Küresel harmonikler

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Matematikte, küresel harmonikler Laplace denkleminin çözümlerinin bir dizi açısal kısmıdır.Küresel koordinatların bir sistemi içinde temsil edilir, Laplace'ın küresel harmonikler Y_\ell^m ilk 1782 yılında Pierre Simon de Laplace tarafından tanıtılan bir ortogonal sistemi oluşturan küresel harmoniklerin belirli bir kümesidir.[1] Küresel harmonikler pek çok teorik önem taşımaktadır ve özellikle atomik yörünge elektron konfigürasyonları, yerçekimi alanları, geoitleri ve gezegen ve yıldızların manyetik alanlarının temsili ve kozmik mikrodalga arka plan radyasyonu karakterizasyonu hesaplanmasında pratik uygulamalardır. 3D Bilgisayar grafiklerinde, küresel harmonikler dolaylı olarak aydınlatma (ortam tıkanıklığı, küresel aydınlatma, Önceden hesaplanan parlaklık transferi, vb) ve 3D şekillerin tanınması gibi konularda geniş bir yelpazede özel bir rol oynamaktadır.

Yörünge açısal momentum[değiştir | kaynağı değiştir]

Kuantum mekanikte, Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun terimleri içinde anlamlıdır[2]

\mathbf{L} = -i\hbar\mathbf{x}\times \nabla = L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j}+L_z\mathbf{k}.

\hbar kuantum mekanikte gelenekseldir; bu \hbar = 1 içindeki birimler içinde çalışma için gelenekseldir.Küresel harmonikler yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonlarıdır

\begin{align}
\mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\
&= -{1 \over \sin\theta}{\partial \over \partial \theta}\sin\theta {\partial \over \partial \theta} - {1 \over \sin^2\theta}{\partial^2  \over \partial \varphi^2}.
\end{align}

Laplace'ın küresel harmonikleri yörünge açısal momentumun karesinin özfonksiyonları ile ortaktır ve azimutal eksen ile ilgili dönmelerin üreteçleridir:

\begin{align}
L_z &= -i\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\
&=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}.
\end{align}

Bu operatörlerdeki değişme, ve R3 üzerinde normal dağılıma sırasıyla kare-integrallenebilir f fonksiyonunun Hilbert uzayı üzerinde yoğun tanımlanmış öz-eşleniktir:

\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\mathbf{R}^3} |f(x)|^2 e^{-|x|^2/2}\,dx < \infty.

Daha ötesi, L2 bir pozitif işlemcidir.

Eğer Y ,L2'nin bir ortak özfonksiyonu ve Lz, ise

\begin{align}
\mathbf{L}^2Y &= \lambda Y\\
L_zY &= mY
\end{align}

ile tanımlanır. bazı gerçek sayılar m ve λ için. Burada m aslında bir tamsayı olmalıdır, Y için periyodik bir sayı ile koordinat φ içinde 2π ile eşit bölen periyot olmalı. dahası, yine

\mathbf{L}^2 = L_x^2+L_y^2+L_z^2

ve Lx, Ly, Lz nin her biri öz-eşleniktir, bu aşağıda şöyledir λ ≥ m2.

Bu Eλ,m ile bu ortak özuzayı, ve yükseltgen ve indirgen işlemciler tanımı ile ifade


\begin{align}
L_+ &= L_x + iL_y\\
L_- &= L_x - iL_y
\end{align}

İse L+ ve L ile L2 değişme, ve L+, L, Lz ile üretilen Lie cebri özel doğrusal Lie cebridir,değişmelilik ilişkileri ile

[L_z,L_+] = L_+,\quad [L_z,L_-] = -L_-, \quad [L_+,L_-] = 2L_z.

Böylece L+ : Eλ,mEλ,m+1 (bu bir "operatörü yükseltmek"tir) ve L : Eλ,mEλ,m−1 (bu bir "indirgeyici işlemci"dir). Özel olarak, Lk+ : Eλ,mEλ,m+k yeterince büyük k için sıfır olmalı, çünkü λ ≥ m2 eşitsizliği önemsiz olmayan ortak her özuzayın içindekini tutmalı. Diyelimki Y ∈ Eλ,m bir sıfır olmayan ortak özfonksiyon olsun, ve diyelimki k en küçük tamsayı olsun böylece

L_+^kY = 0.

ise, yine

L_-L_+ = \mathbf{L}^2 - L_z^2 -L_z

bu aşağıda şöyledir

0=L_-L_+^k Y = (\lambda - (m+k)^2-(m+k))Y.

Böylece ℓ = m+k pozitif tamsayı için λ = ℓ(ℓ+1).

Kartezyen formu içinde küresel harmonikler[değiştir | kaynağı değiştir]

Kartezyen koordinatlar içinde normalize küresel harmonikler ifadesi aşağıdadır (Condon-Shortley fazı):


r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_\ell^{m} \\
 Y_\ell^{-m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
(-1)^m (A_m +  i B_m) \\
\qquad (A_m -  i B_m) \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

ve 'm = 0 için:


r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .

Burada


A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos ((m-p) \frac{\pi}{2}),

B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin ((m-p) \frac{\pi}{2}),

ve


\bar{\Pi}^m_\ell(z)
= \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2}
\sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!}
\; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}.

m = 0 için bu


\bar{\Pi}^0_\ell(z)
= \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} 
 (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}.

ya indirgenir

Örnekler[değiştir | kaynağı değiştir]

\bar{\Pi}^\ell_m(z), A_m(x,y)\,, ve B_m(x,y)\, için biz yukarıda açıkça listelenmiş kullanılan bağıntıları elde ederiz:


 Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} (5z^2-r^2)(x+iy) =
-  \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot  \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} (5\cos^2\theta-1) (\sin\theta e^{i\varphi})

Y^{-2}_4 =  \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7z^2-r^2) (x-iy)^2
=  \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2}(7 \cos^2\theta -1) (\sin^2\theta e^{-2 i \varphi})

Bu burada ve burada listelenmiş fonksiyon ile bu kabul doğrulanabilir .

Gerçek form[değiştir | kaynağı değiştir]

Gerçek küresel harmonikler formuna yukardaki denklemler kullanılıyor, it is seen that for m>0 için bu only the A_m terimleri (kosinus)içeriyor ve for m<0 için yalnızca B_m terimleri (sinüs) içeriyor:


r^\ell\,
\begin{pmatrix}
 Y_{\ell m} \\
 Y_{\ell -m}
\end{pmatrix}
=
\left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z)  
\begin{pmatrix}
 A_m \\
 B_m \\
\end{pmatrix} ,
\qquad m > 0.

ve m = 0 için:


r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}
\bar{\Pi}^0_\ell  .


Küresel harmoniklerin listesi[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk birkaç ortonormalize edilmiş Laplace küresel harmonik(=salınan) için analitik bağlantılar kullanılan Condon-Shortley faz kuralı:

Y_{0}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{1\over \pi}
Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi}
Y_{1}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{3\over \pi}\, \cos\theta
Y_{1}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{3\over 2\pi}\, \sin\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi}
Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi)={1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi}
Y_{2}^{0}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{5\over \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1)
Y_{2}^{1}(\theta,\varphi)={-1\over 2}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi}
Y_{2}^{2}(\theta,\varphi)={1\over 4}\sqrt{15\over 2\pi}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi}

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Notlar[değiştir | kaynağı değiştir]

  1. ^ A historical account of various approaches to spherical harmonics in three-dimensions can be found in Chapter IV of MacRobert 1967. The term "Laplace spherical harmonics" is in common use; see Courant & Hilbert 1962 and Meijer & Bauer 2004.
  2. ^ Edmonds 1957, §2.5

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]

Cite edilmiş kaynaklar
Genel kaynakça