Bölüm

12 elmanın 3 elma ile bölünmesi sonucu elde edilen bölüm 4'tür.

Aritmetik disiplininde, 'bölüm' terimi, iki rakamın bölme işlemi neticesinde ortaya çıkan nicelik olarak tanımlanır. Matematiğin çeşitli alanlarında yaygın olarak kullanılan bu terim, iki farklı şekilde ifade edilebilir: bir bölme işleminin tam sayı kısmı (örneğin Öklid bölmesi metoduyla) veya genel bir bölme işleminde elde edilen bir kesir ya da oran olarak. Mesela, 20 (bölünen) değeri 3 (bölen) ile bölündüğünde, ilk tanım çerçevesinde elde edilen bölüm 6'dır (2 kalan ile birlikte) ve ikinci tanımda $6{\tfrac {2}{3}}=6.66...$ (periyodik bir ondalık sayı olarak) şeklinde belirtilir.

Metroloji alanında (Uluslararası Nicelikler Sistemi ve Uluslararası Birimler Sistemi çerçevesinde), "bölüm" terimi, ölçü birimleri üzerinden fiziksel niceliklerin genel bir örneğini işaret etmek için kullanılır. Oran (İng. ratio) terimi ise, aynı türdeki iki niceliğin boyutsuz bölümleri için öngörülen özel bir kavramı belirtir. Bölenin bir zaman dilimi olduğu durumlar başta olmak üzere, bir bölme işleminin fiziksel boyut ve bileşik birim içermesi halinde, bu bölümler genellikle rate olarak ifade edilir.

Örneğin, hacme bölünen kütle ile ifade edilen yoğunluk (birim olarak kg/m³), "bölüm" olarak tanımlanır. Buna karşın, kütle bölü kütle ile ifade edilen kütle kesri (kg/kg veya yüzdelik olarak), "oran" olarak nitelendirilir. Diğer taraftan, sistem "boyutu" olarak kabul edilen kütleye, hacme veya diğer parametrelere bölünerek elde edilen yoğun nicelikler özgül nicelikler olarak adlandırılır.

Notasyon

Ana madde: Bölme § Notasyon

Matematiksel ifadeler içerisinde bölüm, sıklıkla iki sayının veya iki değişkenin yatay bir çizgi ile birbirine bölünmesi biçiminde ifade edilir. Bu durumda "bölünen" ve "bölen" terimleri, işlemin bileşenlerini tanımlarken; "bölüm" terimi, sonucu tanımlamak için kullanılır.

$${\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{bölünen veya pay}}\\&\leftarrow {\text{bölen veya payda}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{bölüm}}$$

Tam sayı tanımı

Bölüm, daha az sık karşılaşılan bir tanım ile, bölünen üzerinden bir bölenin çıkarılabileceği maksimum defa doğal sayı olarak ifade edilir. Örnek olarak, 20 sayısından 3 sayısı 6 defa çıkarılabilir, sonraki çıkarma işlemi kalanı negatif yapmadan önce:

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 ≥ 0,

öte yandan,

20 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 − 3 < 0.

Bu bağlamda, bölüm iki sayının oranının tam sayı kısmı olarak kabul edilir.

İki tam sayının bölümü

Ana madde: Rasyonel sayı

Bir rasyonel sayı, iki tam sayı arasında, paydanın sıfır olmadığı durumlarda tanımlanan bölüm olarak ifade edilir.

Daha ayrıntılı bir tanım ise şöyledir:

Bir reel sayı r, ancak ve ancak iki tam sayının sıfır olmayan bir payda ile bölünmesi sonucunda elde edilen bir oran olarak tanımlanabilir ise rasyoneldir. Rasyonel olmayan her reel sayı ise irrasyoneldir.

Daha resmi bir tanım ile:

Bir reel sayı olan r'nin rasyonel sayı olarak nitelendirilebilmesi için, a ve b gibi tam sayılar mevcut olmalı ve $r={\tfrac {a}{b}}$ eşitliği ile birlikte $b\neq 0$ koşulu yerine getirilmelidir.

İrrasyonel sayılar—iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemeyen sayılar—ilk kez geometri alanında, özellikle bir kare içerisinde köşegenin bir kenara oranı gibi durumlarla tespit edilmiştir.

Genelleştirilmiş bölüm yapıları

Aritmetiğin ötesinde, matematiğin pek çok alanı, daha büyük yapıların bölünmesi suretiyle oluşturulan yapıları açıklamak amacıyla "bölüm" terimini kullanmaktadır. Belirli bir eşdeğerlik ilişkisi ile tanımlanmış bir küme söz konusu olduğunda, bu eşdeğerlik sınıflarını içeren bir "bölüm kümesi" meydana getirilebilir. Aynı şekilde, bir grup, benzer yan sınıflara bölünerek bir bölüm grubuna dönüştürülebilirken, bir vektör uzayı, benzer doğrusal altuzaylara ayrılarak bir bölüm uzayı oluşturma işlemi gerçekleştirilebilir.

Ayrıca bakınız

• Çarpım (matematik)
• Bölüm kategorisi
• Bölüm grafiği
• Tam sayılarla bölme
• Bölüm modülü
• Bölüm nesnesi
• Formal dil üzerindeki bölüm, ilaveten sol ve sağ bölüm
• Bölüm halkası
• Bölüm kümesi
• Bölüm uzayı (topoloji)
• Bölüm tipi
• Bölütlenme ve bölme işlemleri

Dış bağlantılar

• Wikimedia Commons'ta Quotients ile ilgili çoklu ortam belgeleri bulunur