Zamanda sonlu farklar yöntemi: Revizyonlar arasındaki fark

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Etkileşimli olarak geçmişe göz at
[kontrol edilmiş revizyon][kontrol edilmiş revizyon]
← Önceki sürümle aradaki farkSonraki sürümle aradaki fark →
İçerik silindi İçerik eklendi
GörselVikimetin
106. satır: 106. satır:


;Kitap kaynakları
;Kitap kaynakları
*{{kitap kaynağı |soyadı1=Bondeson |ad1=Anders |soyadı2=Rylander |ad2=Thomas |soyadı3=Ingelström |ad3=Pär |başlık=Computational Electromagnetics |tarih=2013 |yayıncı=Springer |isbn=978-1-4614-5350-5|dil=İngilizce}}
*{{kitap kaynağı |soyadı1=Davidson |ad1=David B. |başlık=Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering |tarih=2005 |yayıncı=Cambridge University Press |isbn=9780511778117}}
*{{kitap kaynağı |soyadı1=Davidson |ad1=David B. |başlık=Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering |tarih=2005 |yayıncı=Cambridge University Press |isbn=9780511778117}}
*{{kitap kaynağı |ad1=Karl S. |soyadı1=Kunz |ad2=Raymond J. |soyadı2=Luebbers | başlık=The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics | yayıncı=CRC Press | yıl=1993 | isbn=978-0-8493-8657-2 |dil=İngilizce}}
*{{kitap kaynağı |ad1=Karl S. |soyadı1=Kunz |ad2=Raymond J. |soyadı2=Luebbers | başlık=The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics | yayıncı=CRC Press | yıl=1993 | isbn=978-0-8493-8657-2 |dil=İngilizce}}

Sayfanın 21.35, 31 Aralık 2020 tarihindeki hâli

Bir ışık saçılması probleminin FDTD ile çözümü

Zamanda sonlu farklar yöntemi veya FDTD (finite-difference time-domain), hesaplamalı elektromanyetizmada sıkça kullanılan bir sonlu farklar tekniğidir. Zaman düzleminde çalışan bir yöntem olduğunu için FDTD elektromanyetik spektrumun mikrodalga veya görünür ışık gibi farklı bölgelerinde anten veya fotonik aygıt tasarımı gibi çeşitli problemlerin çözümünde kullanılmaktadır. Aynı zamanda bu özellik, simülasyonu yapılan sistemin geniş bir frekans yelpazesine tepkisinin gözlenebilmesini sağlamaktadır. Yöntem matris tersinmesi gerektirmemektedir.

FDTD, 1966 yılında matematikçi ve elektrik mühendisi Kane S. Yee tarafından keşfedilmiştir. Yee yöntemi olarak da bilinmektedir. Yönteme FDTD ismi Northwestern Üniversitesi'nde elektrik mühendisliği bölümü profesörü olan Allen Taflove tarafından 1980 senesinde verilmiştir.[1]

Yöntem

Yee algoritması

FDTD yöntemindeki ayrıklaştırma şemaları: a) İki boyutlu uzayda TE dalga şeması; b) İki boyutlu uzayda TM dalga şeması; c) Üç boyutlu uzayda Yee kafesi

FDTD'de zamana bağlı Maxwell denklemleri merkezi sonlu fark yaklaşımı ile zaman ve uzayda ayrıklaştırılır. Daha sonra ayrıklaştırılan uzayda zamana bağlı olarak sırayla elektrik ve manyetik alan vektörleri iterasyon ile çözülür. FDTD'yi diğer sonlu farklarından ayıran ana özellik, bu yöntemdeki uzay ayrıklaştırmasında "Yee kafesi" (Yee lattice ya da Yee grid) adı verilen spesifik bir şemanın kullanılmasıdır: bu şemaya göre Kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzay kutu şeklinde kafeslere bölünür. Bu kafeslerin kenarlarına elektrik alan vektörleri, yüzey normallerine ise manyetik alan vektörleri yerleştirilir. Kafes, uzayda kafesin yarı boyu kadar hareket ettirilir. Uzaydaki her harekette rotasyonel operatör kullanılan Maxwell denklemleri çözülür. Simülasyon alanını oluşturan her noktalardaki elektrik alanları her bir koordinat ekseninde kendinden önceki ve sonraki manyetik alan vektörleri ile adım adım güncellenir; aynısı her zaman adımı için sırasıyla elektrik ve manyetik alanlar için yapılır.[2] Bu algoritma simülasyon alanında simetrinin olduğu durumlarda simülasyonu hızlandırmak için bir ve iki boyutlu uzaya da uygulanabilmektedir.[3]

Kıvrımlı yüzeylerin ve geometrilerin kafeslerle ayrıklaştırılması her türlü nümerik hatalara yol açacağından uzaydaki bilinmeyen sayısını arttırmak gerekebilir. Bu durum problemin karmaşıklığını arttırabilmektedir; FDTD'nin bu durumlarda performansının arttırılabilmesi için uyumlu ayrıklaştırma algoritmaları geliştirilmiştir.[4] Yee algoritması küp şeklinde olmayan[5] ve Silindirik koordinat sistemlerindeki kafeslere de uyarlanabilmektedir; silindirik koordinatlardaki yöntem BOR/FDTD olarak bilinmektedir.[6] Algoritmaya devre modellemesinin uygulanabilmesi mümkündür.[7][8]

Kane S. Yee, Maxwell denklemleri için geliştirdiği kafes algoritması ile ilgili makaleyi 1966 yılında IEEE'nin Transactions on Antennas and Propagation dergisinde yayımlanmıştır.[9]

Nümerik stabilite ve dağılma

Bir düzlem dalganın yakınsak mercekte kırılması (FDTD simülasyonu)

FDTD simülasyonunun stabil olması ve sonsuz değerler sapmaması için bazı stabilite koşullarına uyması gerekmektedir. Bunlardan biri Courant–Friedrichs–Lewy koşuludur: bu koşul, ayrık noktalarda ilerleyen bir dalganın simülasyonunda kullanılan zaman adımı süresinin dalganın bir yandaki noktaya ilerleme süresinden daha kısa olması gerektiğini belirtir. Üç boyutlu bir küp şeması için bu koşul şu şekilde ifade edilebilir:[10]

Burada ışık hızı, birim zaman adımı süresi ve de birim uzay adımı uzunluğudur. Yee'nin orijinal makalesinde stabilite koşulu hatalı verilmiş ve Taflove ile Brodwin'in 1975 yılındaki makalesinde düzeltilmiştir.[11] Von Neumann stabilite analizi diğer sonlu farklar metotlarında olduğu gibi FDTD için de geçerlidir.[12]

FDTD algoritması farklı dalga boyları için yapay dağılmalara ve faz hatalarına yol açabilmektedir; bu duruma nümerik dağılma (numerical dispersion) adı verilir. Bu durum, dalganın vakuma çok yakın özelliklere sahip ama tam da vakum olmayan bir ortamda ilerlemesine benzetilebilir. Nümerik dağılmada vakumda ilerleyen bir dalga darbesini oluşturan frekans elemanları hareket sırasında hiçbir fiziksel faktör olmamasına rağmen bozunma veya dağılma yaşayabilir.[13] FDTD modellemesinde nümerik dağılmanın ve hata limitlerinin göz önünde bulundurulması gerekir; bu durumu telafi etmek için farklı metot ve algoritmalar mevcuttur.[14] FDTD'nin zaman bazlı bir algoritma olmasından dolayı da malzemelerin farklı frekans tepkilerini modellemek için konvolüsyon algoritmalarının kullanılması gerekebilir; bağıl geçirgenliğin zaman bazlı tepkisi için malzemeye bağlı olarak Lorentz ve Debye modelleri kullanılır.[15][16] Doğrusal olmayan malzemeler ve kazanç ortamları için benzer modellemeler de mevcuttur.[17]

Sınır koşulları

Bir saçılma problemi için FDTD şeması. Çizgili sınır alanları mükemmel eşlenmiş katmanları (PML) belirtmektedir.

Maxwell denklemlerinin sınırsız ve açık uzayda çözümü ilgili sınır koşullarının belirlenmesini gerektirir: FDTD iterasyonları her ne kadar teknik olarak açık uzayda sonsuza kadar devam ettirilebilir olsa da hiçbir bilgisayarın sınırsız veriyi saklaması etkili ve mümkün değildir. Bu nedenle çözümün arandığı alanı izole eden sınır koşulları belirlenmiştir. Bazı elektromanyetik analiz yöntemlerinde kullanılan mükemmel elektrik iletken (perfect electrical conductor ya da PEC) sınır koşulları birçok FDTD uygulamalarında fiziksel olarak anlamlı olmayan sonuçlar vermeyebilir. Bu nedenle yöntem için soğuran sınır koşulları (absorbing boundary condition ya da ABC) geliştirilmiştir.[18]

Soğuran sınır koşullarında simülasyon sınırlarının dışına çıkan dalgaların geri yansıma yapmadan soğurulması hedeflenir. Bu sınır koşulları, simülasyon alanlarının kaplayan ve içinde hareket eden dalgaların yansımadan soğurulduğu bir katman olarak düşünülebilir. Yee kafesi için ilk stabil soğuran sınır koşulu modeli 1981'de G. Mur tarafından bulunmuştur.[19] Buna karşın ilk soğuran sınır koşullu modelleri farklı frekanslar için dağılmasız çalışsa da soğuran yüzeylere dik gelmeyen düzlem dalgalarda yapay yansımalara yol açmaktaydı.[20] 1994'te J. Berenger tarafından icat edilen mükemmel eşlenmiş katman (perfectly-matched layer ya da PML) sınır koşulu yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu yöntemde katmana farklı açılardan gelen dalgalar yapay bileşenlerine ayrılır ve bu bileşenlerin yeni ortamda dalga empedansları eşlenir. Bu sırada dalga üssel bir operatör ile soğurulur.[21] Daha sonraki araştırmalarda PML'lerin etkinliği yapay anizotropi[22][23] ve esnek koordinat dönüşümleri ile geliştirilmiştir.[24][25] Aslında fiziksel olmayan PML yöntemi az da olsa yapay yansımalara[26] ve negatif indisli metamalzeme gibi ortamlarda stabilite sorunlarına yol açabilmektedir.[27][28][29] Standart PML yöntemi aynı zamanda evanesan dalgaların etkili bir biçimde soğurulmasında problem yaşayabilmektedir;[30] PML'in performansı bu durumlarda konvolüsyonel metotlar ile iyileştirilebilmektedir.[31][32]

Fotonik kristal ve frekans seçici yüzey gibi periyodik yapıların FDTD simülasyonu için ise periyodik sınır koşulları kullanılabilir;[33][34] bu sınır koşulları periyodik yapıyı oluşturan tek bir birimin simülasyonu ile tüm yapının tepkisinin ölçülmesini sağlar. Bu şekilde periyodik yapılar için büyük simülasyon problemlerinin hesaplanmanması basitleştirilebilir.[33] Fotonik kristallerde kullanılan sınır koşulları Bloch ile Floquet teorilerine göre modellenebilir.[35]

Tarihçe ve uygulamaları

FDTD, elektromanyetik problemlerin çözümünde kullanılan en yaygın yöntemlerden birisi olarak kabul edilmektedir.[36][37][38] Yöntem, süper bilgisayarların yaygınlaşması ve kişisel bilgisayarların işlem kapasitelerinin büyük ölçüde artması ile 1970'lerden itibaren popülerlik kazanmıştır. FDTD basitliği ile verimliliği nedeniyle akademide ve endüstride sıklıkla tercih edilmektedir.[36][39][40]

İlk kez Taflove ve Brodwin tarafından 1975'te biyoelektromanyetik modellemelere uygulanan FDTD,[41] daha sonraki senelerde elektromanyetik darbe[42] ile radar kesiti problemlerine uygulanmıştır.[43] 1970'ler ve 1980'lerde FDTD savunma sanayisinde kullanılmaya başlanmıştır.[44] 1980'ler itibari ile dalga kılavuzu,[45] anten[46][47] ve mikroşerit[48] gibi elektronik aygıtların FDTD modelleri mühendislik literatüründe yayınlanmıştır. 1990'larda Berenger tarafından mükemmel eşlenmiş katmanların icat edilmesi ile yöntemin açık problemlere uygulanması kolaylaşmıştır.[39]

Anten ve mikrodalga mühendisliği dışında FDTD'nin kullanıldığı alanlar arasında optik, fotonik, dijital elektronik, düşük frekanslı jeofizik ve tıbbi görüntüleme teknolojileri bulunmaktadır. Yöntemin zamana bağlı olması lazer ışımaları ve solitonlar gibi doğrusal olmayan süreçlerin doğal bir şekilde simülasyonunu mümkün kılmaktadır.[49]

Ayrıca bakınız

Kaynakça

  1. ^ Taflove, A. (1980). "Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems" (PDF). IEEE Trans. Electromagn. Compat. (İngilizce). 22 (3): 191-202. Bibcode:1980ITElC..22..191T. doi:10.1109/TEMC.1980.303879. 
  2. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 58-79.
  3. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 610.
  4. ^ Yu et al. 2006, s. 33.
  5. ^ Yu et al. 2006, s. 11-13.
  6. ^ Yu et al. 2006, s. 193-194.
  7. ^ Thomas, V.A.; Jones, M.E.; Piket-May, M.; Taflove, A.; Harrigan, E. (1994). "The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for FDTD analysis". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 4 (5): 141-143. doi:10.1109/75.289516. 
  8. ^ Piket-May, M.; Taflove, A.; Baron, J. (1994). "FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 42 (8): 1514-1523. doi:10.1109/22.297814. 
  9. ^ Yee, Kane (1966). "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 14 (3): 302-307. Bibcode:1966ITAP...14..302Y. doi:10.1109/TAP.1966.1138693. 
  10. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 133-135.
  11. ^ Taflove, A.; Brodwin, M. E. (1975). "Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations" (PDF). IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 23 (8): 623-630. Bibcode:1975ITMTT..23..623T. doi:10.1109/TMTT.1975.1128640. 
  12. ^ Pereda, A.; Vielva, L. A.; Vegas, A.; Prieto, A. (2001). "Analyzing the stability of the FDTD technique by combining the von Neumann method with the Routh-Hurwitz criterion". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 49 (2): 623-630. doi:10.1109/22.903100. 
  13. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 107.
  14. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 138-153.
  15. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 353-359.
  16. ^ Kelley, D.F.; Luebbers, R.J. (1996). "Piecewise linear recursive convolution for dispersive media using FDTD". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 44 (6): 792-797. doi:10.1109/8.509882. 
  17. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 353, 376-403.
  18. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 229.
  19. ^ Mur, G. (1981). "Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations". IEEE Trans. Electromagn. Compat. (İngilizce). 23 (4): 377-382. doi:10.1109/TEMC.1981.303970. 
  20. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 273-274.
  21. ^ Berenger, J. (1994). "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves". Journal of Computational Physics (İngilizce). 114 (2): 185-200. Bibcode:1994JCoPh.114..185B. doi:10.1006/jcph.1994.1159. 
  22. ^ Sacks, Z. S.; Kingsland, D. M.; Lee, R.; Lee, J. F. (1995). "A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 43 (12): 1460-1463. Bibcode:1995ITAP...43.1460S. doi:10.1109/8.477075. 
  23. ^ Gedney, S. D. (1996). "An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 44 (12): 1630-1639. Bibcode:1996ITAP...44.1630G. doi:10.1109/8.546249. 
  24. ^ Chew, W. C.; Weedon, W. H. (1994). "A 3d perfectly matched medium from modified Maxwell's equations with stretched coordinates". Microwave Optical Tech. Letters (İngilizce). 7 (13): 599-604. Bibcode:1994MiOTL...7..599C. doi:10.1002/mop.4650071304. 
  25. ^ Teixeira, F. L.; Chew, W. C. (1998). "General closed-form PML constitutive tensors to match arbitrary bianisotropic and dispersive linear media". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 8 (6): 223-225. doi:10.1109/75.678571. 
  26. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 293-294.
  27. ^ Cummer, Steven A. (2004). "Perfectly matched layer behavior in negative refractive index materials". IEEE Ant. Wireless Prop. Lett (İngilizce). 3: 172-175. doi:10.1109/lawp.2004.833710. 
  28. ^ Dong, X. T.; Rao, X. S.; Gan, Y. B.; Guo, B.; Yin, W. Y. (2004). "Perfectly matched layer-absorbing boundary condition for left-handed materials". IEEE Microwave Wireless Components Lett. (İngilizce). 14: 301-333. doi:10.1109/lmwc.2004.827104. 
  29. ^ Loh, Po-Ru; Oskooi, Ardavan F.; Ibanescu, Mihai; Skorobogatiy, Maksim; Johnson, Steven G. (2009). "Fundamental relation between phase and group velocity, and application to the failure of perfectly matched layers in backward-wave structures". Phys. Rev. E (İngilizce). 79 (6): 065601. doi:10.1103/PhysRevE.79.065601. 
  30. ^ Berenger, J. (1999). "Evanescent Waves in PML's: Origin of the Numerical Reflection in Wave-Structure Interaction Problems". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 47 (10): 1497-1503. doi:10.1109/8.805891. 
  31. ^ Kuzuoğlu, M.; Mittra, R. (1996). "Frequency Dependence of the Constitutive Parameters of Causal Perfectly Matched Anisotropic Absorber". IEEE Microwave and Guided Wave Letters (İngilizce). 6 (12): 447-449. doi:10.1109/75.544545. 
  32. ^ Roden, J. Alan; Gedney, Stephen D. (2000). "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS–PML for arbitrary media". Microwave and Optical Technology Letters (İngilizce). 27 (5): 334-339. doi:10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A. 
  33. ^ a b Taflove & Hagness 2005, s. 553-555.
  34. ^ Harms, P.; Mittra, R.; Ko, Wai (1994). "Implementation of the periodic boundary condition in the finite-difference time-domain algorithm for FSS structures". IEEE Transactions on Antennas and Propagation (İngilizce). 42 (9): 1317-1324. doi:10.1109/8.318653. 
  35. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 776.
  36. ^ a b Shlager, K.L.; Schneider, J.B. (1996). "A selective survey of the finite-difference time-domain literature". IEEE Antennas and Propagation Magazine (İngilizce). 37 (4): 39-57. doi:10.1109/74.414731. 
  37. ^ Teixeira, F. L. (2010). "A Summary Review on 25 Years of Progress and Future Challenges in FDTD and FETD Techniques". ACES Journal (İngilizce). 25 (1): 1-14. 
  38. ^ Davidson 2005, s. 8-9.
  39. ^ a b Davidson 2005, s. 9-10.
  40. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 1-4.
  41. ^ A. Taflove; M. E. Brodwin (1975). "Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave-irradiated human eye" (PDF). IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques (İngilizce). 23 (11): 888–896. Bibcode:1975ITMTT..23..888T. doi:10.1109/TMTT.1975.1128708. 
  42. ^ Holland, R. (1977). "Threde: A free-field EMP coupling and scattering code". IEEE Transactions on Nuclear Science. 24 (6): 2416–2421. Bibcode:1977ITNS...24.2416H. doi:10.1109/TNS.1977.4329229. 
  43. ^ Taflove, A.; Umashankar, K. R. (1983). "Radar cross section of general three-dimensional scatterers" (PDF). IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility. 25 (4): 433–440. doi:10.1109/TEMC.1983.304133. 
  44. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 3-4.
  45. ^ Choi, W. J.; Hoefer (1986). "The finite-difference time-domain method and its application to eigenvalue problems". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 34 (12): 1464–1470. Bibcode:1986ITMTT..34.1464C. doi:10.1109/TMTT.1986.1133564. 
  46. ^ Tirkas, P. A.; Balanis, C. A. (1991). Finite-difference time-domain technique for radiation by horn antennas. IEEE Antennas and Propagation Society International Symposium Digest. 3. ss. 1750–1753. doi:10.1109/APS.1991.175196. ISBN 978-0-7803-0144-3. 
  47. ^ Kashiwa, T.; Fukai, I. (1990). "A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization". Microwave and Optical Technology Letters. 3 (6): 203–205. doi:10.1002/mop.4650030606. 
  48. ^ Zhang, X.; Fang, J.; Mei, K. K.; Liu, Y. (1988). "Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time-domain finite-difference method". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 36 (2): 263–267. Bibcode:1988ITMTT..36..263Z. doi:10.1109/22.3514. 
  49. ^ Taflove & Hagness 2005, s. 19-29.
Kitap kaynakları
  • Bondeson, Anders; Rylander, Thomas; Ingelström, Pär (2013). Computational Electromagnetics (İngilizce). Springer. ISBN 978-1-4614-5350-5. 
  • Davidson, David B. (2005). Computational Electromagnetics for RF and Microwave Engineering. Cambridge University Press. ISBN 9780511778117. 
  • Kunz, Karl S.; Luebbers, Raymond J. (1993). The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics (İngilizce). CRC Press. ISBN 978-0-8493-8657-2. 
  • Özen, Şükrü; Arı, Niyazi; Çolak, Ömer H.; Teşneli, Ahmet Y. (2008). Elektromanyetikte Sonlu Farklar Metodu (1 bas.). Palme. ISBN 9789944341714. 
  • Sevgi, Levent (1999). Elektromagnetik Problemler ve Sayısal Yöntemler (1 bas.). Birsen Yayınevi. ISBN 9789755112237. 
  • Taflove, Allen; Hagness, Susan C. (2005). Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method (İngilizce) (3 bas.). Artech House Publishers. ISBN 978-1-58053-832-9. 
  • Yu, Wenhua; Mittra, Raj; Su, Tao; Yang, Xiaoling (2006). Parallel Finite-Difference Time-Domain Method (İngilizce). Artech House Publishers. ISBN 978-1-59693-085-8. 

Dış bağlantılar

İnternet kaynakları
Açık kaynak yazılımlar
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Zamanda_sonlu_farklar_yöntemi&oldid=24522186" sayfasından alınmıştır