Dirac denklemi

Adını İngiliz fizikçi Paul Dirac'tan alan dönülü ve göreli kuantum mekaniği denklemi,

$\gamma^\mu p_\mu c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$

şeklinde ifade edilebilir. Burada;

m_0 : parçacığın durağan kütlesini,

c : ışık hızını,

$p_\mu$ : dörtmomentumu,

$\gamma^\mu$ : Dirac matrislerini

göstermektedir. Ayrıca $\Psi$, dört tane karmaşık sayıdan oluşan bir kolon matristir ve olasılığın dalga fonksiyonudur. Bu dört sayı da iki gruba ayrılır:

$\Psi = \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^- \end{bmatrix}$

Buradaki $\Psi^+$ ve $\Psi^-$, Dirac dönücüleri olarak adlandırılır ve her birinin farklı bir fiziksel anlamı vardır. $\Psi^+$ dönücüsü, pozitif enerjileri, $\Psi^-$ negatif enerjileri ifāde eder. Bunlar da

$\Psi^+ = \begin{bmatrix} \psi^+ \\ \phi^+ \end{bmatrix}$

ve

$\Psi^- = \begin{bmatrix} \psi^- \\ \phi^- \end{bmatrix}$

olarak tanımlanır. $\psi$ yukarı dönü ve $\phi$ aşağı dönü olarak anlam kazanır. Yani, dalga fonksiyonu;

$\Psi = \begin{bmatrix} \psi^+ \\ \phi^+ \\ \psi^- \\ \phi^- \end{bmatrix}$

şeklindedir.

Serbest parçacık için Dirac denklemi

Dırac denklemlerinde $\mu = 0$ bileşenini ayırıp gerisi için i=1,2,3 indisini bırakırsak (bknz. Minkowski uzayzamanı), Dirac denklemi;

$\gamma^0 p_0 c \mathbf{\Psi} + \gamma^i p_i c \mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$

biçiminde yazılabilir. Dirac matrisleri; I, birim matris olmak üzere

$\gamma^0 = \begin{bmatrix} 0 && I \\ I && 0 \end{bmatrix}$

ve

$\gamma^i = \begin{bmatrix} 0 && \sigma^i \\ -\sigma^i && 0 \end{bmatrix}$

olarak Pauli matrisleri cinsinden yazılabilir. Bunlar yerine konunca Dirac denklemi,

$\begin{bmatrix} 0 && p_0 c + \sigma^i p_i c \\ p_0 c - \sigma^i p_i c && 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^-\end{bmatrix} = m_0 c^2 \begin{bmatrix} \Psi^+ \\ \Psi^-\end{bmatrix}$

biçimini alır. Matris çarpımı yapılırsa, çiftlenimli denklemler elde edilir:

$\left( p_0 c - \sigma^i p_i c \right) \Psi^- = m_0 c^2 \Psi^+$

$\left( p_0 c + \sigma^i p_i c \right) \Psi^+ = m_0 c^2 \Psi^-$

Bu özdeğer denklemlerini çözmek için, dönücülerden biri çekilip diğer denklemde yerine yazılabilir. Buradan, göreliliğin en önemli denklemlerinden biri elde edilir:

$p_0^2 c^2 - p_i^2 c^2 = m_0^2 c^4$

Burada $p_0 c = E = m c^2$ ve $p_i^2 = p_1^2 + p_2^2 + p_3^2 = |\mathbf{p}|^2$ olduğundan ifade,

$E^2 - |\mathbf{p}|^2 c^2 = m_0^2 c^4$

şeklindedir. Buradan E için pozitif ve negatif değerler gelir.

Elektromanyetik alanda Dirac denklemi

Denklemdeki dörtmomentum işlemcisine elektromanyetik potansiyeli dahil edersek:

$p_\mu \rightarrow p_\mu - \frac{e}{c} A_\mu$

denklem,

$\gamma^\mu \left( p_\mu c - e A_\mu \right)\mathbf{\Psi} = m_0 c^2 \mathbf{\Psi}$

biçimine gelir. Buradaki $A_\mu$, elektromanyetik dörtpotansiyeldir ve e elektriksel yüktür.