Pompeiu teoremi

Pompeiu teoremine örnek:

Nokta çemberin dışında

Nokta çember üzerinde

Pompeiu teoremi, Romanyalı matematikçi Dimitrie Pompeiu tarafından keşfedilen bir düzlem geometrisi sonucudur. Teorem basittir, ancak klasik değildir. Aşağıdakileri ifade eder:

Bir eşkenar üçgen verildiğinde Düzlemde ABC ve ABC üçgeninin düzleminde bir P noktası, PA, PB ve PC uzunlukları bir (belki de dejenere) üçgenin kenarlarını oluşturur.^[1]^[2]

İspat çok kısadır. B noktası etrafında 60°'lik bir dönüş düşünün. A noktasının C noktasına ve P noktasının P ' noktasına eşlendiğini varsayalım. O zaman $\scriptstyle PB\ =\ P'B$ ve $\scriptstyle \angle PBP'\ =\ 60^{\circ }$ . Dolayısıyla PBP ' üçgeni eşkenar ve $\scriptstyle PP'\ =\ PB$ 'dir. O halde $\scriptstyle PA\ =\ P'C$ . Böylece, PCP ' üçgeninin kenarları PA, PB ve PCye eşittir ve yapım yoluyla ispat tamamlanmıştır (çizime bakınız).^[1]

Daha sonraki araştırmalar, eğer P üçgenin iç kısmında değil de çevrel çember üzerindeyse, PA, PB, PC'nin dejenere bir üçgen oluşturduğunu ve en büyüğünün diğerlerinin toplamına eşit olduğunu ortaya koymaktadır; bu gözlem Van Schooten teoremi olarak da bilinir.^[1]

Genel olarak, P noktası ve eşkenar üçgenin köşelerine olan uzunluklarla - PA, PB ve PC - kenarları $a_{1}$ ve $a_{2}$ olan iki eşkenar üçgen (büyük ve küçük) tanımlanır:

{\begin{aligned}a_{1,2}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}\pm 4{\sqrt {3}}\triangle _{(PA,PB,PC)}\right)\end{aligned}}

.

△ sembolü, kenar uzunlukları PA, PB, PC olan üçgenin alanını göstermektedir.^[3]

Pompeiu teoremi 1936'da yayınladı, ancak August Ferdinand Möbius daha 1852'de Öklid düzlemindeki dört nokta hakkında daha genel bir teorem yayınlamıştı. Bu makalede Möbius, Pompeiu'nun teoreminin ifadesini daha genel teoreminin özel bir durumu olarak açıkça türetmiştir. Bu nedenle teorem Möbius-Pompeiu teoremi olarak da bilinir.^[4]

Kaynakça

^ ^a ^b ^c Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117
^ Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges. Springer, 2008, 9780817646110, pp. 4-5
^ Mamuka Meskhishvili: Two Non-Congruent Regular Polygons Having Vertices at the Same Distances from the Point. International Journal of Geometry, Volume 12 (2023), pp. 35–45
^ D. MITRINOVIĆ, J. PEČARIĆ, J., V. VOLENEC: History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu. Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie, 31 (79), no. 1, 1987, pp. 25–38 (JSTOR)

Dış bağlantılar

[Sandor-1] Jozsef Sandor: On the Geometry of Equilateral Triangles. Forum Geometricorum, Volume 5 (2005), pp. 107–117

[Titu-2] Titu Andreescu, Razvan Gelca: Mathematical Olympiad Challenges. Springer, 2008, 9780817646110, pp. 4-5

[Meskhishvili-3] Mamuka Meskhishvili: Two Non-Congruent Regular Polygons Having Vertices at the Same Distances from the Point. International Journal of Geometry, Volume 12 (2023), pp. 35–45

[4] D. MITRINOVIĆ, J. PEČARIĆ, J., V. VOLENEC: History, Variations and Generalizations of the Möbius-Neuberg theorem and the Möbius-Ponpeiu. Bulletin Mathématique De La Société Des Sciences Mathématiques De La République Socialiste De Roumanie, 31 (79), no. 1, 1987, pp. 25–38 (JSTOR)

[1]

[2]

[3]

[4]