Küme: Revizyonlar arasındaki fark

[kontrol edilmemiş revizyon]

← Önceki sürümle aradaki fark Sonraki sürümle aradaki fark →

İçerik silindi İçerik eklendi

Satır içi

Sayfanın 12.25, 6 Haziran 2023 tarihindeki hâli

Küme, matematiksel anlamda tanımsız bir kavramdır. Bu kavram "nesneler topluluğu veya yığını" olarak yorumlanmaktadır. Bu tanımdaki "nesne" soyut ya da somut bir şeydir. Fakat her ne olursa olsun iyi tanımlanmış olan bir şeyi, bir eşyayı ifade etmektedir. Örneğin, "Tüm canlılar topluluğu", "Dilimiz alfabesindeki harflerin topluluğu", "Masamın üzerindeki tüm kâğıtlar" tümcelerindeki nesnelerin anlaşılabilir, belirgin oldukları, kısaca iyi tanımlı oldukları açıkça ifade edilmektedir. Dolayısıyla bu tümcelerin her biri bir kümeyi tarif etmektedir. O halde, matematikte "İyi tanımlı nesnelerin topluluğuna küme denir." biçiminde bir tanımlama yapılmaktadır.

Tanımda geçen nesne sözcüğü aslında yeterince açıklık ifade eden bir sözcük değildir. Ama sezgisel olarak, kümeyi oluşturan nesnelerin iyice tanımlı olduklarını; yani belirgin, başka nesnelerden ayırt edilebilir şeyler olduklarını düşünüyoruz demektir. Bir bakıma, bir kümeyi oluşturan nesnelerin tek tek neler olduklarını düşünmekten çok, bir arada düşünebilir olmaları önemsenir.

Bir kümeyi oluşturan nesnelere o kümenin ögeleri veya elemanları adı verilir. Güneş, evrendeki yıldızlar kümesinin bir ögesidir. Bir kümenin ögesi olan nesne o kümenin içinde veya kümeye aittir. Küme tanımına göre bir öge ya kümenin içinde ya da içinde değildir.

Küme Kavramının Kökeni

Küme kavramının matematiğe Georg Cantor (1845-1918) ile girdiği kabul edilir. Georg Cantor kümeyi iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesneler topluluğu olarak tanımlamaktadır.^[1] İyi tanımlanmış ile kastedilen, herkes tarafından aynı şekilde anlaşılan bir tanımdır.

Cantor'dan öncede, adına küme denilmese bile matematikçiler bu kavramı yer yer örtülü bir şekilde kullanırdı. Cantor, kümeler kuramının temellerine ilişkin kapsamlı soruları ortaya koydu. Bu gelişmeler, matematiğe ve özellikle formalist akıma 20. yüzyılın ilk yarısında katkı verdi.

Almanca küme kelimesi "Menge", Bernard Bolzano tarafından Paradoxes of the Infinite adlı çalışmasında ortaya atıldı.^[2]^[3]^[4]^[5]

Küme teorisinin kurucularından Georg Cantor, transfinit küme teorisi üzerine yazdığı Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre adlı çalışmasının başında şu tanımı verdi:

Bir küme, algı veya düşüncemizin belirli, ayırt edilebilir nesnelerinin bir araya toplanmasıdır — ve bu nesnelere kümenin elemanları denir.

Bertrand Russell, küme ve sınıf arasındaki ayrımı (bir küme bir sınıftır, ancak tüm kümelerin sınıfı gibi bazı sınıflar küme değildir; bkz. Russell paradoksu) tanıttı:^[6]

Matematikçiler bir manifold, aggregate, Menge, ensemble veya benzeri bir isimle uğraştıklarında, özellikle ilgili terimlerin sayısı sonlu olduğunda, ilgili nesneyi (ki aslında bir sınıftır) terimlerinin numaralandırılmasıyla tanımlanmış olarak kabul etmek ve bu durumda bir tek terimden oluşabileceği göz önünde bulundurulur, bu durumda o tek terim sınıftır.

Sezgisel kümeler kuramı

Bir kümenin en önemli özelliği, elemanlara sahip olabilmesidir; bu elemanlar aynı zamanda üyeler olarak da adlandırılır. İki küme, aynı elemanlara sahip olduklarında eşittir. Daha kesin bir ifadeyle, A ve B kümeleri, A'nın her elemanı B'nin bir elemanıysa ve B'nin her elemanı da A'nın bir elemanıysa eşittir; bu özellik kümelerin genişletilebilirliği olarak adlandırılır.^[7]

Basit bir küme kavramı matematikte son derece faydalı olmuştur, ancak setlerin nasıl oluşturulabileceği konusunda herhangi bir kısıtlama olmadığında paradokslar ortaya çıkar:

Russell paradoksu, "kendilerini içermeyen tüm kümelerin kümesi"nin, yani {x | x bir küme ve x ∉ x}, var olamayacağını gösterir.
Cantor paradoksu, "tüm kümelerin kümesi"nin var olamayacağını gösterir.

Sezgisel kümeler kuramı, bir kümenin iyi tanımlanmış farklı elemanların bir koleksiyonu olarak tanımlar, ancak "iyi tanımlanmış" teriminin belirsizliği nedeniyle sorunlar ortaya çıkar.

Aksiyomatik küme kuramı

Sezgisel küme teorisinin orijinal formülasyonundan bu yana, bu paradoksları çözmek için yapılan çabalarda, setlerin(küme) özellikleri aksiyomlarla tanımlanmıştır. Aksiyomatik küme teorisi, bir küme kavramını ilkel bir kavram olarak ele alır.^[8] Aksiyomların amacı, birinci dereceden mantığı kullanarak setlerle ilgili belirli matematiksel önermelerin (ifadelerin) doğruluğunu veya yanlışlığını çıkarmak için temel bir çerçeve sağlamaktır. Ancak, Gödel'in eksiklik teoremlerine göre, birinci dereceden mantığı kullanarak herhangi bir aksiyomatik küme teorisinin paradoks içermeyen olduğunu kanıtlamak mümkün değildir.

Kümeler nasıl tanımlanır ve küme gösterimi

Matematik metinlerinde, kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle italik olarak gösterilir.^[9]^[10] Bir küme, özellikle elemanları da set olan durumlarda, bir koleksiyon veya aile olarak da adlandırılabilir.^[11]

Sıralı gösterim

Sıralı veya numaralı gösterim, bir kümenin elemanlarını süslü parantezler arasında virgülle ayrılarak listelemek suretiyle bir küme tanımlar:^[12]^[13]^[14]^[15]

$\mathrm {A} =\{1,2,3,4\}$

$B=\{al,ak,kara,boz\}$

Bir kümede, önemli olan her elemanın içinde olup olmadığıdır, bu nedenle sıralı gösterimde elemanların sıralaması önemsizdir (buna karşılık, bir dizide, demette veya bir kümenin permütasyonunda, terimlerin sıralaması önemlidir). Örneğin, ${2, 4, 6}$ ve ${7, 4, 8, 6}$ aynı kümeyi temsil eder.

Çok sayıda elemana sahip olan setler, özellikle örtük bir desene uyanlar, üyelerin listesi '...' işareti kullanılarak kısaltılabilir.^[16]^[17] Örneğin, ilk bin pozitif tamsayı kümesi, sıralı gösterimde aşağıdaki gibi belirtilebilir:

${1, 2, 3, 4 ... 1000}$

Sonsuz kümelerin sıralı gösterimi

Sonsuz bir set(küme), sonsuz bir eleman listesine sahip olan bir kümedir. Sonsuz bir seti sıralı gösterimde tanımlamak için, listeyin sonuna veya her iki ucuna da noktalama işareti konur ve bu şekilde liste sonsuz bir şekilde devam ettiği ifade edilir. Örneğin, pozitif olmayan tamsayıların kümesi aşağıdaki gibi sıralı gösterimde tanımlanabilir:

${0, 1, 2, 3, 4 ...}$

ve tüm tamsayıların kümesi ise:

${... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ...}$

Anlamsal tanım

Bir küme tanımlamanın başka bir yolu, elemanların neler olduğunu belirlemek için bir kural kullanmaktır:

A, üyeleri ilk dört pozitif tamsayı olan bir küme olsun.

B, Fransız bayrağının renklerinin kümesi olsun.

Bu tür bir tanım, bir anlamsal açıklama olarak adlandırılır.^[18]^[19]

Küme oluşturucu(set-builder) gösterimi

Set-builder gösterimi, elemanlar üzerindeki bir koşula dayalı olarak daha büyük bir kümeden bir seçimi belirtir. ^[20]^[21]^[22] Örneğin, F kümesi aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Bir F kümesi, şu şekilde tanımlanabilir:

F=\{n\mid n{\text{ bir tam sayı, ve }}0\leq n\leq 19\}.

Bu gösterimde, dikey çizgi "|" "şunu ki" anlamına gelir ve tanım, "F, n'nin 0 ile 19 (dahil) arasında bir tamsayı olduğu tüm n sayılarının kümesidir" şeklinde yorumlanabilir. Bazı yazarlar dikey çizgi yerine iki nokta üst üste ":" kullanır.^[23]

Tanımlama yöntemlerinin sınıflandırılması

Felsefe, tanım türlerini sınıflandırmak için belirli terimler kullanır:

Bir niyetsel tanım, üyeliği belirlemek için bir kural kullanır. Anlamsal tanımlar ve set-builder gösterimi kullanan tanımlar buna örnek verilebilir.
Bir genişletici tanım, bir küme hakkında tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar.^[24] Bu tür tanımlar aynı zamanda sayım(enumerative) niteliğindedir.
Bir örnekleme tanımı, bir küme hakkında örnekler vererek tanımlar; noktalama işaretleri içeren bir liste bunun bir örneğidir.

Elemanı olma

Eğer B bir küme ve $x$ B'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde $x$ ∈ B olarak yazılır ve aynı zamanda " $x$ B'ye aittir" veya " $x$ B'de bulunur" şeklinde okunabilir. ^[7]"y B'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ B şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y B'de değil" şeklinde okunabilir.^[25]^[26]

Örneğin, $\mathrm {A} =\{1,2,3,4\}$ , $B=\{mavi,beyaz,kirmizi\}$ ve

F=\{n\mid n{\text{ bir tam sayı, ve }}0\leq n\leq 19\}.

kümelere göre,

4 ∈ A ve 12 ∈ F; 20 ∉ F ve yeşil∉ B.

Küme Kavramları

Eğer a elemanı A kümesine aitse bu ifade $a\in A$ olarak; ait değilse $a\not \in A$ biçiminde göstermektedir.
A kümesinin eleman sayısı belirtilirken s(A) veya m(A) ifadesi kullanılmaktadır.
A ile B'nin kesişimi $A\cap B$ şeklinde gösterilmektedir.
A ile B'nin birleşimi $A\cup B$ şeklinde gösterilmektedir.
A'nın B'den farkı $A/B$ , B'nin A'dan farkı $B/A$ olarak gösterilmektedir.
Eğer A kümesinin elemanlarının aynısı B kümesinde de varsa $A\subseteq B$ (A,B'nin alt kümesidir.) veya $B\supseteq A$ (B, A'yı kapsar.) ifadesi kullanılmaktadır. Eğer yoksa sembollerin üstüne bir çizik atılmaktadır.
Hiçbir ögesi bulunmayan kümeye boş küme denir. Boş küme, $\{$ $\}$ ya da $\emptyset$ şeklinde gösterilmektedir. Boş küme, bütün kümelerin alt kümesidir.
Bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme $\mathrm {E}$ şeklinde gösterilir.
Eğer $s(A)\equiv s(B)$ ise A, B kümesine denktir. Eğer A ve B kümelerinin elemanları aynıysa $(A=B)$ , hiçbir elemanları aynı değilse ayrık küme $(A\neq B)$ olurlar.
$\mathrm {E}$ kümesinde A'dan ayrık olan elemanlar gösterilirken, bu elemanlar A'nın tümleyeni $(A^{'},A^{-})$ kümesinde toplanır. A'nın üstünde bir virgül veya kısa çizgi olarak gösterilir.

Kümelerin Gösterimi

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir.

Liste Yöntemi: Kümenin elemanları $\{$ $\}$ sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır. Örneğin, $A=\{a,b,\{a,b,c\}\}$ ise, $s(A)=3$ tür.
Ortak özelik yöntemi: Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir. $A=\{x:...\}$ Burada " $x:$ " ifadesi "öyle x'lerden oluşur ki" diye okunur. Bu ifade $\{x|...\}$ biçiminde de yazılmaktadır.
Şema Yöntemi: Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak (sol üstteki resim) gösterilir. Bu gösterime Venn şeması ile gösterimi denir.

Kullanılan Simgeler

Simge	Simgenin açıklaması	Simge	Simgenin açıklaması
∈	Elemanıdır	∪	Birleşim
∉	Elemanı değildir	∩	Kesişim
∋	Eleman olarak kapsar	⊎	Birden fazla küme bileşenleri
⊂	Alt kümesi	∅	Boş küme
⊃	Üst kümesi	≇	Ne yaklaşık ne de fiili olarak
⊆	Alt küme veya eşit	≤	Küçük veya eşit
⊇	Üst küme veya eşit	≥	Büyük veya eşit
≠	Eşit değil	≮	Küçük değil
<	Küçüktür	≰	Küçük veya eşit değil
>	Büyüktür	≱	Büyük veya eşit değil
≡	Denktir	≢	Denk değil
≈	Hemen hemen eşit	≅	Yaklaşık olarak eşit
∼	Benzer	⋚	Küçük eşit veya büyük
≫	Çok daha büyük	≪	Çok daha küçük
=	Eşit	≠	Eşit değil

Eşit Küme ve Denk Küme

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir. Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

A kümesi B kümesine eşit ise $A=B$ biçiminde gösterilir.
C kümesi D kümesine denk ise $C\equiv D$ biçiminde gösterilir.

Önemli Not: Eşit olan kümeler aynı zamanda denktir. Fakat denk kümeler eşit olmayabilir.

Boş Küme

Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme $\{$ $\}$ veya $\emptyset$ sembolleri ile gösterilir.

Önemli Not: $\{\emptyset \}$ kümesi, boş küme ifade etmemektedir. Bu küme bir elemana sahiptir.

Özel Sayı Kümeleri

$\mathrm {N}$ veya $\mathbb {N}$ , doğal sayılar kümesi: $\mathrm {N} =\{0,1,2,3,4,...\}$ (bazı matematikçiler 0'ı dahil etmemektedir.) ^[27]
$\mathrm {Z}$ veya $\mathbb {Z}$ , tam sayılar kümesi (negatif tam sayılar, pozitif tam sayılar ve 0 dahil): $\mathrm {Z} =\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ ^[27]
$Q$ veya $\mathbb {Q}$ , rasyonel sayılar kümesi (tam sayılar ve kesirli ifadeler dahil): $Q=\{a\backslash b:a,b\in Z,b\neq 0\}$ . Örneğin, $-3\backslash 2\in Q$ ve $4=4\backslash 1\in Q$ ^[27]
$R$ veya $\mathbb {R}$ , reel sayılar kümesi: [rasyonel sayılar kümesi ve irrasyonel sayılar kümesi ( ${\sqrt {2}}$ gibi kesirli ifade biçiminde yazılamayan cebirsel sayıların yanı sıra $\pi$ ve $e$ gibi sayılar) dahil] ^[27]
$C$ veya $\mathbb {C}$ , karmaşık sayılar kümesi: $C=\{a+bi:a,b\in R\}$ . Örneğin, $1+2i\in C$ .^[27]

Yukarıda yer alan sayı kümelerinin her biri sonsuz sayıda elemana sahiptir. Her biri bulunduğu satırın altında yer alan kümelerin bir alt kümesidir.

Pozitif veya negatif sayı kümeleri, küme sembolünün üzerine $+$ veya $-$ sembolü konularak ifade edilmektedir. Örneğin; pozitif tam sayılar kümesi $Z^{+}$ , negatif tam sayılar kümesi $Z^{-}$ biçiminde ifade edilmektedir.

Evrensel Küme

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle $E$ ile gösterilmektedir. Yabancı kaynaklarda çoğunlukla $U$ ile gösterilmektedir.^[28]

Ayrıca Bakınız

Kaynakça

Halmos, Paul R. (1960). Naive Set Theory. Princeton, N.J.: Van Nostrand. ISBN 0-387-90092-6.

^ Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.
^ José Ferreirós (16 August 2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-7643-8349-7.
^ Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.
^ William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. s. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.
^ Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. s. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.
^ Bertrand Russell (1903) The Principles of Mathematics, chapter VI: Classes
^ ^a ^b Halmos 1960, s. 2.
^ Jose Ferreiros (1 November 2001). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.
^ Seymor Lipschutz; Marc Lipson (22 June 1997). Schaum's Outline of Discrete Mathematics. McGraw Hill Professional. s. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.
^ Halmos 1960, s. 1.
^ "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. Erişim tarihi: 2020-08-19.
^ Charles Roberts (24 June 2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition. CRC Press. s. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.
^ David Johnson; David B. Johnson; Thomas A. Mowry (June 2004). Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version). W. H. Freeman. s. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3.
^ Ignacio Bello; Anton Kaul; Jack R. Britton (29 January 2013). Topics in Contemporary Mathematics. Cengage Learning. s. 47. ISBN 978-1-133-10742-2.
^ Susanna S. Epp (4 August 2010). Discrete Mathematics with Applications. Cengage Learning. s. 13. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Alfred Basta; Stephan DeLong; Nadine Basta (1 January 2013). Mathematics for Information Technology. Cengage Learning. s. 3. ISBN 978-1-285-60843-3.
^ Laura Bracken; Ed Miller (15 February 2013). Elementary Algebra. Cengage Learning. s. 36. ISBN 978-0-618-95134-5.
^ Halmos 1960, s. 4.
^ Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.
^ Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.
^ John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. s. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.
^ Weisstein, Eric W. "Set". mathworld.wolfram.com (İngilizce). Erişim tarihi: 2020-08-19.
^ Ralph C. Steinlage (1987). College Algebra. West Publishing Company. ISBN 978-0-314-29531-6.
^ Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.
^ Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Measure, Integral and Probability. Springer Science & Business Media. s. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.
^ "Set Symbols". www.mathsisfun.com. Erişim tarihi: 2020-08-19.
^ ^a ^b ^c ^d ^e George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory 27 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.
^ Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.

[1] Dauben, Joseph W. (1979). Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Boston: Harvard University Press. ISBN 0-691-02447-2.

[Ferreirós2007-2] José Ferreirós (16 August 2007). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-7643-8349-7.

[Russ2004-3] Steve Russ (9 December 2004). The Mathematical Works of Bernard Bolzano. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-151370-1.

[EwaldEwald1996-4] William Ewald; William Bragg Ewald (1996). From Kant to Hilbert Volume 1: A Source Book in the Foundations of Mathematics. OUP Oxford. s. 249. ISBN 978-0-19-850535-8.

[RusnockSebestík2019-5] Paul Rusnock; Jan Sebestík (25 April 2019). Bernard Bolzano: His Life and Work. OUP Oxford. s. 430. ISBN 978-0-19-255683-7.

[6] Bertrand Russell (1903) The Principles of Mathematics, chapter VI: Classes

[FOOTNOTEHalmos1960[httpsarchiveorgdetailsnaivesettheory00halmpage2mode2up_2]-7] Halmos 1960, s. 2.

[Ferreiros2001-8] Jose Ferreiros (1 November 2001). Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5749-8.

[LipschutzLipson1997-9] Seymor Lipschutz; Marc Lipson (22 June 1997). Schaum's Outline of Discrete Mathematics. McGraw Hill Professional. s. 1. ISBN 978-0-07-136841-4.

[FOOTNOTEHalmos1960[httpsarchiveorgdetailsnaivesettheory00halmpagen11mode2up_1]-10] Halmos 1960, s. 1.

[:1-11] "Introduction to Sets". www.mathsisfun.com. Erişim tarihi: 2020-08-19.

[Roberts2009-12] Charles Roberts (24 June 2009). Introduction to Mathematical Proofs: A Transition. CRC Press. s. 45. ISBN 978-1-4200-6956-3.

[JohnsonJohnson2004-13] David Johnson; David B. Johnson; Thomas A. Mowry (June 2004). Finite Mathematics: Practical Applications (Docutech Version). W. H. Freeman. s. 220. ISBN 978-0-7167-6297-3.

[BelloKaul2013-14] Ignacio Bello; Anton Kaul; Jack R. Britton (29 January 2013). Topics in Contemporary Mathematics. Cengage Learning. s. 47. ISBN 978-1-133-10742-2.

[Epp2010-15] Susanna S. Epp (4 August 2010). Discrete Mathematics with Applications. Cengage Learning. s. 13. ISBN 978-0-495-39132-6.

[BastaDeLong2013-16] Alfred Basta; Stephan DeLong; Nadine Basta (1 January 2013). Mathematics for Information Technology. Cengage Learning. s. 3. ISBN 978-1-285-60843-3.

[BrackenMiller2013-17] Laura Bracken; Ed Miller (15 February 2013). Elementary Algebra. Cengage Learning. s. 36. ISBN 978-0-618-95134-5.

[FOOTNOTEHalmos1960[httpsarchiveorgdetailsnaivesettheory00halmpage4mode2up_4]-18] Halmos 1960, s. 4.

[Ruda2011-19] Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

[Ruda20112-20] Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

[Lucas1990-21] John F. Lucas (1990). Introduction to Abstract Mathematics. Rowman & Littlefield. s. 108. ISBN 978-0-912675-73-2.

[22] Weisstein, Eric W. "Set". mathworld.wolfram.com (İngilizce). Erişim tarihi: 2020-08-19.

[Steinlage1987-23] Ralph C. Steinlage (1987). College Algebra. West Publishing Company. ISBN 978-0-314-29531-6.

[Ruda20113-24] Frank Ruda (6 October 2011). Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right. Bloomsbury Publishing. s. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

[CapinskiKopp2004-25] Marek Capinski; Peter E. Kopp (2004). Measure, Integral and Probability. Springer Science & Business Media. s. 2. ISBN 978-1-85233-781-0.

[26] "Set Symbols". www.mathsisfun.com. Erişim tarihi: 2020-08-19.

[:0-27] George Tourlakis (13 February 2003). Lectures in Logic and Set Theory: Volume 2, Set Theory 27 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Cambridge University Press. p. 137. ISBN 978-1-139-43943-5.

[28] Stoll, Robert R. (1979). Set Theory and Logic. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 0-486-63829-4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

@@ 80. satır: / 80. satır: @@
 * Bir [[Genişletici tanım|''genişletici tanım'']], bir küme hakkında tüm elemanlarını listeleyerek tanımlar.<ref name="Ruda20113">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=VV0SBwAAQBAJ&pg=PA151|title=Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right|date=6 October 2011|page=151|publisher=Bloomsbury Publishing|isbn=978-1-4411-7413-0|author=Frank Ruda}}</ref> Bu tür tanımlar aynı zamanda sayım(enumerative) niteliğindedir.
 * Bir [[Örnekleme tanımı|''örnekleme tanımı'']], bir küme hakkında örnekler vererek tanımlar; noktalama işaretleri içeren bir liste bunun bir örneğidir.
+== Elemanı olma ==
+Eğer B bir küme ve ''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'nin bir elemanı ise, bu kısaltma şeklinde ''{{mvar|x}}'' ∈ ''B'' olarak yazılır ve aynı zamanda "''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'ye aittir" veya "''{{mvar|x}}'' ''B''<nowiki/>'de bulunur" şeklinde okunabilir. {{sfn|Halmos|1960|p=[https://archive.org/details/naivesettheory00halm/page/2/mode/2up 2]}}"y ''B''<nowiki/>'nin bir elemanı değildir" ifadesi y ∉ ''B'' şeklinde yazılır ve aynı zamanda "y ''B''<nowiki/>'de değil" şeklinde okunabilir.<ref name="CapinskiKopp2004">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=jdnGYuh58YUC&pg=PA2|title=Measure, Integral and Probability|page=2|publisher=Springer Science & Business Media|year=2004|isbn=978-1-85233-781-0|author1=Marek Capinski|author2=Peter E. Kopp}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.mathsisfun.com/sets/symbols.html|title=Set Symbols|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref>
+Örneğin,<math>\Alpha=\{1, 2, 3, 4\}</math>, <math>B = \{mavi, beyaz, kirmizi\}</math> ve <math display="block">F = \{n \mid n \text{ bir tam sayı, ve } 0 \leq n \leq 19\}.</math> kümelere göre,
+∈ ''A'' ve 12 ∈ ''F;'' 20 ∉ F ve yeşil∉ ''B''.
 == Küme Kavramları ==