Toplama

3+2=5 Elmalar ders kitaplarındaki popüler örneklerdir.

Toplama, matematikte iki veya daha fazla çokluğun nicel değerlerinin bir arada ifade edilmesidir. Temel matematik işlemlerinden biridir. Artma veya çoğalma anlamı taşır.

Aritmetik'te toplama işlemi

Aritmetik'te "+" işaretiyle gösterilir. Yapılan toplama işaretinin sonucu da eşittir işareti ile gösterilir.

Örneğin: $3+3=6$ (sözlü olarak "üç artı üç eşittir altı")

$5+4=4+5=9$ (değişme özeliğine bakınız)

$3+3+3+3=12$

Formel tanım

Toplama işlemi, yinelemeli olarak şöyle tanımlanabilir:

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=0$ $\,$, for b < a.

$\sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)$, for b ≥ a.

Özdeşlikler

Aşağıdaki formüller, sonlu toplamlar için geçerlidir.

Genel özdeşlikler

$\sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)$, sabit C

$\sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)$ $\;$

$\sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))$, bir önceki özdeşliğin genel formu

$\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)$ $\;$

$\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}$ $\;$

$\sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}$ $\;$

$\sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)$ $\;$

$\sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)$ $\;$

$\sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}$ $\;$

$\sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)$ $\;$

$c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}$ $\;$

$\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)$

Bazı polinom terimlerin toplamları

$\sum _{i=m}^{n}1=n+1-m$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}$

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$

$\sum _{i=m}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}-{\frac {m(m-1)}{2}}={\frac {(n+1-m)(n+m)}{2}}$

$\sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left[\ \!\sum _{i=0}^{n}i\,\right]^{2}=\left[\,\!{\frac {n\!\,(n+1)}{2}}\,\!\right]^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}={\frac {n^{5}}{5}}+{\frac {n^{4}}{2}}+{\frac {n^{3}}{3}}-{\frac {n}{30}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i^{p}={\frac {(n+1)^{p+1}}{p+1}}+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}{p \choose k}(n+1)^{p-k+1},$

$B_{k}$ Bernoulli sayısını temsil etmektedir.

Devamındaki formüller aşağıdaki formülden türetilmiştir.

$\sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}$

herhangi bir doğal sayı ile başlayan seriler için genelleştirilirse (i.e., $m\in \mathbb {N}$ ):

$\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}=\sum _{i=m}^{n}(i^{3}-im(m-1))$ $\,$

$\sum _{i=m}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=m}^{n}i\right)^{2}+m(m-1)\sum _{i=m}^{n}i$ $\,$

Eksponensiyel terim içeren bazı toplama özdeşlikleri

IAşağıdaki özdeşliklerde, a 1'e eşit olmayan sabit bir sayıdır:

$\sum _{i=m}^{n-1}a^{i}={\frac {a^{m}-a^{n}}{1-a}}$ m < n

$\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}$ (indeksi $i=0$ ile başlayan geometrik seriler)

$\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n-1}i2^{i}=2+(n-2)2^{n}$ (a = 2)

$\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {i}{2^{i}}}=2-{\frac {n+1}{2^{n-1}}}$ (a = 1/2)

Binom katsayı ve faktöriyel içeren bazı toplama özdeşlikleri

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n}$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}i{n \choose i}=n2^{n-1}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{(n-i)}b^{i}=(a+b)^{n}$, (Binom Teoremi)

$\sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1$ $\,$

$\sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$ $\,$

$\sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}$ $\,$

Büyüme hızları

Birtakım yararlı yaklaştırım özdeşlikleri aşağıda theta notasyonu ile belirtilmiştir:

$\sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})$ -1'den büyük reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)$

$\sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})$ 1'den büyük reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})$ negatif-olmayan reel c sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})$ negatif-olmayan reel c, d sayıları için

$\sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})$ negatif-olmayan reel b > 1, c, d sayıları için