Yerçekimi için Gauss yasası

Fizikte -ayrıca yer çekimi için Gauss akı teoremi olarak bilinen- Gauss yer çekimi yasası, Newton'un evrensel çekim yasasına temelde eşdeğer olan fizik yasasıdır. Her ne kadar Yer çekimi için Gauss yasası Newton'un yasasına denk olsa da, pek çok durumda Gauss yer çekimi yasası hesaplama yapmak için Newton'un yasasından çok daha basit ve uygundur.

Gauss yer çekimi yasası, Maxwell denklemlerinden biri olan Gauss elektrostatik kanununa matematiksel olarak benzer. Gauss yer çekimi yasası ile Newton'un yasasında, Gauss elektrik yasası ile Coulomb kanunu arasında bulunan aynı matematiksel bir ilişki vardır.

Yasanın niteliksel açıklaması

Yer çekimi alanı (gravitasyonel alan) “g” -yanı sıra yer çekimi ivmesi olarak adlandırılır- bir vektör alanıdır ve her uzay-zaman noktasına etki eder. Birim kütle başına etki eden gravitasyonel kuvvet olarak da tanımlanır ve bir cisme gravitasyonel alanın herhangi bir uzay-zaman noktasında etkiyen kütleçekim kuvvetini gravitasyonel alan vektörü ile cismin gravitasyonel kütlesi çarpılarak bulunabilir.

Yer çekimi akısı kapalı bir yüzey üzerinde çekim alanı olan bir yüzey integralidir, benzer şekilde manyetik akı, manyetik alanında yer alan bir yüzey integralidir.

Yer çekimi dereceleri için Gauss yasası:

Herhangi bir kapalı yüzeydeki yer çekimi akı kapalı kütle ile doğru orantılıdır.

İntegral Formu

Gauss yer çekimi yasasının açıklamasının integral (tamamlayıcı) modeli;

$\scriptstyle \partial V$ (olarak yazılır $\oint _{\partial V}$) kapalı yüzeydeki integrali simgeler,

∂V, hacmin çok küçük bir parçasıdır ( V hacminin sınırı),

dA, alanın çok küçük bir parçasını temsil eden bir vektördür ve yönü dışarı doğru bakar ( yüzey normali ile aynı yöndedir) (daha fazla detay için bkz: [./Https://en.wikipedia.org/wiki/Surface%20integral yüzey integrali]),

g , Kütleçekim alanı büyüklüğü

G, evrensel çekim sabiti, ve

M kapalı yüzeydeki total ağırlık ∂V.

Eşitliğin sol tarafı yer çekimi alanının akısıdır. Yasaya göre bu akı her zaman negatif ya da sıfırdır ve asla pozitif olamaz. Bu Gauss’un elektrik kanununun tam tersidir, diğer kanunda akı negatif veya pozitiftir. Aradaki farkın sebebi yük hem pozitif hem negatif değer alabilirken, kütlenin sadece pozitif değer alabilmesidir.

Diferansiyel formu

Gauss yer çekimi yasasının açıklamasının diferansiyel modeli;

$\nabla \cdot$ türevi (diverjans operatörünü) simgeler, G evrensel çekim sabiti ve ρ her noktadaki kütle yoğunluğu

İntegral Modelle İlişkisi

Gauss yer çekimi yasasının iki formu matematiksel olarak eşdeğerdir. Diverjans teoremi

$\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV$

∂V ve dV kapalı odaklı yüzeyi tarafında sınırlandırılan kapalı bölgeyi ve dV hacminin sonsuz küçük bir parçasıdır. Yer çekimi alanı (g) V hacime komşu türevlenebilir sürekli bir vektör alanıdır.

ayrıca bakınız

$M=\int _{V}\rho \ dV$

Diverjans teoremini, Gauss yer çekimi kanunun integral formuna(modeline) eklersek

$\int _{V}\nabla \cdot \mathbf {g} \ dV=-4\pi G\int _{V}\rho \ dV$

şu şekilde yazılabilir;

$\int _{V}(\nabla \cdot \mathbf {g} )\ dV=\int _{V}(-4\pi G\rho )\ dV.$

Bu aynı anda her olası hacimleri V; için tutar, bunu olmasının tek yolu integrali alınan fonksiyonların eşit olmasıdır.

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho ,$

sonucuna ulaşıyoruz, Gauss yerçekimi kanunun diferansiyel modeline. Bu yöntemin ters kullanılarak integral formundan diferansiyel formu elde etmek mümkündür. İki tür(model) eşdeğer olsa da, belirli bir hesaplamada birini ya da diğerini kullanmak daha uygun olabilir.

Newton'un yasasından Gauss yasasını türetilmesi

Gauss yer çekimi kanun Newton'un evrensel çekim yasasından türetilebilir, bir noktanın kütlesinden yer çekimi alanına ulaşılır:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$

e_r ışınsal birim vektör (merkezden dışarı yönde),

r yarıçap, |r|.

M parçacığın kütlesi, noktasal kütle olarak varsayılan merkezde yer aldığı varsayılan kütlesidir.

Yapılan kanıt vektör hesaplamaları şemasının altındadır. Elektrostatikte bu işlem Coulomb kuralından başlayarak gauss kuralıyla birleşerek aynı varsayımı oluşturmaktadır.

Kanıt gösterimi(görüntülemek için tıklayın).)

g(r), çekimsel alan r,evrenin her noktasındaki küçük ağırlıklar g(r) katkılarıyla hesaplanabilir (bkz superpozisyon prensibi). bunu uygulayarak, uzaydaki her noktadaki s i, g(r) ye aklemiş oluruz. Ağırlıkla ilgili olarak (herhangi)bir s(,Newton yasası ile hesaplanan) bulunabilir. sonuç ise: $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G\int \rho (\mathbf {s} ){\frac {(\mathbf {r} -\mathbf {s} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {s} |^{3}}}d^{3}\mathbf {s} .$ (d3s sırayla dsxdsydsz, her birinin -∞ dan +∞ kadar integrali alınır.) eğer her birinin her taraftan divergensı alınır (r göre) ve bilinen teorem uygulanır. $\nabla \cdot \left({\frac {\mathbf {s} }{|\mathbf {s} |^{3}}}\right)=4\pi \delta (\mathbf {s} )$ where δ(s) is the Dirac delta function, the result is $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\int \rho (\mathbf {s} )\ \delta (\mathbf {r} -\mathbf {s} )\ d^{3}\mathbf {s} .$ Using the "sifting property" of the Dirac delta function, we arrive at $\nabla \cdot \mathbf {g} (\mathbf {r} )=-4\pi G\rho (\mathbf {r} )$ which is the differential form of Gauss's law for gravity, as desired.

Gauss yasasından Newton kanunun çıkarımı ve İrrasyonelite

Matematiksel açıdan gauss kuralından Newton yasasını çıkarmak tek başına imkânsızdır..Çünkü Gauss kuralı g nin farklılığını g nin oluşturduğu eğimime bakarak hesaba katmaz. Gauss kuralına ek olarak yer çekimi korunumlu bir kuvvet olduğundan g irrasyonel yani sıfır olarak Kabul edilir.(bkz Helmholtz decomposition).

$\nabla \times \mathbf {g} =0$

Bu varsayımlardan Newton kanunun kanıtı aşağıdaki gibidir:

Gauss kanunun integralii ile başlar.: $\oint _{\partial V}\mathbf {g} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM.$ bu kanunu hacmin V olduğu yere ve kürenin yarıçapının r olduğu yere ayrıca noktasal ağırlığın M olduğu noktaya uygulayabiliriz. Burdançekimsel alanın noktasal yüke küresel olarak simetrik çıkmasını beklemk mantıklı olacaktır.bu varsayımı kullanarak g nin alacağı formu çıkarabiliriz; $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=g(r)\mathbf {e_{r}}$ (i.e., g nin yönü r yönüne paraleldir. ve g nin büyüklüğü sadece büyüklüğe bağlıdır, r yönüne değil.). this in ve ∂V olduğu bilgisini kullanarak r küresel sabitini ve alanı bulabiliriz. $4\pi r^{2}$, $g(r)\oint _{\partial V}\mathbf {e_{r}} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM$ $g(r)(4\pi r^{2})=-4\pi GM$ $g(r)=-GM/r^{2}$ $\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-GM{\frac {\mathbf {e_{r}} }{r^{2}}}$ Newton yasasına göre.

Poisson denklemi ve Çekimsel potansiyel

Çekimsel alanın alan sıfır eğimi olduğundan yukarıda da bahsedildiği üzere,bu alan skaler potansiyelin eğimle çarpımı olarak Kabul edilebilir.(çekimsel alan):$\mathbf {g} =-\nabla \phi .$ Gauss kanunun differansiyel versiyonu yer çekimi için şu şekilde uygulanır. Poisson's equation:

$\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .$

Bu formül çekimsel potansiyelin ve çekimsel alanine farklı yollardan hesaplanması için alternatifler sunar.g nin poisson denklemiyle hesaplanması matematiksel açıdan g nin gauss kuralı üzerinden direct olarak çıkmasıyla aynı olsa da, verilen duruma göre başka yaklaşımlar daha kolay hesaplamara yardımcı olabilir.

Radial açıdan simetrik sistemlerde,çekimsel potansiyel sadece bir değişkenin fonksyonudur.ayrıca poisson denklemi şu şekle döner (bkz kutupsal ve silindirik koordinatlar)(see Del in cylindrical and spherical coordinates):

${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}\,{\frac {\partial \phi }{\partial r}}\right)=4\pi G\rho (r)$

while the gravitational field is:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\mathbf {e_{r}} {\frac {\partial \phi }{\partial r}}.$

Denklem çözülürken sınırlı yoğunlukların sınırlar içerisinde devamlı olması gerektiği ve ∂ϕ/∂r da iken sınırlarınr= 0 olduğu hesaba katılmalıdır.

Uygulalamalar

Gauss kuralı çekimsel alanine bulunması için belirli durumlarda örneğin newton yasasının kullanılmasının zorlaştığı durumlarda (imkânsız olmamakla beraber) rahatlıkla kullanılabilir.ayrıca detaylı bilgiler için ve daha ayrıntılı ortaya çıkarılışı için pek çok makale vardır (bkz). Bununla ilgili olarak üç farklı uygulama bulunmaktadır.

Bouger plakası

Gaussian hap kutusunu kullanarak çekimsel alan dışındaki plakanın (bouger plakası) herhangi bir kalınlığı o plakaya diktir. Buna göre 2πG çarpımı ile birim alandaki ağırlık büyüklüğü plakanın uzaklığından bağımsızdır. (see also gravity anomalies).

Daha genel olarak, bir ağırlık için yoğunlukla birlikte dağılım sadece karetezyen koordinat eksenindeki z ye bağlıdır.herhangi bir z için 2πG çarpım (yukaıdaki alan başına düşen alan z nin üstünde, ağırlık başına düşen alan z nin altında eksi ağırlıktır.)

Simetrik silindirik ağırlık dağılımı

Herhangi bir sonsuz silindirik ağırlık dağılımı durumunda (silindirik bir Gauss yüzey alanı oluşturarak)alanine kuvveti r uzaklığından birim alandaki total ağırlığın merkezden 2G/r kadar içeri eksenden uzak mesafelerdeki çarpımı ile bulunur.

Küresel simetrik dağılım

Küresel simetrik ağırlık dağılımı durumunda (küresel Gauss yüzeyini kullanarak) ağırlık kuvveti, r mesafesinden çarpımı ile toplam ağırlığın r den daha küçük mesafelerde büyüklüğündedir. Merkezden r'den daha uzak mesafelerde tüm ağırlıklar göz ardı edilebilir. G/r²

Örneğin, boş bir küre içinde hiçbir net çekim oluşturmaz. Çekimsel alan eğer içi dolu olan bir küre içerisinde düşünülürse eşit olarak dağılmış olarak düşünülebilir.(çıkan alan içerideki alandan ya da dışardaki küresel cisimden ötürüdür.)

Gauss kanunu ile ulaşılan sonuçlar sadece birkaç satır sürse de Newton yasasından yer çekimi ile ortaya çıkarmak için yapılan hesaplamalar ve çözümler pek çok sayfa tutar. Direkt çözüm için bakınız: Kabuk teorisi.

Lagrangian formunda formülleri türetme

Newtonsal çekim için :${\mathcal {L}}({\vec {x}},t)=-\rho ({\vec {x}},t)\phi ({\vec {x}},t)-{1 \over 8\pi G}(\nabla \phi ({\vec {x}},t))^{2}$ Hamilton kuralını uygulamak için Gauss kuralı ve yer çekimi ilşkisi

$4\pi G\rho ({\vec {x}},t)=\nabla ^{2}\phi ({\vec {x}},t).$

Lagranian (Newtonsal çekim) detaylar için

Kurgu

Arthur C. Clarke'ın Odyssey Two adlı romanında(2010 yılı basım), Jupiter yörüngesinde uzaylı araştırırken Leonov un baş bilim adamı, VAsili orlov 'un mühendisi Curnow park Bauger ın anormalisini Gauss kuralından çıkartmışır.Söylediğine göre kendisi sadece bir astronomi dersinden çekimsel kuvvetin sonsuz yüzeyde bir örneği hatırlamış ancak günlük hayatta kullab hayal bile edememiştir.

Ayrıca bakınız

• Carl Friedrich Gauss
• Divergence theorem
• elektrik içinGauss kanunu
• Gauss's law for magnetism
• Vector calculus
• Integral
• Flux
• Gauss yüzeyi

Kaynaklar

• gauss kanunun uygulanması için örneğin ;this article.