Legendre polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Lagendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)* y \, ; l \in (0,\mathbb{Z}^+)

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Tekrarlı tanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n.\qquad (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n P_n(x)\,
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
7 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
8 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
9 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
10 \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,
Legendrepolynomials6.svg

Çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

Ly = 0\,

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
y'' = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

Ly\,  = \big(1-x^2)y'' -2xy'+l(l+1)y
=(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} 
       - 2x\sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
       + l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right] a_n x^n
       + \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[l^2-n^2+l-n\right]a_n x^n
       + \sum_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[(l+n+1)(l-n)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^n
=0\,

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

 a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0

olur. Genellenirse

 a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

 n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\,

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.