Legendre polinomları

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematiksel analizde Legendre fonksiyonları, aşağıdaki Legendre diferansiyel denkleminin çözümleridir.

L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)* y \, ; l \in (0,\mathbb{Z}^+)

Bu adi diferansiyel denklem daha çok fizikte ve diğer teknik alanlarda kullanılır. Özellikle küresel koordinat sisteminde, kısmi diferansiyel denklem ile ilgili Laplace denklemi çözerken ortaya çıkar.

Özyineli tanımlama[değiştir | kaynağı değiştir]

Aşağıdaki genişletilmiş Taylor serisidir;

\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^\infty P_n(x) t^n.\qquad (Denklem I)

(Denklem I)'in ilk iki terimini ele alalım:

P_0(x) = 1,\quad P_1(x) = x

Bu ilk iki terim Legendre polinomudur. Diğer birkaç Legendre polinomları şunlardır:

n P_n(x)\,
0 1\,
1 x\,
2 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (3x^2-1) \,
3 \begin{matrix}\frac12\end{matrix} (5x^3-3x) \,
4 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (35x^4-30x^2+3)\,
5 \begin{matrix}\frac18\end{matrix} (63x^5-70x^3+15x)\,
6 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (231x^6-315x^4+105x^2-5)\,
7 \begin{matrix}\frac1{16}\end{matrix} (429x^7-693x^5+315x^3-35x)\,
8 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (6435x^8-12012x^6+6930x^4-1260x^2+35)\,
9 \begin{matrix}\frac1{128}\end{matrix} (12155x^9-25740x^7+18018x^5-4620x^3+315x)\,
10 \begin{matrix}\frac1{256}\end{matrix} (46189x^{10}-109395x^8+90090x^6-30030x^4+3465x^2-63)\,
Legendrepolynomials6.svg

Çözümü[değiştir | kaynağı değiştir]

Legendre fonksiyonu, [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

Ly = 0\,

Burada L, Legendre operatörüdür.

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
y'' = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

Ly\,  = \big(1-x^2)y'' -2xy'+l(l+1)y
=(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} 
       - 2x\sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
       + l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right] a_n x^n
       + \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[l^2-n^2+l-n\right]a_n x^n
       + \sum_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[(l+n+1)(l-n)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^n
=0\,

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

 a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0

olur. Genellenirse

 a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

 n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\,

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre polinomları denir ve dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Legendre polinomlarının ek özellikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Legendre polinomları simetrik veya antisimetriktir, Şöyleki

P_n(-x) = (-1)^n P_n(x). \,[1]

diferansiyel denklem ve diklik özellikleri yardımıyla ölçeklemenin bağımsızlığı,"standardlaştırılmış" (bazen "normalizasyon" denir,ama unutmamalıki güncel norm birim değildir) böylece ölçekleme ile Legendre polinomları'nın tanımı

P_n(1) = 1. \,

ve son noktada türev ile veriliyor

P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2}. \,

yukardaki soruda,Bonnet’in yineleme formülünde üç özyineleme ilişkisi terimi,bilinen Legendre polinomları ile uyumludur

 (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,

ve

 {x^2-1 \over n} {d \over dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x).

Legendre polinomlarının integrasyonu için kullanışlıdır;

(2n+1) P_n(x) = {d \over dx} \left[ P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \right].

yukardakinden şu görülebilir

{d \over dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + (2(n-2)+1) P_{n-2}(x) + (2(n-4)+1) P_{n-4}(x) + \ldots

veya eşdeğeri

{d \over dx} P_{n+1}(x) = {2 P_n(x) \over \| P_n(x) \|^2} + {2 P_{n-2}(x) \over \| P_{n-2}(x) \|^2}+\ldots

burada \| P_n(x) \| −1 ≤ x ≤ 1 aralığındaki normdur

\| P_n(x) \| = \sqrt{\int _{- 1}^{1}(P_n(x))^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}}.

Bonnet’in yineleme formülünden açık gösterim bir endüksiyon ile

P_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^k \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}^2 \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-k} \left( \frac{1-x}{2} \right)^k.

elde edilir.Askey–Gasper eşitsizliği'nden Legendre polinomları için okunan

\sum_{j=0}^n P_j(x)\ge 0\qquad (x\ge -1).

Legendre polinomlarının bir toplamı -1\leq y\leq 1 için ve -1\leq x\leq1 için Dirac delta fonksiyonuya ilişkilidir


\delta(y-x) = \frac12\sum_{\ell=0}^{\infty} (2\ell + 1) P_\ell(y)P_\ell(x)\,.

birim vektörlerin bir ölçek çarpımının Legendre polinomları küresel harmonikler ile kullanılan açılımı kullanılabilir


P_{\ell}({r}\cdot {r'})=\frac{4\pi}{2\ell + 1}\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta,\phi)Y_{\ell m}^*(\theta',\phi')\,.

burada sırasıyla birim vektörler r ve r' küresel koordinatlar (\theta,\phi) ve (\theta',\phi') var,

Asimptotiklik \ell\rightarrow \infty birimden yoksun eklentiler için


P_{\ell}(\cos \theta)
=
J_0(\ell\theta) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{2}{\sqrt{2\pi \ell \sin \theta}}\cos\left[\left(\ell + \frac{1}{2}\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right]
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})

ve birimden büyük eklentiler için


P_{\ell}\left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) =
I_0(\ell e) + \mathcal{O}(\ell^{-1})
=
\frac{1}{\sqrt{2\pi \ell e}} \frac{(1+e)^{(\ell+1)/2}}{(1-e)^{\ell/2}}
+ \mathcal{O}(\ell^{-1})\,,

burada J_0 ve I_0 Bessel fonksiyonlarıdır.

Legendre polinomlarının kayması[değiştir | kaynağı değiştir]

kayan Legendre polinomları \tilde{P_n}(x) = P_n(2x-1) olarak tanımlanır. Burada "kayan" fonksiyon x\mapsto 2x-1 (aslında, bu bir afin dönüşümdür) is chosen böylece seçilen bu örten gönderme [0, 1] aralığından [−1, 1] aralığına, ima edilen \tilde{P_n}(x) polinomları bu [0, 1] üzerindedir:

\int_{0}^{1} \tilde{P_m}(x) \tilde{P_n}(x)\,dx = {1 \over {2n + 1}} \delta_{mn}.

kayan Legendre polinomu için bir

\tilde{P_n}(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n {n \choose k} {n+k \choose k} (-x)^k.

açık bağıntı ile veriliyor

kayan Legendre polinomları için Rodrigues' formülünün analoğu

\tilde{P_n}(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -x)^n \right].\,

ilk birkaç kayan Legendre polinomlarıdır:

n \tilde{P_n}(x)
0 1
1 2x-1
2 6x^2-6x+1
3 20x^3-30x^2+12x-1
4 70x^4-140x^3+90x^2-20x+1

Legendre fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Polinom çözümleri yanında, Legendre denkleminin polinomal-olmayan çözümlerinin sonsuz seriler ile gösterimi var. Bu ikinci türün Legendre fonksiyonlarıdır,Q_n(x) ile ifade edilir.

Q_n(x)=\frac{n!}{1.3\cdots(2n+1)}\left[x^{-(n+1)}+\frac{(n+1)(n+2)}{2(n+3)}x^{-(n+3)}+\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{2.4(2n+3)(2n+5)}x^{-(n+5)}+\cdots\right]

Diferansiyel denklem

{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} f(x) \right] + n(n+1)f(x) = 0

genel çözümü var

f(x)=AP_n(x)+BQ_n(x),

burada A ve B sabitlerdir.

Kesirli derecenin Legendre fonksiyonları[değiştir | kaynağı değiştir]

Kesirli dereceli Legendre fonksiyonları ve kesirli hesap ile tanımlanan kesirli türevlerin başlangıç noktasından ve tamsayı-olmayan faktöriyeller (gamma fonksiyonu ile tanımlanır) Rodrigues' formülü içinde aşağıdadır. Sonuç fonksiyonlar Legendre diferansiyel denklem aracılığıyla (−1,1) yeterli sürekliliktedir,ama son noktasında bundan böyle düzenlidir.Asosiye Legendre polinomları P0n ile Kesirli dereceli Legendre fonksiyonu Pn uyumludur.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ George B. Arfken, Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Elsevier Academic Press, 2005, pg. 753.

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Dış bağlantılar[değiştir | kaynağı değiştir]