Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan
,
, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:
Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.
üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık,
yani burada bazı
≥ 0.için f =
g aşağıdaki norm ile verilir:
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f|^{p}d\mu \right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86f106b3cefc1e0ba0d42023be1e04097383c25)
Eğer p < ∞ veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile
![{\displaystyle \|f\|_{\infty }=\operatorname {ess\ sup} _{x\in S}|f(x)|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f514691a17ada8a419574d4cfc813f4b765d4e9)
Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,
![{\displaystyle \|f\|_{p}=\sup _{\|g\|_{q}=1}\int |fg|d\mu ,\qquad 1/p+1/q=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/111952d403efcbb75ecd55d46f9fa69c37ada11b)
bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay
Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:
![{\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}+y_{k}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{k=1}^{n}|y_{k}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fce76da4c7db5e0eb16f23e4c3c7ff291499b38)
için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).
İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda
![{\displaystyle |f+g|^{p}\leq 2^{p-1}(|f|^{p}+|g|^{p}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09381447aedbbd09c375faf0b939561316b6abb0)
Nitekim, aslında burada
konveks üzerinde
(
birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,
![{\displaystyle \left|{\frac {1}{2}}f+{\frac {1}{2}}g\right|^{p}\leq \left|{\frac {1}{2}}|f|+{\frac {1}{2}}|g|\right|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|f|^{p}+{\frac {1}{2}}|g|^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60fcb52ebb6f3dd8258d8d731951fb5bc6856d49)
Bunun anlamı
![{\displaystyle |f+g|^{p}\leq {\frac {1}{2}}|2f|^{p}+{\frac {1}{2}}|2g|^{p}=2^{p-1}|f|^{p}+2^{p-1}|g|^{p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64073975dd2d5d4d0a48347624e6a23de1c2e549)
Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz
. Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki
sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}=\int |f+g|^{p}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d5d7c48d18c9d59b7919983c2c9e8a41e910412)
![{\displaystyle \leq \int (|f|+|g|)|f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/263db0a83f10b2bc91041d0b766ae3e1c1fddd2e)
![{\displaystyle =\int |f||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu +\int |g||f+g|^{p-1}\,\mathrm {d} \mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1160ac979b6765a2c7ad2e92db447e05b8bec2dc)
![{\displaystyle {\stackrel {{\text{H}}{\ddot {\text{o}}}{\text{lder}}}{\leq }}\left(\left(\int |f|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}+\left(\int |g|^{p}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}\right)\left(\int |f+g|^{(p-1)\left({\frac {p}{p-1}}\right)}\,\mathrm {d} \mu \right)^{1-{\frac {1}{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/142f483bdab7070888ff1b112a8b4fd0b9b22c5f)
![{\displaystyle =(\|f\|_{p}+\|g\|_{p}){\frac {\|f+g\|_{p}^{p}}{\|f+g\|_{p}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4c589e4c94b55ad0ad59819091674450a629ff)
Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile
her iki taraf çarparız
Varsayalımki (S1,μ1) ve (S2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2 → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:
![{\displaystyle \left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfd0900f3bf2e5f1c67f12fa9d644cf08944e20a)
durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1 ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.
Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|f_{1}+f_{2}\|_{p}&=\left[\int _{S_{2}}\left|\int _{S_{1}}F(x,y)\,d\mu _{1}(x)\right|^{p}d\mu _{2}(y)\right]^{1/p}\leq \int _{S_{1}}\left(\int _{S_{2}}|F(x,y)|^{p}\,d\mu _{2}(y)\right)^{1/p}d\mu _{1}(x)=\|f_{1}\|_{p}+\|f_{2}\|_{p}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26b7b95f34e3933c442539e9efe789f68feb3eb1)
- Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). "Inequalities". 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
- Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". ChelseaŞablon:Tutarsız alıntı .
- Stein, Elias (1970). "Singular integrals ve differentiability properties of functions". Princeton University PressŞablon:Tutarsız alıntı .
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Minkowski eşitsizliği", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" (PDF, Online e-book). mediafire.com. 14 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ekim 2013.