Karekök ortalama

Başlığın diğer anlamları için Karekök (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Karekök ortalama; matematikte root mean square (kısaltması RMS ya da rms) ayrıca kuadratik ortalama olarak da bilinir. Değişen miktarların büyüklüğünün ölçülmesinde kullanılan istatistik bir ölçüttür. Değişimin artı ve eksi yönde olduğu dalgalarda özellikle çok faydalıdır.

Sürekli olarak değişen bir fonksiyonun sürekli olmayan değer serisi için hesaplanabilir. Karekök ortalama ismi karelerin ortalamasının karekökünün alınmasından gelir.

Tanım

$k_\text{g} = \left [ \sqrt{ \langle {Ni \over N}\rangle}-1\right ] X 100$

$k$

$K_\text{gort}= \left [ {k_\text{g1}+k_\text{g2}+k_\text{g3}+\ldots+k_\text{gn}\over n}\right ]$

$N_\text{g}= N_\text{s}\left [1 + {K_\text {g}\over 100}\right ]^{\langle tg-ts\rangle}$

Karekök ortalama hesaplanması

$n$ sayıdaki değerlerin $\{x_1,x_2,\dots,x_n\}$ RMS değeri;

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} = \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}$

olarak hesaplanır.

$T_1 \le t \le T_2$ aralığında sürekli bir f(t) fonksiyonu için karşılık gelen formülü;

$f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}}$

Bir periyodik fonksiyonun RMS değeri fonsiyonun bir periyodunun RMS değerine eşittir. Sürekli bir fonksiyonun ya da sinyalin RMS değeri eşit aralıklarla bir dizi RMS değeri örneklenerek yaklaşık olarak hesaplanabilir.

Kullanım yerleri

Bir fonksiyonun RMS değeri çoğunlukla fizik ve elektrik mühendisliğinde kullanılır. Örneğin, $R$ direncindeki bir iletken tarafından harcanan $P$ gücünü hesaplamak isteyebiliriz. İletkenden sabit bir $I$ akımı aktığında bu hesabı yapmak kolaydır. Basitçe:

$P = I^2 R\,\!$

Ancak akım değişen bir $I(t)$ fonksiyonu ise burada rms değeri devreye girer.

$P_\mathrm{avg}\,\!$	$= \langle I^2R \rangle \,\!$ ($\langle \ldots \rangle$ aritmetik ortalamayı ifade eder)
	$= R\langle I^2 \rangle\,\!$ (R bir sabit olduğuna göre ortalamanın dışına çıkarılabilir)
	$= I_\mathrm{rms}^2R\,\!$ (RMS in tanımından)

Aynı metod ile;

$P_\mathrm{avg} = {V_\mathrm{rms}^2\over R}\,\!$

$P_\mathrm{avg} = V_\mathrm{rms}I_\mathrm{rms}\,\!$

Ancak bu tanım gerilimın ve akımın birbiriyle orantılı olduğu (yani yükün resistif olduğu) varsayımı temel alınarak yapılmıştır ve genellenemez.

Şebeke güçlerinde olduğu gibi alternatif akımın genel durumunda, $I(t)$ sinusoidal akım olduğunda rms değeri yukarıdaki sürekli durum denkleminden kolaylıkla hesaplanabilir. $I_{\mathrm{p}}$ yi tepe genliği olarak tanımladığımızda:

$I_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {(I_\mathrm{p}\sin(\omega t)}\, })^2 dt}\,\!$

$I_{\mathrm{p}}$ positif bir gerçek sayı olduğuna göre,

$I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {\sin^2(\omega t)}\, dt}}$

Trigonometrik fonksiyonun karesinin alınmasını elimine etmek için trigonometrik bir varlık kullanıldığında:

$I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {{1 - \cos(2\omega t) \over 2}}\, dt}}$

$I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2} -{ \sin(2\omega t) \over 4\omega}} \right ]_{T_1}^{T_2} }$

Fakat aralık tam periyotlardan oluşan bir tam sayı olduğu için (rms in periyodik fonksiyonlar için tanımından $\omega = \frac{2 \pi}{t}$) Sinüs değerler iptal edilir.

$I_{\mathrm{rms}} = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} \left [ {{t \over 2}} \right ]_{T_1}^{T_2} } = I_\mathrm{p}\sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {{{T_2-T_1} \over 2}} } = {I_\mathrm{p} \over {\sqrt 2}}$

Saf bir sinüs dalgası için; tepe voltajı = RMS voltajı x 1.414($\sqrt{2}$) tür. Tepeden tepeye voltajı bunun iki katıdır.

Dönüşüm katsayıları

• Tepe genliği $I_\mathrm{p}$ tepeden tepeye genliğin $I_\mathrm{p-p}$ yarısıdır.
• Bir AC dalga formunun zirve faktörü (crest factor); tepe(zirve) değerinin RMS değerine oranıdır.
• Bir AC dalga formunun şekil faktörü (form factor); tepe(zirve) değerinin ortalama değerine oranıdır.

Sinüs dalga için;

• RMS değeri = 0.707 x Tepe değeri
• Ortalama Değeri = 0.637 x Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Kare dalga için;

• RMS değeri = Tepe değeri
• Ortalama Değeri = (Tepe değeri x Darbe süresi) / Periyot
• Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Üçgen dalga için;

• RMS değeri = 0.577 x Tepe değeri
• Ortalama Değeri = 0.33 x Tepe değeri
• Tepeden tepeye değeri = 2 x Tepe değeri

Dış Kaynaklar

• RMS calculator
• An explanation of why RMS is a misnomer when applied to power
• RMS, Peak and Average for some waveforms