Minkowski uzayı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

(Minkowski uzayzamanı sayfasından yönlendirildi)

Fizikte, Özel görelilik kuramının geçerli olduğu dört boyutlu uzayzamana Minkowski uzayı denir. Üç uzay boyutu ve bir zaman boyutu içerdiğinden buradaki "olay"lar dört boyutlu manifoldlar olarak ifâde edilir. Adını Alman matematikçi Hermann Minkowski'den alır.

[değiştir] Dörtyöneylerde Minkovski iççarpımı

Ana madde: Minkovski iççarpımı. Ayrıca yöney ve dörtyöney maddelerine bakınız.

Bir dörtyöney ya da dörtvektör, dört adet koordinat bileşeni olan yöneye denir. Bu maddede dörtyöneyler, koyu ve büyük harflerle gösterilecektir; koyu ve küçük harflerle gösterilenler de üçyöneyler, yâni bilinen üç boyutlu yöneyler olacaktır.

Bilindik iççarpıma oldukça benzeyen, hattâ bilindik iççarpım cinsinden yazılabilen Minkovski iççarpımı, dört boyutlu "hiperbolik" bir iççarpım sunmaktadır. Eğer dörtyöneyleri $\scriptstyle\mathbf{V} = (v_0,v_1,v_2,v_3)$ ve $\scriptstyle\mathbf{W}=(w_0,w_1,w_2,w_3)$ olarak seçersek, Minkovski iççarpımı, bileşenler cinsinden

$\langle \mathbf{V},\mathbf{W} \rangle = v_0 w_0 - v_1 w_1 -v_2 w_2 - v_3 w_3$

olarak tanımlanabilir. Bilindik iççarpım cinsinden de

$\langle \mathbf{V},\mathbf{W} \rangle = v_0 w_0 - \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$

biçimini alır. Buradan hareketle bir dörtyöneyin boyu da,

$\langle \mathbf{V},\mathbf{V} \rangle$	$=$	$\mathbf{V}^2$
	$=$	$v_0^2 - v_1^2 -v_2^2 - v_3^2$
	$=$	$v_0^2 - \mathbf{v}^2$

olarak bulunur.

Minkovski iççarpımı, Einstein toplam uzlaşımı kullanılarak da tanımlanabilir. $\scriptstyle e^\mu$ ifâdesi, birim yöneylerin $\scriptstyle \mu=0,1,2,3$ olan bileşenlerini ifâde edecek şekilde her dörtyöney, $\scriptstyle\mathbf{V}=e^\mu V_\mu$ ve $\scriptstyle\mathbf{W}=e^\nu W_\nu$ olarak yazılabilir. Burada birim yöneylerin Minkovski iççarpımları Minkovski metriğinin birim öğesine eşit olarak tanımlanır:

$\langle e^\mu , e^\nu \rangle = \eta^{\mu \nu} = \begin{bmatrix} 1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && -1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && -1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && -1\end{bmatrix}$

Böylece Minkovski iççarpımı

$\langle \mathbf{V},\mathbf{W} \rangle = \eta^{\mu \nu} v_\mu w_\nu$

olarak yazılmış olur. Burada

v ν = η μν v μ

olarak tanımlandığında iççarpım,

$\langle \mathbf{V},\mathbf{W} \rangle = v^\nu w_\nu$

biçimini alır. Bu gösterim genel görelilik kuramı çerçevesinde tensör gösterimlerinde sıkça kullanılmaktadır.

Daha ilerisi için genel görelilik kuramının biçimsel gelişimi maddesine bakınız.

Bilinen yöneylerde olanın tersine, dörtyöneylerin boyları negatif çıkabilir. $\scriptstyle v_0^2 < \mathbf{v}^2$ olduğu zaman dörtyöneyin boyu sıfırdan küçük olacaktır. Bu durum hiperbolik sayılarda da böyle olduğundan bazen dörtyöneyler hiperbolik dördübir sayılarla da ifâde edilir:

$z=v_0 + v_1\hat\mathbf{i}+v_2\hat\mathbf{j}+v_3\hat\mathbf{k}$

Burada $\scriptstyle \mathbf{i}^2=\mathbf{j}^2=\mathbf{k}^2=\mathbf{ijk}=1$ olarak tanımlanan (ve hiçbiri 1e eşit olmayan) hiperbolik birim sayılardır. Dörtyöneyin boyu yine aynı kalır. Bazen sadece,

$z=v_0 + \mathbf{h} \mathbf{v}$

olarak da gösterildiği olur. Burada aynı şekilde $\scriptstyle \mathbf{h}^2=1$ olarak tanımlanır. Bu durumda dörtyöneyin boyu

$|z|^2=zz^*=(v_0 + \mathbf{hv})(v_0-\mathbf{hv})=v_0^2 - \mathbf{h}^2 \mathbf{v}^2 = v_0^2 - \mathbf{v}^2$

olarak elde edilir.

[değiştir] Dörtkonum

Bilinen şekliyle uzayda yöneyler, üç koordinatla gösterilirler: x, y, z. Ancak özel görelilikte ayrıca zaman koordinatı da uzayın, daha doğrusu uzayzamanın bir parçasıdır. Bu yüzden burada yöneyler, dört koordinata sahip olurlar. Örneğin bilinen biçimiyle bir konum yöneyi,

$\mathbf{r}=(x, y, z)$

şeklindedir (Bu maddede küçük kalın harfler, üçyöneyleri betimleyecektir). Bu yöney, metre birimindedir. Bu yöneye bir de t koordinatını eklersek birim karmaşası olacağından onun yerine dördüncü koordinat ct olarak alınır. Burada c ışık hızı olduğundan bu koordinat yine metre biriminde olacaktır. O halde bir dörtyöney,

$\mathbf{R}=(ct,\mathbf{r}) = (ct,x,y,z)$

olarak gösterilmiş olur.

Bir dörtkonumun boyu

$\mathbf{R}^2 = c^2t^2 - x^2 - y^2 - z^2$

olarak elde edilir. Burada dörtkonum bir Lorentz değişmezidir, yâni Lorentz dönüşümleri altında eylemsiz tüm başvuru çerçevelerine göre değişmezdir. $\scriptstyle\mathbf{R}$ dörtkonumu bir S başvuru çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ve $\scriptstyle\mathbf{R'}$ dörtkonumu da S 'ye göre sabit u hızında hareket eden bir başka $\scriptstyle S'$ çerçevesindeki gözlemcinin uzayzamandaki konumunu ifâde etsin. O halde,

$\mathbf{R}^2 = \mathbf{R'}^2$

olduğu Lorentz dönüşümleri kullanılarak kolaylıkla gösterilebilir. Bu durum ışık için de geçerlidir ki aslında ışık için dörtkonum doğrudan özel görelilik kuramının ikinci ilkesi olan ışık hızının her gözlemciye göre değişmezliği ilkesini ifâde eder. Eğer ışık her gözlemciye göre sabit hızla gidiyorsa, x=vt ifâdesinden dolayı her iki yönü de kapsayacak şekilde

$|\mathbf{r}| = \pm ct$

olarak yazılır. Bu ifâdenin karesi alındığında

$\mathbf{r}^2 = c^2 t^2$

olur ve buradan

c 2 t 2 - x 2 - y 2 - z 2 = 0

$\mathbf{R}^2 =0$

çıkarsanır. Minkovski uzayzamanında bu türden bir yöneye ışınsı yöney denir. Bu yöneyler c ışık hızında giden parçacıkların hareket denklemidir. Herhangi bir gözlemci için

$\mathbf{R}^2 > 0$

ise, bu tür yöneylere zamansı yöney denir. Bu yöneyler, c hızından düşük hızlarda hareket eden gözlemcileri betimler. Yine eğer bir gözlemci için,

$\mathbf{R}^2 < 0$

oluyorsa (olabildiği, Minkovski iççarpımı altbaşlığında irdelenmişti) bu durumda bu yöneylere uzamsı yöney denir. Bu yöneyler de c hızından yüksek hızlardaki gözlemcileri betimler. Bu tür parçacıklara takyon dendiği de olur.

[değiştir] Dörthız

Bilindik biçimiyle bir hız yöneyi üç koordinata sahiptir:

$\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$

Bir hız yöneyi, konum yöneyinin zamana göre türevi şeklinde tanımlandığına göre, yani $τ$ özel zaman olmak üzere;

$\mathbf{u}={d \mathbf{r} \over d\tau}$

olduğundan, dörthız yöneyi de aynı şekilde dörtkonumun zaman göre türevi olarak tanımlanmalıdır:

$\mathbf{U}={d \mathbf{R} \over d\tau} = (\frac{c dt}{d\tau},\frac{dx}{d\tau},\frac{dy}{d\tau},\frac{dz}{d\tau})$

Burada $d t = γ d τ$ olduğundan

$\mathbf{U}=(\gamma c,\gamma u_x, \gamma u_y, \gamma u_z) = \gamma (c, u_z, u_y, u_z) = \gamma (c, \mathbf{u})$

olduğu görülür.

Ayrıca dörthızın boyunun

$\mathbf{U}^2$	$=$	$η μν U μ U ν$
	$=$	$\gamma^2 c^2 - \gamma^2 (u_x^2 + u_y^2 + u_z^2)$
	$=$	$\gamma^2 (c^2 - \mathbf{u}^2)$

olduğu görülebilir. Burada Lorentz çarpanı

$\gamma^2 = {1 \over 1 - \frac{\mathbf{u}^2}{c^2}} = {1 \over \frac{c^2 - \mathbf{u}^2}{c^2}} = {c^2 \over c^2 - \mathbf{u}^2}$

olarak yeniden yazılabilir, o halde dörthız yöneyinin,

$\mathbf{U}^2 = c^2$

olduğu görülür.

[değiştir] Dörtmomentum

Momentum, kütle ile hızın çarpımıydı,

$\mathbf{p}=\gamma m_0 \mathbf{u} = (p_x, p_y,p_z)$

Burada da aynı usavurum devam ediyor ancak küçük ayrıntılar oluşmakta:

$\mathbf{P}=m_0 \mathbf{U} = \gamma m_0 (c,u_x, u_y, u_z) = m (c,u_x,u_y,u_z)=(mc,p_x,p_y,p_z)$

Burada $m 0$ durgun kütle ve m göreli kütledir.

Burada dikkat edilmesi gereken şey, dördüncü koordinatın sadece kütle oluşudur (sonuçta c bir sabit). Bu yüzden dörtmomentumun korunumu aslında Newton fiziğinde "momentumun korunumu" ile "kütlenin korunumu" ilkelerinin ikisini birden kapsar. Böylece iki denklemi

$\mathbf{p_1} + \mathbf{p_2}=\mathbf{p'_1} + \mathbf{p'_2}$	(momentumun korunumu)
$m 1 + m 2 = m' 1 + m' 2$	(kütlenin korunumu)

olarak yazmak yerine,

$\mathbf{P_1}+\mathbf{P_2}=\mathbf{P'_1}+\mathbf{P'_2}$ (4-momentumun korunumu)

gibi tek bir denklem yazılmış olur. Bunun yanı sıra $\scriptstyle E=mc^2$ olduğundan aslında bu enerjinin de korunumudur ve dörtmomentumun dördüncü bileşenini enerji yapar:

$\mathbf{P}=(E / c, \mathbf{p})$

O halde dörtmomentumun boyu, yukarıdaki dörthızın boyunda elde edilen sonuç kullanılarak

$\mathbf{P}^2$	$=$	$m_0^2 \mathbf{U}^2$
	$=$	$m_0^2 c^2$

şeklinde elde edilir. Ayrıca, doğrudan boyladığımızda

$\mathbf{P}^2$	$=$	$m^2 c^2 - (p_x^2 + p_y^2 + p_z^2)$
	$=$	$m^2 c^2 - \mathbf{p}^2$
	$=$	$E^2 / c^2 - \mathbf{p}^2$

olduğundan, bu iki ifâde eşitlenince

$m_0^2 c^2 = E^2 / c^2 - \mathbf{p}^2$

$m_0^2 c^4 = E^2 - \mathbf{p}^2 c^2$

$E_0^2 = E^2 - \mathbf{p}^2 c^2$

ortaya özel göreliliğin en temel denklemlerinden biri olan momentum enerji bağıntısı, yâni

$E^2 = \mathbf{p}^2 c^2 + E_0^2$

bağıntısı çıkar.

[değiştir] Dörtivme

İvme, hızın zaman göre türevidir. Bilindik ivme

$\mathbf{a}={d \mathbf{u}\over d\tau} = (a_x,a_y,a_z)$

şeklinde idi. Bu durumda dörtivme,

$\mathbf{A}$	$=$	${d \mathbf{U} \over d\tau}$
	$=$	$\left(c \frac{d \gamma}{d \tau},{d(\gamma\mathbf{u}) \over d\tau}\right)$
	$=$	$\left(c \frac{d \gamma}{d\tau}, \mathbf{u} \frac{d \gamma}{d\tau} + \gamma \mathbf{a}\right)$
	$=$	$\gamma^3 \left( \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{a}}{c}, \mathbf{a} \right)$

olarak elde edilir (burada $\mathbf{a}$ , üçivmedir). Bu ifādedeki 4. bileşen hızla ivmenin nokta çarpımıdır. Bu çarpım, merkezcil hareketlerde sıfır olur, yani;

$\mathbf{A}=\gamma^3 (0,\mathbf{a})$

olur. Eğer gözlemciyle aynı andaşlık düzlemindeki ivmeyi inceleyecek olursak, u=0 olacağından

$\mathbf{A}=(0,\mathbf{a})$

bulunur. O halde, yalnız özel ivme $\scriptstyle\mathbf{a}=0$ olduğunda dörtivme $\scriptstyle\mathbf{A}=0$ olacaktır. Oysa $\scriptstyle\mathbf{u}=0$ olsa bile dörthız sıfırlanmıyordu.