Minkowski Eşitsizliği

Vikipedi, özgür ansiklopedi
Atla: kullan, ara

Minkowski Eşitsizliği, sonlu sayıda, hepsi sıfır olmayan a_i , b_i, i=1,2,...,n pozitif sayılarında, p>1 için aşağıdaki eşitsizliğe denir: \left( \sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{i=1}^n a_i^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{i=1}^n b_i^p \right)^{1/p}

Hölder Eşitsizliğinden türetilebilen, uygulamada oldukça yararlı bu eşitsizliği Alman matematikçi Hermann Minkowski (1864-1909) elde etmiştir.

üçgen'de, Minkowski eşitsizliği' Lp uzayı normlu vektör uzayı' belirlemesidir. diyelimki S bir ölçüm uzayı olsun,ve diyelimki 1 ≤ p ≤ ∞ ve diyelimki Lp(S) ögeleri f ve g olsun. ise Lp(S) içindeki f + gdir, ve bizim üçgen eşitsizliği'miz var

\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p

için eşitliği ile 1 < p <∞ eğer ve yalnızca eğerf ve g pozitifliği doğrusal bağımlılık, yani burada bazı \lambda ≥ 0.için f = \lambda g aşağıdaki norm ile verilir:

\|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p}

Eğer p < ∞, veya p = ∞ durumu içinde zorunlu üstünlük ile

\|f\|_\infty = \operatorname{ess\ sup}_{x\in S}|f(x)|.

Minkowski eşitsizliği Lp(S) içinde üçgen eşitsizliğidir,aslında bu durumun daha genel durumu var,

\|f\|_p = \sup_{\|g\|_q = 1} \int |fg| d\mu, \qquad 1/p + 1/q = 1

bunun sağ-el tarafta üçgen eşitsizliğinin tatmin edici olduğunu görmek kolay

Hölder eşitsizliği gibi,Minkowski eşitsizliği dizisi özelleştirilebilir ve sayarak ölçülen vektörler tarafından kullanılıyor:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

için tümgerçel (veya karmaşık) x1, ..., xn, y1, ..., yn sayıları için ve burada n ;S'in kardinalite'sidir.(S'in ögelerinin sayısı).

Kanıt[değiştir | kaynağı değiştir]

İlk, kanıtı f+g sonludur p-norm eğer f ve g ikilisi olarak,bunlar ile aşağıda

|f + g|^p \le 2^{p-1}(|f|^p + |g|^p).

Nitekim, aslında burada h(x)=x^p konveks üzerinde \mathbb{R}^+ (p birden büyük için) ve yine, konveksite tanımı ile,

\left|\frac{1}{2} f + \frac{1}{2} g\right|^p\le\left|\frac{1}{2} |f| + \frac{1}{2} |g|\right|^p \le \frac{1}{2}|f|^p + \frac{1}{2} |g|^p.

Bunun anlamı

|f+g|^p \le \frac{1}{2}|2f|^p + \frac{1}{2}|2g|^p=2^{p-1}|f|^p + 2^{p-1}|g|^p.

Şimdi, yasal olarak konuşabiliriz (\|f + g\|_p). Sıfır ise, Minkowski eşitsizliği tutar.Şimdi varsayalım ki (\|f + g\|_p) sıfır değildir.Hölder's eşitsizliği kullanılıyor.

\|f + g\|_p^p = \int |f + g|^p \, \mathrm{d}\mu
 \le \int (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
=\int |f||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \, \mathrm{d}\mu
\stackrel{\text{H}\ddot{\text{o}}\text{lder}}{\le} \left( \left(\int |f|^p \, \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \,\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \, \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}
= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}.

Biz elde Minkowski'nin eşitsizliği ile \frac{\|f + g\|_p}{\|f + g\|_p^p}. her iki taraf çarparız

Minkowski integral eşitsizliği[değiştir | kaynağı değiştir]

Varsayalımki (S11) ve (S22) are iki ölçüm uzayıs ve F : S1×S2R ölçülebilirdir. ise Minkowski's integral eşitsizliği is Stein 1970, §A.1dir, Hardy, Littlewood & Pólya 1988, Theorem 202:

 \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le \int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x),

durumunda belirgin değişiklikler p = ∞. eğer p > 1, ve her iki taraf sonlu, ise eşitlikle örtüşür eğer |F(x,y)| = φ(x)ψ(y) a.e.bazı negatif ölçülebilir fonksiyonlar φ ve ψ için.

Eğer μ1 iki nokta kümesi sayma ölçüsüS1 = {1,2}, ise Minkowski eşitsizliği bir özel durum olarak verir: için ƒi(y) = F(i,y) yapıştırma için i = 1,2, integral eşitsizliğini verir.


\begin{align}
\|f_1 + f_2\|_p  &= \left[\int_{S_2}\left|\int_{S_1}F(x,y)\,d\mu_1(x)\right|^pd\mu_2(y)\right]^{1/p} \le\int_{S_1}\left(\int_{S_2}|F(x,y)|^p\,d\mu_2(y)\right)^{1/p}d\mu_1(x)=\|f_1\|_p + \|f_2\|_p.
\end{align}

Ayrıca bakınız[değiştir | kaynağı değiştir]

Kaynakça[değiştir | kaynağı değiştir]