Küresel harmonikler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara
Ilk birkaç küresel harmonikler görsel temsilleri.Burada mavi kısımlar fonksiyonun pozitif bölgelerini ve sarı kısımlar negatif bölgeleri temsil eder.

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözüm kümesinin açısal kısmıdır.Küresel koordinatların bir sistemi içinde gösterimlenir, Laplace'ın küresel harmonikleri Y_\ell^m Pierre Simon de Laplace tarafından ilk 1782 yilinda tanıtılan bir ortogonal sistemin küresel harmonik formlarinin özel bir kümesidir.[1] Küresel harmonikler pek çok teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında pratik uygulamalardır.Kuresel harmonikler 3D Bilgisayar grafiklerinde,dolayli olarak aydınlatma (ortam tıkanıklığı, küresel aydınlatma, Önceden hesaplanan parlaklık transferi, vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

Tarihçe[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel harmonikler üç boyutlar içinde Newton'un evrensel kütle çekim yasası nın Newtonyen potansiyeli ile bağlantısı içinde ilk araştırılan idi.1782 yılında, Pierre-Simon de Laplace idi, onun Mécanique Célestesi içinde idi,xi noktalarında yerleşik nokta kütlelerin bir kümesi için bir x noktasında ilişkisini belirleyen mi ile veriliyor idi

V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}|}.

yukardaki toplamda Her terim bir nokta kütle için Newtonyen potansiyel bir bireyseldir.Sadece ilk zaman, Adrien-Marie Legendre r = |x| ve r1 = |x1| nin güçleri içinde Newtonyen potansiyelin açılımını araştırdı. O eğer rr1 ise için araştırmıştı

\frac{1}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}|} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots

burada γ vektörler x ve x1 arasındaki açıdır.Fonksiyonlar Pi Legendre polinomlarıdır, ve bu küresel harmoniklerin bir özel durumudur. sonradan, in his 1782 memoire, Laplace x1 ve x arasında γ açısını göstermek için küresel koordinatlarda kullanılan katsayıları araştırdı. (Bakınız fizikte Legendre polinomlarının uygulamaları daha detaylı analiz için.)

1867de, William Thomson (Lord Kelvin) ve Peter Guthrie Tait burada Doğa felsefesi üzerine tez içinde katı küresel harmonikleri tanıttı, ve bu fonksiyonlar için ayrıca "küresel harmonikler"in adı ilk kez tanıtıldı.Katı harmonikler Laplace denkleminin homojen çözümleridir

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.

ile küresel koordinatlar içinde Laplace'ın denklemi incelendi, Thomson ve Tait Laplace'ın küresel harmoniklerini açıkladı."Laplace'ın katsayıları" terimi bu çizgi boyunca tanıtılan çözümlerin tanımlanan özel sistemi için William Whewell ile çalışıyor idi, oysa diğer zonal küresel harmonikler için bu düzenleme korundu şöyleki Laplace ve Legendre ile tanıtılmış olan özellikler idi.

19.yy Fourier serisinde gelişmeler dörtgen domenler içinde fizik problemlerinin yaygın bir çeşidinin çözümünü olası yapar, ısı denklemi ve dalga denkleminin çözümü gibi. Bu trigonometrik fonksiyonların serisi içinde fonksiyonların açılımı ile sağlanabilir. Oysa bir Fourier serisi içinde bir sicim içinde titreşimin temel modları gösterilebilir,küresel harmonikler çok daha aynı şekilde içinde bir kürenin titreşiminin temel modları göseriliyor.Fourier serilerinin teorisinin birçok açıdan küresel harmonikler de açılımlar almak yerine trigonometrik fonksiyonlar tarafından genelleştirilmiş.Bu, aslında Laplace ve Legendre tarafından incelenen gök mekaniği gibi, küresel simetri içeren sorunları için bir nimet oldu

20. yy kuantum mekaniğinin doğumu içinde burada sonraki önemi için fizik sahne içinde zaten küresel harmonikler yaygındı.Küresel harmonikler yörünge açısal momentum işlemcisinin karesinin özfonksiyonlarıdır

-i\hbar\mathbf{r}\times\nabla,

ve bunun için bu farklı nicelenmiş atomik yörüngelerin düzenlenimini gösterir.

Laplace'ın küresel harmonikleri[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçek (Laplace) küresel harmoniklerY_{\ell}^m for ℓ= 0, ..., 4 (yukarıdan aşağıya) ve m = 0, ..., 4 (soldan sağa).Negatif dereceli harmonikler Y_{\ell}^{-m} are z 90^\circ/m ile pozitif dereceli olanlara göre yaklaşık döndürülmüştür

Laplace denklemi bir skalar alanın gradyanının diverjansı f in sıfır olduğunu empoze eder.küresel koordinatlar içinde şöyledir:[2]

 \nabla^2 f = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) 
+ {1 \over r^2\sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) 
+ {1 \over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} = 0.

f(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ) formunun bulunan çözümlerinin problemi düşünülüyor.Değişkenin ayrılması ile, iki diferansiyel denklemin Laplace denkleminin empozesi ile sonuç:

\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.

İkinci denklem Y varsayımı altında sadeleştirilebilir Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ) biçimi var.İkinci denklem için yine değişkenlerin ayrılması uygulanarak diferansiyel denklemlerin çifti için verilen yol

\frac{1}{\Phi(\varphi)} \frac{d^2 \Phi(\varphi)}{d\varphi^2} = -m^2
\lambda\sin ^2(\theta) + \frac{\sin(\theta)}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left [ \sin(\theta) \frac{d\Theta}{d\theta} \right ] = m^2

bazı m sayılar içindir. ilk olarak, m bir karmaşık sabittir, ama bir Φ periyodik fonksiyonu böylece 2π periyoduna eşit bölündüğü için olmalı, m zorunlu olarak bir tamsayı ve Φ e±imφ karmaşık üstellerin bir doğrusal bileşimidir.Çözüm fonksiyonu Y(θ,φ) kürenin kutuplarında düzenlidir, burada θ=0,π dir.Domenin sınır noktalarında ikinci denklemin Θ çözümü içinde bu düzenlilik empozesi bir Sturm–Liouville problemi λ parametresinin kuvveti m λ = ℓ(ℓ+1) formunda olan bazı ℓ ≥ |m| ile negatif olmayan tamsayı içindir; bu ayrıca yörünge açısal momentumun terimleri içinde aşağıda açıklanmıştır.Dahası,Legendre denklemi içinde bu denklemin dönüşümü t = cosθ değişkenler dönüşümlerinin bir değişimidir, böylece çözüm P_\ell^m(\cos\theta) asosiye Legendre polinomunun bir çoğuludur.Sonuç olarak,R için denklem R(r) = Ar + Br−ℓ−1;biçiminin çözümü var ve gerekli çözüm R3 boyunca düzenli olan B = 0 kuvvetleridir.[3]

Burada Y(θ,φ) = Θ(θ)Φ(φ).özel biçiminin sahip olduğu varsayılan çözüm idi. ℓ,nin verilen bir çözümü için burada 2ℓ+1 bu biçimlerin bağımsız çözümleridir, m ile −ℓ ≤ m ≤ ℓ. her tamsayı için tektir Burada açısal çözümler trigonometrik fonksiyonların bir çarpımıdır. Burada bir karmaşık üstel,olarak gösterilebilir ve asosiye Legendre polinomları:

 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N \, e^{i m \varphi } \, P_\ell^m (\cos{\theta} )

yerine getirip

 r^2\nabla^2 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = -\ell (\ell + 1 ) Y_\ell^m (\theta, \varphi ).

Burada Y_\ell^m ℓ ve m derecenin bir küresel harmonik fonksiyonu olarak adlandırılır , P_\ell^m bir asosiye Legendre polinomudur, N bir normalizasyon sabitidir, ve θ ve φ sırasıyla represent eş-enlem ve boylamı gösteriyor.Özel olarak, eş-enlem θ, veya kutup açısı, Güney Kutup'ta π den Kuzey Kutupta 0 a kadar aralıklıdır.Ekvatorda π/2'nin varsayılan değeri, ve boylam φ, veya güney açısı, 0 ≤ φ < 2π ile tüm değerleri varsayabiliriz.Bir sabitlenmiş ℓ tamsayısı için,özdeğer probleminin her Y(θ,φ) çözümü

 r^2\nabla^2 Y = -\ell (\ell + 1 ) Y

Y_\ell^m nin bir doğrusal bileşimdir.Aslında,böyle bir çözüm için, rY(θ,φ) böyle bir homojen polinomun küresel koordinatlar içinde bağıntıları harmoniktir (bakınızaşağıda), ve burada gösterilen boyut sayılı polinomlar gibi 2ℓ+1 doğrusal bağımlıdır.

Bir küre merkezli orijininde Laplace denklemi için genel çözüm uygun ölçek çarpanı r ile çarpılan küresel harmonik fonksiyonlarının bir doğrusal bileşimidir,

 f(r, \theta, \varphi) =  \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell  f_\ell^m \, r^\ell  \, Y_\ell^m (\theta, \varphi ),

Burada f_\ell^m sabitlerdir ve çarpanlar r^\ell  \, Y_\ell^m katı harmonikler olarak biliniyor.Bir açılım gibi küre içinde değerdir

 r < R = \frac{1}{\limsup\nolimits_{\ell\to\infty} |f_\ell^m|^{\frac{1}{\ell}}}.

Yörünge açısal momentum[değiştir | kaynağı değiştir]

Kuantum mekanikte, Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun terimleri içinde anlamlıdır[4]

\mathbf{L} = -i\hbar\mathbf{x}\times \nabla = L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j}+L_z\mathbf{k}.

\hbar kuantum mekanikte gelenekseldir; bu \hbar = 1 içindeki birimler içinde çalışma için gelenekseldir.Küresel harmonikler yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonlarıdır

\begin{align}
\mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\
&= -{1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\sin\theta {\partial \over \partial \theta} - {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2  \over \partial \varphi^2}.
\end{align}

Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:

\begin{align}
L_z &= -i\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\
&=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{align}

Bu operatörlerdeki değişme, ve R3 üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir f fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde yoğun tanımlanmış öz-eşleniktir:

\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbf{R}^3} |f(x)|^2 e^{-|x|^2/2}\,dx < \infty.

Daha ötesi, L2 bir pozitif işlemcidir.

Eğer Y ,L2'nin bir ortak özfonksiyonu ve Lz, ise

\begin{align}
\mathbf{L}^2Y &= \lambda Y\\
L_zY &= mY
\end{align}

ile tanımlanır.Bazı gerçek sayılar m ve λ için. Burada m aslında bir tamsayı olmalıdır, Y için periyodik bir sayı ile koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. dahası, yine

\mathbf{L}^2 = L_x^2+L_y^2+L_z^2

ve Lx, Ly, Lz nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ ≥ m2.

Bu Eλ,m ile bu ortak özuzayı, ve yükseltgen ve indirgen işlemciler tanımı ile ifade


\begin{align}
L_+ &= L_x + iL_y\\
L_- &= L_x - iL_y
\end{align}

İse L+ ve L ile L2 değişme, ve L+, L, Lz ile üretilen Lie cebri özel doğrusal Lie cebridir,değişmelilik ilişkileri ile

[L_z,L_+] = L_+,\quad [L_z,L_-] = -L_-, \quad [L_+,L_-] = 2L_z.

Böylece L+ : Eλ,mEλ,m+1 (bu bir "operatörü yükseltmek"tir) ve L : Eλ,mEλ,m−1 (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak, Lk+ : Eλ,mEλ,m+k yeterince büyük k için sıfır olmalı, çünkü λ ≥ m2 eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki Y ∈ Eλ,m bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun, ve diyelimki k en küçük tamsayı olsun böylece

L_+^kY = 0.

ise, yine

L_-L_+ = \mathbf{L}^2 - L_z^2 -L_z

bu aşağıda şöyledir

0=L_-L_+^k Y = (\lambda - (m+k)^2-(m+k))Y.

Böylece ℓ = m+k pozitif tamsayı için λ = ℓ(ℓ+1).

Kurallar[değiştir | kaynağı değiştir]

Diklik ve normalleştirme[değiştir | kaynağı değiştir]

Birkaç farklı normalleştirmeler Laplace küresel harmonik fonksiyonları için yaygın kullanım içindedir.Bölüm boyunca,Biz bu standart yöntemi kullanıyoruz (bak asosiye Legendre polinomları)

P_\ell ^{-m} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P_\ell ^{m}

Rodrigues'in aşağıdaki formül ile verilen doğal normalleştirme ki şudur.

sismolojide, Laplace küresel harmonikleri (bu kurallar bu yazı içinde kullanıldı)

 Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

olarak genel tanımıdır.Kuantum mekanik içinde ise:[5][6]

 Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = (-1)^m \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

ortonormal olan şudur.

\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},

burada δij Kronecker delta ve dΩ = sinθ dφ dθ dır. Bu olasılık normalize olmasını sağlar, örneğin, çünkü bu normalleşme kuantum mekaniği kullanılır

\int{|Y_\ell^m|^2 d\Omega} = 1.

Jeodezi ve spektral analiz kullanım disiplinleri

 Y_\ell^m( \theta , \varphi ) =  \sqrt{{(2\ell+1) }{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi }

birim güce sahip olan

{1 \over 4 \pi} \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*} d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.

manyetikler topluluğunun, aksine Schmidt yarı normalize harmonikleri kullanır

 Y_\ell^m( \theta , \varphi ) = \sqrt{{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}}  \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }

bu normalleştirmedir

 \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'*}d\Omega={4 \pi \over (2 \ell + 1)}\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.

Kuantum mekaniğinde bu normalleştirmede bazen kullanılır, ve sonra Giulio Racah adına Racah'ın normalleşmesi dendi.

Bunun yukarıdaki normalleştirilmiş küresel harmonik fonksiyonların tümünü karşılayacak olduğu gösterilebilir

Y_\ell^{m*} (\theta, \varphi) = (-1)^m Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),

burada üstsimge * ye karmaşık eşlenik denir. Karşıt olarak, bu denklem küresel harmonik fonksiyonlar ile Wigner D-matrisinin ilişkisinden aşağıdadır.

Condon-Shortley fazı[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel harmonik fonksiyonların tanım karışıklıklarının tek kaynağı endişeleri m > 0, 1 için (−1)m' in bir faz faktörü hariç, kuantum mekanik literatür içinde Condon–Shortley fazı olarak sık anılır.kuantum mekanik topluluğu içinde,yada asosiye Legendre polinomlarının tanımı içinde küresel harmonik fonksiyonların tanımına eklemek için bu faz faktörünü içeren uygulama yaygındır.Burada küresel harmonik fonksiyonların tanımı içinde Condon–Shortley fazını kullanmaya gerek yoktur, ama o dahil yükselten ve alçaltan işlemcilerin özel uygulamalarını bazı kuantum mekanik işlemcileri kolaylaştırabilir. geodezi[7]ve manyetik topluluk hiçbir zaman ne küresel harmonik fonksiyonların kendi tanımı nede asosiye Legendre polinomlarının olanlar içinde Condon–Shortley faz faktorünü içeriyor.[kaynak belirtilmeli]

Gerçek form[değiştir | kaynağı değiştir]

Küresel harmoniklerin bir gerçek tabanı onların karmaşık analog terimleri içinde tanımlanabilir çerçevesi ile


\begin{align}
Y_{\ell m} &=
\begin{cases}
\displaystyle {i \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{if}\ m<0\\
\displaystyle  Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\
\displaystyle  {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{if}\ m>0.
\end{cases}\\
&=
\begin{cases}
\displaystyle {i \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m<0\\
\displaystyle  Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\
\displaystyle  {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} + (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m>0.
\end{cases}
\end{align}

Condon-Shortley faz kuralı tutarlılık için burada kullanılmıştır. Karşılık gelen ters denklemler


Y_{\ell}^{m} =
\begin{cases}
\displaystyle {1 \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m<0 \\
\displaystyle  Y_{\ell 0} &\text{if}\ m=0\\
\displaystyle  {(-1)^m \over \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} + i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m>0.
\end{cases}

Gerçek küresel harmonikler bazen tesseral küresel harmonikler olarak biliniyor.[8] Bu işlevler yukarıda karmaşık olanlar aynı ortonormalite özelliklere sahiptir.m > 0 harmonikler ile cos tip'inin olduğu söylenir, ve böylece sine tip'inin m < 0 ile . Bunun nedeni olarak Legendre polinomları açısından işlevleri yazılarak görülebilir


Y_{\ell m} =
\begin{cases}
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} P_\ell^m(\cos \theta) \cos m\varphi & \mbox{if } m>0 \\
 \displaystyle \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-m)!\over (\ell+m)!}} P_\ell^m(\cos \theta) & \mbox{if } m=0\\
 \displaystyle \sqrt{2} \sqrt{{(2\ell+1)\over 4\pi}{(\ell-|m|)!\over (\ell+|m|)!}} P_\ell^{|m|}(\cos \theta) \sin |m|\varphi  &\mbox{if } m<0.
\end{cases}

Aynı sinüs ve kosinüs faktörler de kartezyen gösterimi ile ilgilidir, aşağıdaki alt bölümde görülebilir.

kadar gerçek küresel harmoniklerin listesi için bakınız burada ve \ell = 4 içeriyor , bunun yukarıdaki denklemlerin çıkışı ile uyumlu olduğu görülebilir.

Kuantum kimyada kullanımı[değiştir | kaynağı değiştir]

Hidrojen atomu için analitik çözümlerden bilindiği gibi, dalga fonksiyonunun açısal kısmının özfonksiyonlarının küresel harmonikleri bulunmaktadır. Ancak, manyetik şartlar olmaksızın göreli olmayan Schrödinger denkleminin çözümleri gerçek hale getirilebilir.Programlar daha sonra karmaşık cebir kullanmak gerekmez gibi gerçek formlar yoğun, kuantum kimyası için temel fonksiyonlarında kullanılan budur.İşte, bu gerçek fonksiyonlar, karmaşık olanları olduğu gibi aynı alanı kapsayan dikkat etmek önemlidir.

Örneğin olarak küresel harmonik tablosundan görülebileceği gibi, olağan p işlevleri (l=1) karmaşıktır ve eksen yön karışımı, ama gerçek versiyonlar aslında sadece x, y ve z.

Kartezyen formu içinde küresel harmonikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlar içinde normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):


r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_\ell^{m} \\
 Y_\ell^{-m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
(-1)^m (A_m +  i B_m) \\
\qquad (A_m -  i B_m) \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

ve 'm = 0 için:


r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .

Burada


A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos ((m-p) \frac{\pi}{2}),

B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin ((m-p) \frac{\pi}{2}),

ve


\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.

m = 0 için bu


\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.

ya indirgenir

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

\bar{\Pi}^\ell_m(z), A_m(x,y)\,, ve B_m(x,y)\, için biz yukarıdakilerden açıkça listelenmiş şu bağıntıları elde ederiz:


 Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} (5z^2-r^2)(x+iy) =
-  \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot  \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} (5\cos^2\theta-1) (\sin\theta e^{i\varphi})

Y^{-2}_4 =  \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7z^2-r^2) (x-iy)^2
=  \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7 \cos^2\theta -1) (\sin^2\theta e^{-2 i \varphi})

Bu burada ve burada listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir .

Gerçek form[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor,m>0 için bunun olduğu görülmektedir yalnızca A_m terimleri (kosinus)içeriyor ve m<0 için yalnızca B_m terimleri (sinüs) içeriyor:


r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_{\ell m} \\
 Y_{\ell -m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
 A_m \\
 B_m \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

ve m = 0 için:


r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .

Spektrum analizi[değiştir | kaynağı değiştir]

Sinyal işlemci içinde kuvvet spektrumu[değiştir | kaynağı değiştir]

bir f fonksiyonunun toplam kuvveti kare fonksiyonun integrali olarak işaret işleme literatüründe tanımlanıyor, bu domenin bölgesi ile bölünür.Gerçek birim-kuvvet küresel harmonik fonksiyonların ortonormalite özellikleri kullanılıyor, bu birim küre üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun toplam gücünü doğrulamak için basitçe Parseval teoreminin bir genellemesi spektral katsayılarla ilişkilidir:

\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega  |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),

burada

S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell  |f_{\ell m}|^2

açısal kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor.Benzer bir şekilde, bir iki fonksiyon arasında çapraz güç tanımlayabilirsiniz

\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega  f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),

burada

S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell  f_{\ell m} g^\ast_{\ell m}

çapraz-kuvvet spektrumu olarak tanımlanıyor. Eğer fonksiyonlar f ve g have bir (yani spektral katsayılar f00 ve g00 sıfırdır) ortada sıfır var, ise sırasıyla Sff(ℓ) ve Sfg(ℓ) fonksiyon'ların değişken için ve ℓ derecesi için eşdeğişken katkısını gösterir. Bu yaygın e (çapraz-)kuvvet spektrum formunun bir kuvvet kanunu ile iyi yaklaşıklıktır

S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.

Eğer β = 0,spektrum eş kuvvet her derecesine sahip olarak "beyaz"dır.Eğer β < 0 ise,spektrum "kırmızı" olarak adlandırılan düşük dereceden de daha kuvvetli yüksek dereceden uzun dalgadır.Sonuç olarak, eğer β > 0 ise, spektrum "mavi" olarak adlandırılıyor.Sff(ℓ)nin büyüklüğünün derecesi üzerinde durum son kesit içinde fnin diferansiyellenebilirliklerinin derecesine göredir .


Diferansiyellenebilir özellikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Ayrıca orijinal fonksiyonunun Sff(ℓ)in asimtotik terimleri içinde f orijinal fonksiyonunun türevlenebilir özellikleri anlaşılabilir. Özel olarak, eğer Sff(ℓ) ℓ → ∞ olarak ℓ'nin herhangi kesirli fonksiyonu daha hızlı çürüyorsa, f sonsuz türevlenebilirdir. Ve dahası Sff(ℓ) üstel bozunma ise f küre üzerinde aslında gerçek analitiktir.

Diferansiyellenebilirlik için Sff(ℓ) in büyüklüğü ile ilişkili durumları Fourier serisinin katsayılarının büyümesi ndeki analog sonuçlara benzer ise genel teknik olarak Sobolev uzayının teorisi kullanılıyor. Özellikle eğer

\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,

ise f Sobolev uzayı Hs(S2) içindedir. Özel olarak,Sobolev gömme teoremi f

S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty

şartıyla tüm sler için sonsuz türevlenebilir anlamına gelir.

Küresel harmonikleri gösterimleme[değiştir | kaynağı değiştir]

Birim küre ve nodal çizgiler üzerinde Y_{\ell m} nin şematik gösterimi.\text{Re}[Y_{\ell m}] büyük çemberler kutuplara geçerek m boyunca 0'a eşittir, ve ℓ−m boyunca eşit enlem çemberleri. Fonksiyon değişiklikleri bu hatlardan birini kestiği her zaman işareti.
n = 5 derecenin küresel harmoniklerinin 3D renkli çizimi. unutmadan n = ℓ.

Y_\ell^m Laplace küresel harmonikler burada "düğüm çizgileri" göz önüne alınarak görselleştirilebilir, şöyleki, burada \text{Re}[Y_\ell^m] = 0, küre üzerinde noktaların kümesi veya karşıt olarak burada \text{Im}[Y_\ell^m] = 0. dir Y_\ell^mnin düğüm çizgileri çemberin oluşumudur: bazıları enlemlerdir ve diğerleri boylamlardır. Enlemsel ve bağımsız boyuna tarifi içinde Y_\ell^mnin sıfırlarının sayısının sayılması ile her tipinin düğüm çizgilerinin sayısı belirlenebilir. Enine yönünde için, asosiye Legendre polinomlarının sanal ve gerçek bileşenleri her ℓ−|m| sıfırlarına sahiptir,oysa, uzunlamasına yön için,trigonometrik sin ve cos fonksiyonları 2|m| sıfırlara sahiptir.

Eğer küresel harmonik derece m (sol-üst resim) sıfır ise, küresel harmonik fonksiyonlar boylam bağlı olmayan, ve zonal olarak adlandırılır. Bu gibi küresel harmonikler zonal küresel fonksiyonların bir özel durumudur Eğer ℓ = |m| (Şekilde sağ alt) ise, burada enlem içinde sıfır geçidi yoktur, ve fonksiyonlar sektörel olarak adlandırılır. Diğer durumlar için, küre denetleyicisi fonksiyonları, ve bu tesseral olarak adlandırılır.

Daha genel ℓ derecesinin küresel harmonikleri are Laplace tabanı Y_\ell^mnın böyle olması gerekmez, ve burada nodal(düğümsel) kümeler oldukça genel bir tipi olabilir.[9]

Küresel harmoniklerin listesi[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}
Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta
Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}
Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}
Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)
Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}

Yüksek boyutlar[değiştir | kaynağı değiştir]

Klasik küresel harmonikler üç-boyutlu Öklid uzayı içerisinde birim küre S2 üzerinde fonksiyonlar olarak tanımlanıyor . Küresel harmonikler yüksek-boyutlu Öklid uzayı Rn için genelleştirilebilir olarak aşağıdadır.[10] Diyelimki P n değişkenleri içinde ℓ derecesinin homojen polinomlarının uzayını ifade eder.Şöyleki, bir P polinomu P içinde şunu sağlıyor.

P(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^\ell P(\mathbf{x}).

Diyelimki P nin altuzayı ifadesi A tüm harmonik polinomlarının oluşturuyor; bu katı küresel harmoniklerdir.Diyelimki H birim kürenin üzerindeki fonksiyonların uzayını ifade ediyor

S^{n-1} = \{\mathbf{x}\in\mathbf{R}^n\,\mid\, |x|=1\}

A dan sınırlandırılarak elde edilir.

aşağıdaki özellikler uyar:

  • H uzayının toplamı tektip topoloji ye göre Sn−1 üzerinde sürekli fonksiyonun kümesi içinde yoğunluk Stone-Weierstrass teoremi iledir.Bir sonuç olarak, bu uzayın toplamı küre üzerinde kare integrallenebilir fonksiyonların L2(Sn−1) uzayı içinde ayrıca yoğunluktur .Böylece bir küresel harmoniklerin bir serisi içinde küre teklik ayrışması üzerinde her kare integrallenebilir fonksiyon, burada L2 içinde anlamı yakınsak seridir.
  • Tüm f ∈ H ,için tek olan
\Delta_{S^{n-1}}f = -\ell(\ell+n-2)f.
burada ΔSn−1 Sn−1 üzerinde Laplace–Beltrami işlemcisi dir .Bu operatör üç boyutlu Laplacian'ın açısal kısmının analogudur;Demek ki,n boyutlarda Laplasyen olarak parçalanır
\nabla^2 = r^{1-n}\frac{\partial}{\partial r}r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}}.
  • Bu Stokes teoremi ve H uzayı önceki özelliği takip eden L2(Sn−1) dan iç çarpıma göre ortogonaldir. Demek ki,
\int_{S^{n-1}} f\bar{g}\,d\Omega = 0
f ∈ H ve g ∈ Hk for k ≠ ℓ.için
  • Aksine, H uzayı ΔSn−1 nın öz uzayları tamdır. Özel olarak, \Delta_{S^{n-1}}^{-1} Riesz potansiyeli için spektral teoreminin bir uygulaması H uzayları diğer kanıtları veriyor.İkişerli ortogonal ve L2(Sn−1) içinde tamdır.
  • Her homojen polinom P ∈ P formu içinde teklik yazılabilir
P(x) = P_\ell(x) + |x|^2P_{\ell-2} + \cdots + \begin{cases} 
|x|^\ell P_0 & \ell \rm{\ even}\\
|x|^{\ell-1} P_1(x) & \ell\rm{\ odd}
\end{cases}
burada Pj ∈ Aj. Özel olarak,
\dim \mathbf{H}_\ell = \binom{n+\ell-1}{n-1}-\binom{n+\ell-3}{n- 1}.

yüksek boyutlar içinde küresel harmoniklerin bir ortogonal tabanı değişkenlerin ayrılmasının metodu ile tümevarım ile inşa edilebilir,küresel Laplasyen için Sturm-Liouville problemi çözümü ile

\Delta_{S^{n-1}} = \sin^{2-n}\phi\frac{\partial}{\partial\phi}\sin^{n-2}\phi\frac{\partial}{\partial\phi} + \sin^{-2}\phi \Delta_{S^{n-2}}

burada φ Sn−1 üzerinde bir küresel koordinat sistemi içinde eksenel koordinattır.Bir işlem gibi sonuçtur[11]

Y_{l_1, \dots l_{n-1}} (\theta_1, \dots \theta_{n-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i l_1 \theta_1} \prod_{j = 2}^{n-1} {}_j \bar{P}^{l_{n-2}}_{l_j} (\theta_j)

burada |ℓ1| ≤ ℓ2 ≤ ... ≤ ℓn−1 indisleri karşılar ve özdeğer −ℓn−1(ℓn−1 + n−2)dır.Çarpım içindeki foksiyonlar Legendre fonksiyonunun terimleri içinde tanımlanıyor

{}_j \bar{P}^l_{L} (\theta) = \sqrt{\frac{2L+j-1}{2} \frac{(L+l+j-2)!}{(L-l)!}} \sin^{\frac{2-j}{2}} (\theta) P^{-(l + \frac{j-2}{2})}_{L+\frac{j-2}{2}} (\cos \theta)

Gösterim teorisi ile bağlantısı[değiştir | kaynağı değiştir]

H uzayı ℓ derecenin küresel harmoniğinin bir (SO(3))nokta çevresinde dönmelerin simetri grubunun bir gösterimi ve SU(2) çift örtüktür. Aslında,iki-boyutlu küre üzerinde dönme hareketi, ve böylece ayrıca fonksiyon düzeni ile H üzerinde

 \psi \mapsto \psi\circ\rho

ψ için bir küresel harmonik ve ρ bir dönme ve H gösterimi SO(3)ün bir indirgenemez gösterimidir.

Hnın ögeleri Anın ögelerinin küre için sınırlandırılmış olarak ortaya çıkar:üç-boyutlu öklid uzayı R3 üzerinde ℓ derecenin homojen harmonik polinomlarıdır.ψ ∈ A nin polarizasyonu ile, burada \psi_{i_1\dots i_\ell} indisler üzerinde teklik şartı ile belirlenen simetrik katsayılardır,

\psi(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell}\psi_{i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell}.

Durum that ψ be harmonik is tensör \psi_{i_1\dots i_\ell} onaylanması için eşdeğerdir ve indislerin her çifti üzerinde bağımsız iz olmalı. Böylece SO(3), H nin indirgenemez gösterim olarak ℓ derecesinin simetrik tensörlerinin izsizlik uzayı için izomorfiktir.

Daha genel olarak, yüksek boyutlar içinde tutan analog durumlar: n-küre üzerinde küresel harmoniklerin H uzayı izsiz simetrik ℓ-tensörler için karşılık gelen SO(n+1)nin indirgenemez gösterimidir. Bununla birlikte, oysa SO(2)nin ve SO(3) ün her indirgenemez tensör gösterimi bu türündür,yüksek boyutlar içinde özel ortogonal gruplar ek bir indirgenemez gösterimleri var ve bu tutum içinde ortaya çıkmaz .

özel ortogonal grupların have ek spin gösterimleri var ve tensör gösterimleri değildir, ve tipik olarak küresel harmonikler değildir. bir istisna SO(3)ün spin gösterimidir: strictly speaking these are çift örtü SU(2) ve SO(3)ün çift örtünün gösterimidir. sırayla, SU(2) birim kuaterniyonların grubu ile özdeştir, ve 3-küre ile ile bu çakışma,3-küre üzerinde küresel harmoniklerin uzayı SO(3)ün belli dönmesidir,kuaterniyonik çarpım ile harekete göre.

Genellemeler[değiştir | kaynağı değiştir]

İki-kürenin açı koruyucu simetrileri Möbiüs dönüşümleri PSL(2,C)'nin grubu ile tarif edilmektedir.Bu grup ile ilgili olarak, küre genel Riemann kürenin eşdeğeridir.Grup PSL(2,C) (uygun) Lorentz grubuna izomorf ve iki küre üzerinde hareket Minkowski uzayında göksel küre üzerinde Lorentz grubunun eylemi ile uygundur.Lorentz grubunun küresel harmonik analogu bir Hipergeometrik seri ile verilir; bundan başka, küresel harmoniklerin terimleri içinde yeniden ifade edileblir.SO(3) = PSU(2) olarak PSL(2,C)nin bir altgrubudur.Daha genel olarak, hipergeometrik serisi herhangi bir simetrik uzay simetrilerini açıklamak için jeneralize olabilir; Özellikle, hipergeometrik serisi herhangi bir Lie grubu için geliştirilmiş olabilir. [12][13][14][15]

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ A historical account of various approaches to spherical harmonics in three-dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.
  2. ^ The approach to spherical harmonics taken here is found in Courant & Hilbert 1966, §V.8, §VII.5.
  3. ^ Fizik uygulamalarda sıklıkla sonsuzda kaybolan bu çözüm alınır,A = 0 yapıyor.Bu küresel harmoniklerin açısal kısmı etkilemez.
  4. ^ Edmonds 1957, §2.5
  5. ^ Messiah, Albert (1999). Quantum mechanics : two volumes bound as one (Two vol. bound as one, unabridged reprint bas.). Mineola, NY: Dover. ISBN 9780486409245. 
  6. ^ al.], Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë; transl. from the French by Susan Reid Hemley ... [et (1996). Quantum mechanics.. Wiley-Interscience: Wiley. ISBN 9780471569527. 
  7. ^ Heiskanen and Moritz, Physical Geodesy, 1967, eq. 1-62
  8. ^ Watson & Whittaker 1927, sayfa 392.
  9. ^ Eremenko, Jakobson & Nadirashvili 2007
  10. ^ Solomentsev 2001; Stein & Weiss 1971, §Iv.2
  11. ^ Higuchi, Atsushi (1987). "Symmetric tensor spherical harmonics on the N-sphere and their application to the de Sitter group SO(N,1)". Journal of Mathematical Physics 28 (7). http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v28/i7/p1553_s1. 
  12. ^ N. Vilenkin, Special Functions and the Theory of Group Representations, Am. Math. Soc. Transl.,vol. 22, (1968).
  13. ^ J. D. Talman, Special Functions, A Group Theoretic Approach, (based on lectures by E.P. Wigner), W. A. Benjamin, New York (1968).
  14. ^ W. Miller, Symmetry and Separation of Variables, Addison-Wesley, Reading (1977).
  15. ^ A. Wawrzyńczyk, Group Representations and Special Functions, Polish Scientific Publishers. Warszawa (1984).

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Cite edilmiş kaynaklar
Genel kaynakça