Minkowski eşitsizliği

Vikipedi, özgür ansiklopedi
(Minkowski Eşitsizliği sayfasından yönlendirildi)
Şuraya atla: kullan, ara

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan , , i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir:

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir, ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı ≥ 0.için f = g aşağıdaki norm ile verilir:

Eğer p < ∞, veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir.(S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak,bunlar ile aşağıda

Nitekim, aslında burada konveks üzerinde ( birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

Bunun anlamı

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz . Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Varsayalımki (S11) ve (S22) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1, ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]