecektir çünkü bunlar da aralığın veya diskin sınırının üzerinde yer alan noktalardır. Böylece

R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}

olur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

  • Knopp, Konrad (1956), "3.2", Infinite Sequences and Series, Dover publications, Inc., New York, ISBN 0-486-60153-6 
  • Whittaker, E. T., and Watson, G. N. (1963), "2.35", A Course in Modern Analysis (4 bas.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3 

Bu makale PlanetMath'deki Cauchy kök testinin kanıtı maddesinden GFDL lisansıyla faydalanmaktadır.