Elektromanyetik sınır koşulları

Elektromanyetik sınır koşulları, elektromanyetik alanların iki malzeme arasındaki yüzeydeki ilişkilerini belirler. Yalıtkanlık sabiti ve/veya geçirgenlik sabitinin değiştiği arayüzlerde elektrik alan, elektrik akı yoğunluğu, manyetik alan ve manyetik akı yoğunluğunun değişimi ya da sürekliliği için farklı kurallar bulunmaktadır. Bu kurallar Maxwell denklemleri'nin integral gösterimleri ile türetilebilir.

Bu yüzey sınır koşulları, elektromanyetik sınır değer problemlerindeki Dirichlet ve Neumann tarzı sınır koşulları ile karıştırılmamalıdır.

Elektrik alan sınır koşulları

$\mathbf {E}$ alanı için sınır koşulu Maxwell-Faraday yasası ile bulunur: w uzunluğunun 0'a limiti alınır.

Elektrik alan

Elektrik alan için sınır koşulu,

$\mathbf {n} _{21}\times (\mathbf {E} _{1}-\mathbf {E} _{2})=\mathbf {0}$

şeklinde tanımlanabilir. $\mathbf {n} _{21}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektördür. Bu koşul elektrik alanın teğet bileşeninin yüzey boyunca sürekli olduğunu ifade eder:

$\mathbf {E} _{1t}=\mathbf {E} _{2t}$

Elektrik akı yoğunluğu

$\mathbf {D}$ alanı için sınır koşulları Gauss yasası ile türetilebilir.

Elektrik akı yoğunluğu lineer ortamlarda yalıtkanlık sabiti ile $\mathbf {D} _{1}=\varepsilon _{1}\mathbf {E} _{1}$ ve $\mathbf {D} _{2}=\varepsilon _{2}\mathbf {E} _{2}$ şeklinde ifade edilebilir. Elektrik akı yoğunluğu için sınır koşulu,

$(\mathbf {D} _{1}-\mathbf {D} _{2})\cdot \mathbf {n} _{21}=\sigma _{s}$

Şeklinde ifade edilir. Burada $\mathbf {n} _{21}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektör ve $\sigma _{s}$ ise serbest yüzey yük yoğunluğudur. Bu koşul elektrik akı yoğunluğunun sınırda süreksiz olduğu ifade eder; bu süreksizlik yüzey yük yoğumluğuna eşittir. Yüzeyde serbest yük olmaması durumunda $\sigma _{s}$ o olarak alınır ve normal akı yoğunlukları birbirine eşitlenebilir. Bu özel durumda elektrik akı yoğunluğu ve yalıtkanlık sabiti arasındaki ilişkiden faydalanılarak normal elektrik alan bileşenleri ile ilgili aşağıdaki ifade yazılabilir:

$\varepsilon _{1}\mathbf {E} _{1n}=\varepsilon _{2}\mathbf {E} _{2n}$

Manyetik alan sınır koşulları

Manyetik alan

Manyetik alan için sınır koşulu,

$\mathbf {n} _{21}\times (\mathbf {H} _{1}-\mathbf {H} _{2})=\mathbf {J} _{s}$

şeklinde gösterilir. Bu denklemde $\mathbf {n} _{21}$ 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektörü, $\mathbf {J} _{s}$ ise serbest yüzey akım yoğunluğunu belirtir. Her iki ortamın iletkenliğinin sonlu olması durumunda serbest yüzey akımı tanımlanmaz. Mükemmel iletken veya süperiletken olmayan neredeyse tüm fiziksel ortamlar için $\mathbf {J} _{s}$ sıfıra eşittir ve bunun sonucunda $\mathbf {H}$'ın teğet birleşeninin sürekli olduğu kabul edilebilir:

$\mathbf {H} _{1t}=\mathbf {H} _{2t}$

Yüksek frekanslarda yüzey katmanı etkisi nedeniyle iletkenlerde akım yüzeye yakın dar bir katmanda ilerler. Yüksek frekans devrelerinde bu akım yüzey akım yoğunluğu olarak modellenebilir.

Manyetik akı yoğunluğu

$\mathbf {B}$ alanı için sınır koşullarının türetilmesi

Manyetik akı yoğumluğu için sınır koşulu,

$(\mathbf {B} _{1}-\mathbf {B} _{2})\cdot \mathbf {n} _{21}=0$

şeklinde verilebilir. Bu denklemde $\mathbf {n} _{21}$, 2. ortamdan 1. ortama giden normal vektörü gösterir. Bu koşul, $\mathbf {B}$ akımının yüzey boyunca sürekli olduğunu gösterir. Buna karşın, manyetik alan ile manyetik akı yoğunluğu arasındaki ilişki lineer ortamlar için $\mathbf {B} _{1}=\mu _{1}\mathbf {H} _{1}$ ve $\mathbf {B} _{2}=\mu _{2}\mathbf {H} _{2}$ ile tanımlanabilir. Bundan yola çıkarak, manyetik alanın normal bileşenleri arasındaki ilişki,

$\mu _{1}\mathbf {H} _{1n}=\mu _{2}\mathbf {H} _{2n}$

ile gösterilebilir.

Kitaplar

• Cheng., David K. (2015). Köksal, Adnan; Saka, Birsen (Ed.). Fundamentals of Engineering Electromagnetics [Mühendislik Elektromanyetiğinin Temelleri] (2 bas.). Palme. ISBN 978-975-8982-99-8. 
• Kinayman, Noyan; Aksun, M. İrşadi (2005). Modern Microwave Circuits (İngilizce). Norwood: Artech House. ISBN 9781844073832.