Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan , , i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:
Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.
üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var
için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık,
yani burada bazı ≥ 0.için f = g aşağıdaki norm ile verilir:
Eğer p < ∞ veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile
Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,
bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay
Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:
için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir. (S'in ögelerinin sayısı).
İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak, bunlar ile aşağıda
Nitekim, aslında burada konveks üzerinde ( birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,
Bunun anlamı
Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz . Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.
Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile her iki taraf çarparız
Varsayalımki (S1,μ1) ve (S2,μ2) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2 → R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:
durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1 ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.
Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.
- Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). "Inequalities". 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-35880-9.
- Minkowski, H. (1953). "Geometrie der Zahlen". ChelseaŞablon:Tutarsız alıntı .
- Stein, Elias (1970). "Singular integrals ve differentiability properties of functions". Princeton University PressŞablon:Tutarsız alıntı .
- Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Minkowski eşitsizliği", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities" (PDF, Online e-book). mediafire.com. 14 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 27 Ekim 2013.