Seri

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Seri, bir dizi olmak üzere s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n + \ldots toplamı. Bir seri kısaca s_n = \sum_{i=0}^n a_i şeklinde gösterilir. Bir serinin bütün terimleri pozitifse, seriye pozitif terimli seri, negatifse negatif terimli seri; bir pozitif bir negatif ise almaşık seri veya alterne seri adı verilir. s_0 = a_0, s_1 = a_0 + a_1, s_2 = a_0 + a_1 + a_2, ..., s_n = a_0 + a_1 + \ldots + a_n toplamlarına serinin kısmi toplamları, (s0, s1, ..., sn, ...) dizisine de kısmi toplamlar dizisi denir. Bir seri dizisi olarak da tanımlanabilir. Bu dizi yakınsak ise seri de yakınsaktır.

Dizilerde ve serilerde yakınsaklık kavramı çok önemlidir. Bir serinin sonsuz teriminin toplamı belli bir sayı ise, bu seriye yakınsak seri denir. Diğer taraftan bir seri dizisi olduğundan ve genel terimin limiti mevcut olan bir dizi yakınsak olacağından  S = \lim_{n\rightarrow \infty}s_n, yani kısmi toplamlar dizisi yakınsak olan seri de yakınsaktır.

Bir serinin yakınsaklığını araştırmak için, Sn toplamının için limitine bakılır. Sonlu bir sayı bulunursa, seri yakınsaktır denir. Mesela s_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n(n+1)} serisinde s_n = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \ldots + \frac{1}{n \cdot (n+1)} toplamı, \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} yazılacak \frac{n}{n+1} bulunur. Limiti alındığında s=1 bulunduğundan verilen seri yakınsaktır denir. Harmonik seri olarak bilinen \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} serisi ise Sn toplamı bulunamadığı için ıraksaktır.

\sum_{i=1}^n (-1)^n = -1+1-1+1-\ldots serisinin de belli bir toplamı olmadığı için ıraksaktır.